Định lý Schur

Định lý Schur được diễn đạt như sau:

Xét các số thực không âm $a,b,c,t$. Chứng minh rằng: $\underset{cyc}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}^t(a-<!--\; -\; -->b)(a-<!--\; -\; -->c)⩾<!--\; ⩾\; -->0.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc hai trong ba số bằng nhau và số còn lại bằng $0$

Hơn nữa, nếu $t$ là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi tập hợp số thực $a,b,c$

Chứng minh điều này

Vì các vai trò của $a,b,c$ trong bài toán này là đối xứng, nên ta không làm mất tính tổng quát. Giả sử $a⩾<!--\; ⩾\; -->b⩾<!--\; ⩾\; -->c$.

Khi $t\ge <!--\; \ge \; -->0$, biến đổi vế trái của bất đẳng thức như sau:

$\left(a-<!--\; -\; -->b\right)\left[a^t\left(a-<!--\; -\; -->c\right)-<!--\; -\; -->b^t\left(b-<!--\; -\; -->c\right)\right]+c^t(c$

− a ) ( c − b ) ⩾ 0 {\displaystyle \left(a-b\right)\left[a^{t}\left(a-c\right)-b^{t}\left(b-c\right)\right]+c^{t}\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geqslant 0}

Điều này là hiển nhiên đúng vì tất cả các số hạng trong vế trái đều không âm.

Khi , chúng ta xử lý tương tự.

$\left(b-<!--\; -\; -->c\right)\left[c^t\left(a-<!--\; -\; -->c\right)-<!--\; -\; -->b^t\left(a-<!--\; -\; -->b\right)\right]+a^t\left(a-<!--\; -\; -->b\right)\left(a-<!--\; -\; -->c\right)⩾<!--\; ⩾\; -->0$

Đặc biệt, khi $r=1$, chúng ta có:

Nếu $b=0,c=0$, bất đẳng thức trở thành: $a^3⩾<!--\; ⩾\; -->0$ hoặc $a⩾<!--\; ⩾\; -->0$ (rõ ràng đúng!)

Xem xét trường hợp $b+c>0$ và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để thu được:

$a\left(a-<!--\; -\; -->b\right)\left(a-<!--\; -\; -->c\right)+b\left(b-<!--\; -\; -->c\right)\left(b-<!--\; -\; -->a\right)+c\left(c-<!--\; -\; -->a\right)\left(c-<!--\; -\; -->b\right)=\frac{{\left(a-<!--\; -\; -->b\right)}^{2}ab+{\left(a-<!--\; -\; -->c\right)}^{2}ac+{\left(b-<!--\; -\; -->c\right)}^2{\left(a-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->c\right)}^2}{b+c}⩾<!--\; ⩾\; -->0$

Mở rộng

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với $x,y,z$ là các số thực không âm, khi đó với $x⩾<!--\; ⩾\; -->y⩾<!--\; ⩾\; -->z$ và $a⩾<!--\; ⩾\; -->b⩾<!--\; ⩾\; -->c$ thì:

$x\left(a-<!--\; -\; -->b\right)\left(a-<!--\; -\; -->c\right)+y\left(b-<!--\; -\; -->c\right)\left(b-<!--\; -\; -->a\right)+z\left(c-<!--\; -\; -->a\right)\left(c-<!--\; -\; -->b\right)⩾<!--\; ⩾\; -->0$

$x,y,z$ là các số thực không âm, khi đó với $x⩾<!--\; ⩾\; -->y⩾<!--\; ⩾\; -->z$ và $a⩾<!--\; ⩾\; -->b⩾<!--\; ⩾\; -->c$ thì: