Định lý Rolle

Trong tích phân, định lý Rolle nói rằng bất kỳ hàm số thực nào khả vi, có giá trị giống nhau tại hai điểm khác nhau, đều phải có ít nhất một điểm tĩnh ở giữa; tức là, một điểm mà đạo hàm bậc nhất (độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm) bằng 0.

Việc chứng minh định lý Rolle theo cách nói trên khá phức tạp. Thường phải áp dụng định lý Fermat. Tuy nhiên, chúng ta có thể diễn đạt định lý Rolle một cách ngắn gọn hơn, khiến cho việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn.

Phiên bản rút gọn của định lý Rolle

Nếu hàm số thực f liên tục trên khoảng [a; b], với (a < b), và khả vi liên tục trên khoảng (a; b), đồng thời f(a) = f(b), thì tồn tại một c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0.

Chứng minh

Giả sử không có c ∈ (a b) sao cho f′(c) = 0, tức là f′(x) luôn khác 0 cho mọi x ∈ (a b). Khi đó, vì f′(x) liên tục trên (a b) nên nó không thay đổi dấu trong khoảng này.

Không làm giảm tính tổng quát, giả sử f′(x) > 0 cho mọi x ∈ (a; b). Bởi vì f(x) liên tục trên [a; b] nên f(x) sẽ đồng biến trên [a b], do đó ta có f(a) < f(b), điều này mâu thuẫn với giả thiết là f(a) = f(b).

Điều này chứng tỏ rằng giả định ban đầu của chúng ta là không chính xác. Do đó, tồn tại ít nhất một c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0. Bài toán đã được chứng minh.