Định lý Thales là gì?

Định lý Thales, còn được biết đến với các tên định lý Thalès hay định lý Talet, là một định lý cơ bản trong hình học sơ cấp, mang tên nhà toán học Hy Lạp Thales. Mặc dù định lý này đã được người Babylon và Ai Cập cổ đại biết đến, bằng chứng chính thức đầu tiên được tìm thấy trong cuốn Cơ sở của Euclid.

Ứng dụng của Định lý Thales trong tam giác

Phát biểu của Định lý Thales như sau:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại, thì nó sẽ tạo ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tỷ lệ tương ứng.

Trong hình vẽ này, nếu có tam giác ABC với đường thẳng d cắt AB tại D, cắt AC tại E và song song với BC, theo định lý Thales, ta có:

$\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$ và $\frac{\text{AD}}{\text{DB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ và $\frac{\text{DB}}{\text{AB}}=\frac{\text{EC}}{\text{AC}}$.

Định lý Thales đảo

Định lý Thales có tính chất đối xứng. Định lý Thales đảo được mô tả như sau:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và tạo ra các đoạn thẳng trên hai cạnh đó có tỷ lệ tương ứng, thì đường thẳng này sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác.

Trong hình vẽ bên, nếu có tam giác ABC với điều kiện sau: $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$ hoặc $\frac{\text{AD}}{\text{DB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ hoặc $\frac{\text{DB}}{\text{AB}}=\frac{\text{EC}}{\text{AC}}$, thì theo định lý Thales đảo, DE sẽ song song với BC (DE // BC).

Kết quả của định lý Thales – định lý Thales mở rộng

Kết quả 1 của định lý Thales được diễn đạt như sau:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại, thì nó sẽ tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh của tam giác gốc.

Kết quả 2 của định lý Thales được nêu như sau:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và đồng thời song song với cạnh còn lại, thì tam giác mới tạo ra sẽ đồng dạng với tam giác ban đầu.

Kết quả 3 – Mở rộng định lý Thales được diễn đạt như sau:

Khi ba đường thẳng đồng quy, chúng tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ trên hai đường thẳng song song.

Định lý Thales trong hình thang

Định lý Thales áp dụng cho hình thang được nêu như sau:

Nếu một đường thẳng song song với hai cạnh đáy của hình thang cắt hai cạnh bên, thì các đoạn thẳng trên hai cạnh bên này sẽ có tỷ lệ tương ứng.

Định lý Thales trong không gian

Ba mặt phẳng song song cắt nhau trên hai đường thẳng theo tỷ lệ các đoạn thẳng.

Định lý đảo

Xét hai đường thẳng ${}_{}$

d 1 {\displaystyle d_{1}} và $d_2$ chéo nhau. Lấy các điểm $A_1$, $B_1$, và $C_1$ thuộc $\in <!--\; \in \; -->\left(d_1\right)$ và $A_2$, $B_2$, $C_2$ thuộc $\in <!--\; \in \; -->\left(d_2\right)$ sao cho tỷ lệ của các đoạn thẳng $\frac{A_1{B}_1}{B_1{C}_1}=\frac{A_2{B}_2}{B_2{C}_2}$. Khi đó, các đoạn thẳng $A_1{A}_2$, $B_1{B}_2$, $C_1{C}_2$ và các đoạn thẳng tương ứng của chúng, sẽ đồng quy trên một mặt phẳng song song với hai mặt phẳng đã cho.

Trong không gian, ba mặt phẳng phân chia không gian thành tám phần và bất kỳ mặt phẳng nào cắt ba mặt phẳng này đều chia các phần của không gian thành các phần đồng dạng với nhau.

Hai mặt phẳng phân chia không gian thành ba phần. Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng này, nó sẽ phân chia các phần của không gian thành các phần đồng dạng với nhau.

Định lý Thales có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm đồng dạng. Nó có thể được dùng để chứng minh các tam giác đồng dạng và ngược lại, các tam giác đồng dạng cũng có thể được sử dụng để chứng minh định lý Thales.

Phép nhân vô hướng trong không gian vectơ

Trong không gian định chuẩn, các tiên đề liên quan đến phép nhân vô hướng (như $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b})=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$ và $\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\Vert <!--\; \Vert \; -->=|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\Vert <!--\; \Vert \; -->$) đã khẳng định tính đúng đắn của định lý Thales. Trong hình, ta có $\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\Vert <!--\; \Vert \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\Vert <!--\; \Vert \; -->}=\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\Vert <!--\; \Vert \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\Vert <!--\; \Vert \; -->}=\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b})\Vert <!--\; \Vert \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\Vert <!--\; \Vert \; -->}=|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|$, áp dụng định lý Thales giúp khẳng định mối liên hệ giữa các vectơ và độ dài của chúng.

Hai tam giác đồng dạng có các tỷ lệ chiều dài các cạnh bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các định lý liên quan đến tam giác đồng dạng, bao gồm định lý Thales.

Định lý Thales có nhiều ứng dụng thực tiễn. Một trong những ứng dụng phổ biến là đo kích thước của các vật lớn mà không thể đo trực tiếp. Ví dụ như đo khoảng cách giữa hai bờ sông hoặc xác định chiều cao của một vật thể bằng cách sử dụng bóng của Mặt Trời và định lý Thales.

• Định lý Pythagoras

• Phan Đức Chính; và cộng sự (2011). Sách giáo khoa Toán lớp 7 tập 1. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.