Định lý nhị thức

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (thường được gọi là định lý nhị thức) là một định lý mô tả cách khai triển hàm mũ của tổng hai số. Cụ thể, định lý này cho phép khai triển một nhị thức bậc $n$ thành một đa thức có $n+1$ hạng tử.

$(x+a{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\frac{n}{k})x^{n-<!--\; -\; -->k}{a}^k$

với:

$(\frac{n}{k})=\frac{n!}{(n-<!--\; -\; -->k)!k!}$

Đây là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Hai cá nhân đã độc lập chứng minh định lý này là:

• Isaac Newton, nhà toán học và cơ học, phát hiện ra vào năm 1665.
• James Gregory, nhà toán học, phát hiện ra vào năm 1670.

Công thức này còn được gọi là Nhị thức Newton.

Chứng minh định lý

Định lý này được chứng minh qua phương pháp quy nạp.

Biểu thức $P\left(n\right):(1+x{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{x}^k$ (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Trường hợp cơ sở: Khi n = 1, định lý này đúng.

Giả sử định lý P(n) đúng, ta cần chứng minh rằng $P(n+1):(1+x{)}^{n+1}=(1+x).\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{x}^k=(1+x)$ và $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^{k-<!--\; -\; -->1}{x}^{k+1}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^{k-<!--\; -\; -->1}{x}^k+x^{n+1}$

Sử dụng đẳng thức Pascal, ta có:

$(1+x{)}^{n+1}=1+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(C_n^k+C_n^{k-<!--\; -\; -->1}).x^k+x^{n+1}=C_{n+1}^0.x^0+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_{n+1}^k.x^k+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+\mathrm{1\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}}=\underset{k=0}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_{n+1}^k{x}^k$

Vì vậy, công thức (1) đã được chứng minh là chính xác.

Khi đặt $x=\frac{b}{a}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(1+\frac{b}{a}{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k\frac{b^k}{a^k}$ và từ đó $(a+b{)}^n=a^n(1+\frac{b}{a}{)}^n=a^n\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k\frac{b^k}{a^k}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{a}^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k$

Chúng ta cần chứng minh điều này.

Ví dụ

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách những hằng đẳng thức quan trọng.

Ví dụ điển hình nhất là công thức bình phương của $x+y$:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2.$

Các hệ số nhị thức xuất hiện trong phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số với lũy thừa cao hơn của $x+y$ tương ứng với các hàng tiếp theo:

Lưu ý rằng:

1. Lũy thừa của $x$ giảm dần đến 0 ($x^0=1$), với giá trị khởi đầu là $n$ (n trong $(x+y{)}^n$.)
2. Lũy thừa của $y$ tăng lên từ 0 ($y^0=1$) cho đến khi đạt $n$ ($n$ trong $(x+y{)}^n$.)
3. Các hệ số của nhị thức mở rộng trong tam giác Pascal tạo thành hàng nhị thức (chú ý rằng hàng đầu tiên là hàng 0)
4. Tổng của các hệ số trong mỗi hàng bằng $2^n$.
5. Số lượng hệ số trong mỗi hàng bằng $n+1$.

Định lý nhị thức có thể áp dụng cho lũy thừa của bất kỳ nhị thức nào. Ví dụ:

Đối với nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng bằng cách sử dụng số hạng đối lập.

$(x-<!--\; -\; -->y{)}^3=x^3-<!--\; -\; -->3x^{2}y+3x{y}^2-<!--\; -\; -->y^3.$

Hình thức tổng quát

Trong trường hợp tổng quát trên mặt phẳng số phức và với một số điều kiện cho một số hạng trong biểu thức.

Nếu r {\displaystyle r} là một số thực và z {\displaystyle z} là một số phức với phần dư nhỏ hơn 1 thì biểu thức sẽ được phân tích thành một chuỗi vô hạn hội tụ:

$(1+z{)}^r=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\frac{r}{k})z^k$

Với các thành phần như sau:

$(\frac{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-<!--\; -\; -->k)!}=\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)(n-<!--\; -\; -->2)...(n-<!--\; -\; -->k+1)}{k!}$

• Định lý khai triển nhị thức
• Định lý số lượng lớn
• Hình tam giác Pascal

• H Anton, Giải tích với Hình học phân tích (NewYork, 1980)