Định lý Pythagoras - Bài tập về Định lý Pythagoras

Buzz

Nội dung bài viết

I. Nhà toán học Pythagoras

II. Lý thuyết Định lí Py-ta-go

III. Bài tập trắc nghiệm Định lí Py-ta-go

IV. Bài tập tự luận Định lí Py-ta-go

V. Bài tập tự luyện định lý Pitago

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Định lý Pythagoras là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong hình học, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.
- Định lý này liên quan đến tam giác vuông, với công thức rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Nó còn có thể được mở rộng cho nhiều bối cảnh khác nhau và là một biểu tượng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm văn hóa, âm nhạc và nghệ thuật.
- Bài viết cung cấp thông tin về định lý, bao gồm chứng minh, bài tập trắc nghiệm và tự luận, cùng với những ví dụ cụ thể về ứng dụng của định lý trong các bài toán thực tế.
- Trong tam giác nhọn ABC với AB > AC và đường cao AH, chứng minh rằng HB lớn hơn HC. So sánh góc BAH và góc CAH. Vẽ các điểm M và N sao cho AB và AC là trung trực của HM và HN tương ứng, và chứng minh rằng tam giác MAN là tam giác cân.

Định lý Pythagoras được xem là một trong những kiến thức cơ bản nhất trong hình học. Đây là nền tảng quan trọng giúp giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Hãy tập trung và nhớ kỹ công thức này nhé.

Định lý Pythagoras có thể được tổng quát hóa trong nhiều bối cảnh khác nhau, bao gồm không gian đa chiều, không gian Euclid, và cả cho các tam giác không phải là tam giác vuông. Nó cũng là một biểu tượng quan trọng trong toán học và được nhắc đến trong nhiều lĩnh vực khác nhau như văn hóa, âm nhạc và nghệ thuật. Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Định lý Pythagoras và các dạng bài tập. Hãy cùng theo dõi nhé! Bạn cũng có thể xem cách chứng minh định lý này cho tam giác vuông.

I. Nhà toán học Pythagoras

Trong toán học, định lý Pythagoras là một mối liên hệ quan trọng giữa các cạnh trong một tam giác vuông.

- Pythagoras (sinh khoảng 580 đến 572 TCN – mất khoảng năm 500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng có tên thuyết học Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại. Trong tiếng việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Py – ta – go

- Pythagoras đã thành công trong việc chứng minh tổng ba góc của một tam giác bằng 180⁰ và nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông, Ông cũng được biết đến là “cha đẻ của số học”. Ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 7 TCN. Về cuộc đời và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ dàng. Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến Toán học và mọi sự việc đều có thể tiên đoán qua các chu kỳ.

II. Lý thuyết Định lí Py-ta-go

1. Định lý Pitago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A ⇒ BC² = AB² + AC²

2. Công thức Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC² = AB² + AC² ∠BAC = 90^o

3. Sơ đồ tư duy định lý Py-ta-go

III. Bài tập trắc nghiệm Định lí Py-ta-go

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Khi đó

A. AB² + BC² = AC²B. AB² - BC² = AC²C. AB² + AC² = BC²D. AB² = AC² + BC²

Ta có tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Py – ta – go ta có: AB² + BC² = AC²

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm

A. BC = 4 dm
B. BC = √6 dm
C. BC = 8dm
D. BC = √8 dm

Áp dụng định lý Py-tha-go ta có: BC² = AB² + AC²

Khi đó ta có:

$B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}(d m)$

Chọn đáp án D.

Bài 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

A. 10 cm, 22 cm
B. 10 cm, 24 cm
C. 12 cm, 24 cm
D. 15 cm, 24 cm

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có: x² + y² = 26² ⇔ x² + y² = 676

Theo bài ra ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{12} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25}=\frac{y^{2}}{144}=\frac{x^{2}+y^{2}}{25+144}=\frac{676}{169}=4$

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x^{2}=25.4 \\ y^{2}=144.4\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=10 \mathrm{~cm} \\ x=24 \mathrm{~cm}\end{array}\right.\right.$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH ?

