Định lý toán học

Trong toán học và logic, định lý là một mệnh đề không hiển nhiên nhưng đã được chứng minh đúng, dựa trên các tiên đề hoặc từ các định lý khác. Nó là kết quả logic từ các tiên đề, và việc chứng minh định lý là lập luận logic xác nhận sự thật của nó thông qua các quy tắc suy diễn. Vì vậy, chứng minh định lý thường được coi là minh chứng cho sự đúng đắn của phát biểu định lý. Định lý, cần chứng minh để xác nhận, dựa trên suy luận, trái ngược với định luật khoa học, dựa vào thực nghiệm.

Nhiều định lý toán học là các phát biểu có điều kiện, với chứng minh từ các điều kiện gọi là giả thiết. Trong việc chứng minh sự thật, kết luận thường được coi là hệ quả cần thiết của các giả thiết, có nghĩa là đúng khi các giả thiết đúng mà không cần thêm giả thiết nào. Tuy nhiên, các điều kiện có thể được hiểu khác nhau trong các hệ thống suy diễn khác nhau, phụ thuộc vào cách các quy tắc dẫn xuất và ký hiệu điều kiện được định nghĩa.

Dù các định lý có thể được biểu diễn bằng ký hiệu chính xác (như mệnh đề số học), chúng thường được diễn tả bằng ngôn ngữ tự nhiên để dễ hiểu hơn. Tương tự, các chứng minh thường được viết dưới dạng lập luận dễ hiểu, tổ chức một cách logic và rõ ràng để thuyết phục người đọc về tính đúng đắn của định lý, từ đó có thể xây dựng chứng minh chính thức theo cách tượng trưng.

Các lập luận không chính thức không chỉ dễ đọc mà còn dễ kiểm tra hơn các lập luận thuần túy ký hiệu. Nhiều nhà toán học thường thích một chứng minh không chỉ xác nhận tính đúng đắn của định lý mà còn giải thích tại sao nó hiển nhiên đúng. Trong một số trường hợp, định lý còn có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hình vẽ minh họa.

Định lý là nền tảng của toán học và cũng phản ánh tính thẩm mỹ của nó. Chúng có thể được mô tả là 'đơn giản', 'khó khăn', 'sâu sắc' hoặc 'đẹp', với những đánh giá này thay đổi theo từng cá nhân, thời gian và văn hóa. Ví dụ, một định lý từng được xem là khó có thể trở nên đơn giản khi có phương pháp chứng minh mới. Ngược lại, một định lý dù phát biểu đơn giản có thể ẩn chứa sự kết nối tinh tế giữa các lĩnh vực toán học khác nhau. Định lý cuối cùng của Fermat là một ví dụ điển hình.

Cấu trúc

Nhiều định lý trong toán học có dạng điều kiện nếu-then: 'Nếu A, thì B.' Điều này không khẳng định B mà chỉ nói rằng B là hệ quả cần thiết của A. Ở đây, A là giả thiết của định lý, còn B là kết luận. Hai phần này, không cần chứng minh, được gọi là mệnh đề hoặc phát biểu của định lý (ví dụ 'Nếu A, thì B'). Ngoài ra, A và B còn được gọi là tiền đề và hậu quả. Ví dụ, định lý 'Nếu n là số chẵn thì n/2 là số chẵn' có giả thiết là 'n là số chẵn' và kết luận là 'n/2 cũng là số chẵn.'

Để chứng minh một định lý, nó phải có thể diễn đạt chính xác về mặt hình thức. Tuy nhiên, các định lý thường được viết bằng ngôn ngữ tự nhiên thay vì ký hiệu hoàn toàn, với giả định rằng một phiên bản hình thức có thể được rút ra từ phiên bản phi hình thức.

Trong toán học, người ta thường lựa chọn một số giả thuyết trong một ngôn ngữ cụ thể và tuyên bố rằng lý thuyết bao gồm tất cả các phát biểu có thể được chứng minh từ những giả thuyết này. Những giả thuyết này tạo thành nền tảng của lý thuyết và được gọi là tiên đề hoặc định đề. Lĩnh vực nghiên cứu các ngôn ngữ hình thức, tiên đề và cấu trúc của chứng minh được gọi là lý thuyết chứng minh.

Một số định lý được coi là 'tầm thường' vì chúng tuân theo các định nghĩa, tiên đề và định lý khác một cách rõ ràng và không mang lại hiểu biết bất ngờ. Ngược lại, một số định lý có thể được xem là 'sâu sắc' do chứng minh của chúng thường dài và phức tạp, liên quan đến các lĩnh vực toán học khác không liên quan trực tiếp đến tuyên bố của định lý, hoặc tiết lộ những mối liên hệ đáng ngạc nhiên giữa các lĩnh vực toán học. Định lý cuối cùng của Fermat là một ví dụ điển hình cho một định lý đơn giản nhưng sâu sắc, cùng với nhiều ví dụ khác trong lý thuyết số và tổ hợp.

Một số định lý có chứng minh đã được biết đến nhưng không thể dễ dàng viết ra. Định lý bốn màu và giả thuyết Kepler là hai ví dụ nổi bật, được chứng minh bằng cách rút gọn thành một tìm kiếm tính toán mà sau đó được một chương trình máy tính xác minh. Ban đầu, nhiều nhà toán học không chấp nhận phương pháp chứng minh này, nhưng hiện nay nó đã được chấp nhận rộng rãi hơn. Nhà toán học Doron Zeilberger thậm chí tuyên bố rằng đây có thể là những kết quả tầm thường nhất từng được chứng minh. Nhiều định lý có thể được rút gọn thành các tính toán đơn giản hơn, bao gồm các nhận dạng đa thức, lượng giác và siêu hình học.

Phân loại

Định lý toán học có thể được phân loại theo nhiều cách khác nhau, bao gồm theo lĩnh vực nghiên cứu như số học, đại số, hình học và nhiều lĩnh vực khác, hoặc theo mối quan hệ với các định lý khác như định lý thuận, định lý đảo, định lý phản và định lý phản đảo.

Danh sách các định lý toán học nổi tiếng

• Định lý cuối cùng của Fermat
• Định lý nhỏ của Fermat
• Định lý Viète
• Định lý Brouwer
• Định lý Pythagoras
• Định lý Thales
• Định lý bất toàn
• Định lý Thales

• Tiên đề