Định lý Ptoleme

Định lý Ptoleme hay còn gọi là đẳng thức Ptoleme là một nguyên lý trong hình học thể hiện mối liên hệ giữa độ dài của bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp cổ đại, Ptolemy (Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là các đỉnh của tứ giác nội tiếp một đường tròn thì:

$|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}|=|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CD}|+|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}|$

với dấu gạch ngang biểu thị độ dài của các cạnh.

Định lý này có thể được phát biểu theo hai dạng: định lý thuận và định lý đảo.

Định lý thuận:Nếu một tứ giác nằm trên một đường tròn, thì tích của hai đường chéo sẽ bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.

Định lý đảo:Nếu một tứ giác có tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo, thì tứ giác đó nằm trên một đường tròn.

Chứng minh

1. Gọi $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Trên cung nhỏ $BC$, ta có các góc nội tiếp $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC$ $=$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC$, và trên cung $AB$ , $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB.$
3. Lấy 1 điểm $K$ trên $AC$ sao cho $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}\text{ABK}$ $=$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBD$;
   1. Từ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}\text{ABK}$ $+$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBK$ $=$
      {\displaystyle {\ce {=}}} $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}\text{ABC}$ $=$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBD$ $+$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABD$ , suy ra $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBK$ $=$ $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABD$.
4. Do vậy tam giác $△<!--\; △\; -->ABK$ đồng dạng với tam giác $△<!--\; △\; -->DBC$, và tương tự có $△<!--\; △\; -->ABD$ đồng dạng với $△<!--\; △\; -->KBC$.
5. Suy ra: $\frac{AB}{AK}=\frac{DB}{DC}$, và $\frac{CK}{BC}=\frac{DA}{DB}$;
   1. Từ đó $AK\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD$, và $CK\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=DA\cdot <!--\; \cdot \; -->BC$
   2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: $AK\cdot <!--\; \cdot \; -->BD+CK\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BC$
   3. Hay: $(AK+CK)\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BC$;
   4. Mà $AK+CK=AC$, nên $AC\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BC$ (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme là một dạng tổng quát của định lý Ptoleme áp dụng cho mọi tứ giác bất kỳ.

Bất đẳng thức Ptoleme mở rộng định lý Ptoleme cho một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CD}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DA}\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}$

Sự bằng nhau xảy ra khi và chỉ khi tứ giác là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn, tức là trở thành định lý Ptoleme.

Chứng minh

Áp dụng tính chất của các tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm $E$ sao cho $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BCD$ đồng dạng với $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BEA$. Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

$\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}$

Do đó,

$BA.CD=EA.BD\left(1\right)$

Ngoài ra, $\mathrm{△<!--\; △\; -->}EBC$ và $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABD$ cũng đồng dạng vì có

$\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}$ và $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{EBC}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{ABD}$

Từ đó

$\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}$

Kết luận

$AD.BC=EC.BD\left(2\right)$

Kết hợp (1) và (2) để chúng ta có

$AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BC=BD\cdot <!--\; \cdot \; -->(EA+EC)$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có được $AB\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+BC\cdot <!--\; \cdot \; -->DA\ge <!--\; \ge \; -->AC\cdot <!--\; \cdot \; -->BD$

Mở rộng và kết luận

• Định lý Casey, Fuhrmann và Tweedie là những mở rộng của định lý Ptoleme.
• Định lý Pompeiu có thể được xem như một trường hợp cụ thể của định lý Ptoleme.

• Định lý Casey
• Định lý Tweedie
• Định lý Fuhrmann

• I.F.Sharygin, Các bài toán hình học phẳng, Nhà xuất bản 'Nauka', Moscow 1986 (tiếng Nga)
• Coxeter, H. S. M. và Greitzer, S. L.: 'Định lý Ptoleme và các Mở rộng của nó.' §2.6 trong Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., trang 42–43, 1967.
• De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus, Nicolaus. Bản dịch tiếng Anh từ On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3

Các liên kết bên ngoài

• Chứng minh Định lý Ptoleme cho Tứ giác Nội tiếp
• MathPages − Về Định lý Ptoleme
• Elert, Glenn (1994). “Bảng Dây Cung của Ptoleme”. E-World.
• Định lý Ptoleme tại cut-the-knot
• Chứng minh góc hợp tại cut-the-knot
• Định lý Ptoleme Lưu trữ ngày 24-07-2011 tại Wayback Machine trên PlanetMath
• Bất đẳng thức Ptoleme trên MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium tại Harvard.
• Bí mật Sâu Thẳm: Đại Kim Tự Tháp, Tỷ lệ Vàng và Cubit Hoàng Gia Lưu trữ ngày 05-07-2008 tại Wayback Machine
• Định lý Ptoleme bởi Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Quyển XIII của Các Yếu tố của Euclid
• [1] Lưu trữ ngày 06-10-2014 tại Wayback Machine bởi I.S Amarasinghe, Vol 02(01), 2013