A. AH = 12cm, AB = 15cm
B. AH = 10cm, AB = 15cm
C. AH = 15cm, AB = 12cm
D. AH = 12cm, AB = 13cm

Ta có: BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ AB² = BC² - AC² = 25² - 20² = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có:

HB² + HA² = AB² ⇒ AH² = AB² - HB² = 15² - 9² = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Chọn đáp án A.

Bài 5: Cho hình vẽ. Tính x

A. x = 10cm
B. x = 11cm
C. x = 8cm
D. x = 5cm

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

⇒ x² + 12² = 13² ⇒ x² = 13² - 12² = 25

Khi đó: x = 5cm

Chọn đáp án D.

IV. Bài tập tự luận Định lí Py-ta-go

Câu 1

Tìm độ dài x trên hình 127.

Giải

- Hình a

Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

x² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ x = 13

- Hình b

Ta có: x² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5

⇒ x = √5

Hình c

Theo định lí Pi-ta-go 29² = 21² + x²

Nên x² = 29² - 21² = 841 - 441 = 400

⇒ x = 20

- Hình d

Theo định lí Pi-ta-go ta có:

x² = (√7)² + 3² = 7 + 9 = 16

⇒ x = 4

Câu 2. Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, độ dài CB bằng 7,5m. Tính chiều cao AB.

Vẽ hình minh họa:

Áp dụng định lí Py–ta–go vào tam giác vuông ABC vuông tại B ta có:

AB² + BC² = AC²

Do đó, AB² = AC² – BC²

= 8,5² – 7,5²

= 72,25 – 56,25

= 16

⇒ AB = 4 (m)

Bài 3:

Lời giải

Hãy xem hình minh họa:

Được kí hiệu như trong hình vẽ:

Do mặt đất vuông góc với chân tường, nên góc C = 90º.

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác ABC, ta có:

AC² + BC² = AB²

⇒ AC² = AB² - BC² = 16 - 1 = 15

⇒ AC = √15 ≈ 3,87(m), tức là chiều cao của bức tường là 3,87m.

Bài 4

a) 9cm, 15cm, 12cm.

b) 5dm, 13dm, 12dm.

c) 7m, 7m, 10m.

Giải

a) Ta có 9² = 81 ; 15² =225 ; 12² =144

Mà 225 = 144 + 81

Nên Theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 9cm ,12cm ,15cm là tam giác vuông.

b) Ta có 5² = 25 ; 13² =169 ; 12² =144

Mà 169 = 144 + 25

Nên Theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 5dm ,13dm ,12dm là tam giác vuông.

c) Ta có 7² = 49 ; 10² =100

Mà 100 ≠ 49 + 49

Nên tam giác có độ dài 3 cạnh 7m, 7m, 10m không là tam giác vuông

V. Bài tập tự luyện định lý Pitago

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB + AC = 49cm và AB – AC = 7cm. Tính cạnh BC.

Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh BC có độ dài là 26cm, tỉ lệ giữa AB và AC là 5:12. Tính độ dài AB và AC.

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Biết BH = 18 cm và CH = 32cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Bài 4:

Cho tam giác ABC có AB = 9cm và AC = 11cm. Kẻ đường cao AH, biết BH = 26cm. Tính độ dài CH ?

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

a/ Chứng minh: AB² + CH² = AC² + BH²

b/ Trên đoạn AB lấy điểm E, trên đoạn AC lấy điểm F. Chứng minh: Đoạn EF ngắn hơn cạnh BC.

c/ Biết AB = 6cm, AC = 8 cm. Tính độ dài AH, BH, CH.

Bài 6:

Cho tam giác ABC cân, có AB = AC = 17cm. Kẻ đường cao BD vuông góc với AC. Tính độ dài BC, biết BD = 15cm.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Biết BC = 52cm, AB = 20cm, AC = 48cm.

a/ CM: Tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

b/ Kẻ đường cao AH. Tính độ dài AH.

Bài 8:

Hãy kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông không nếu các cạnh AB, AC và BC tỉ lệ với:

a/ 9; 12 và 15 b/ 3; 2,4 và 1,8.

c/ 4; 6 và 7 d/ 4; 4 và 4.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối của tia HA lấy E sao cho HE = AD. Đường vuông góc với AH tại D cắt AC tại F.

Chứng minh rằng: EB vuông góc EF.

Bài 10: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân

D là điểm chiếu của A lên trục Oy và C là điểm giao của AD với OH.

Chứng minh BC vuông góc với Ox.

Khi góc xOy là 60°, chứng minh OA = 2OD.

Bài 11: Trong tam giác ABC cân tại A, M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với AB và AC tại M và N xen nhau tại điểm O. Đường thẳng AO cắt BC tại H. Chứng minh:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, AC. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC tại M; N cắt nhau tại điểm O, AO cắt BC tại H. Chứng minh:

AMO bằng ANO

AH là đoạn thẳng chia đôi góc A

HB bằng HC và AH vuông góc với BC

So sánh OC và HB

Bài 12: Trong tam giác cân ABC (AB = AC). Từ trung điểm M của BC vẽ ME vuông góc với AC và MF vuông góc với AC. Chứng minh:

BEM bằng CFM

AE bằng AF

AM là đoạn thẳng chia đôi góc EMF

So sánh MC và ME

Bài 13: Trong tam giác ABC có một góc vuông tại A, AB = 8cm, AC = 6cm.

Tính BC.

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC.

Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC.

Bài 14: Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I.

Chứng minh OI vuông góc với AB.

Gọi D là điểm chiếu của A lên trục Oy, C là điểm giao của AD với OI. Chứng minh BC vuông góc với Ox.

Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH.

Chứng minh HB lớn hơn HC.

So sánh góc BAH và góc CAH.

Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Định lý Pythagoras có ứng dụng như thế nào trong các bài toán hình học?

Định lý Pythagoras là nền tảng quan trọng trong hình học, giúp giải quyết các bài toán về tam giác vuông và có thể mở rộng vào nhiều không gian đa chiều. Đây là công thức cơ bản cho các phép tính liên quan đến các cạnh của tam giác vuông.

Định lý Pythagoras được phát minh bởi ai và vào thời điểm nào?

Định lý Pythagoras được phát minh bởi nhà toán học người Hy Lạp Pythagoras, sống vào khoảng năm 580 đến 572 TCN. Ông là một nhà triết học nổi tiếng và là người sáng lập thuyết Pythagoras.

Công thức định lý Pythagoras là gì và áp dụng như thế nào trong thực tế?

Công thức định lý Pythagoras là: trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. Ví dụ, trong tam giác ABC vuông tại A, công thức sẽ là BC² = AB² + AC².

Có thể áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông không cân được không?

Có, định lý Pythagoras áp dụng cho mọi tam giác vuông, không phân biệt tam giác vuông cân hay không cân. Điều quan trọng là tam giác phải có một góc vuông, giúp áp dụng công thức BC² = AB² + AC².

Định lý Pythagoras có thể được sử dụng trong không gian đa chiều không?

Có, định lý Pythagoras có thể được mở rộng để áp dụng trong không gian đa chiều, không chỉ giới hạn trong tam giác vuông hai chiều. Nó có thể giúp tính toán khoảng cách giữa các điểm trong không gian Euclid.

Làm thế nào để chứng minh định lý Pythagoras cho tam giác vuông?

Có nhiều cách để chứng minh định lý Pythagoras cho tam giác vuông, một trong các cách phổ biến là sử dụng phép chứng minh hình học với các tam giác đồng dạng hoặc sử dụng phương pháp đại số qua các công thức về diện tích.