Định lý về cosin

Trong lượng giác, Định lý cosin (còn gọi là công thức cosine, luật cosine hoặc Định lý al-Kashi) mô tả mối liên hệ giữa độ dài của các cạnh trong một tam giác với cosin của góc tương ứng. Theo hình Hình 1, định lý cosin có thể được diễn đạt bằng công thức sau:

$c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$

Định lý cosin cũng có thể được áp dụng cho hai cạnh còn lại của tam giác.

$a^2=b^2+c^2-<!--\; -\; -->2bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$b^2=a^2+c^2-<!--\; -\; -->2ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$

Định lý cosin mở rộng định lý Pythagoras để áp dụng cho mọi loại tam giác, không chỉ là tam giác vuông. Khi góc γ là góc vuông, ta có $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=0$, và định lý cosin trở thành định lý Pythagoras:

$c^2=a^2+b^2$

Định lý này giúp tính toán chiều dài của một cạnh chưa biết trong tam giác khi đã biết hai cạnh còn lại và góc đối diện.

Ứng dụng

Định lý cos rất hữu ích trong việc giải các bài toán hình học để tìm các cạnh hoặc góc chưa biết. Như trong Hình 3, định lý cos được áp dụng để xác định:

• Chiều dài của cạnh thứ ba trong tam giác khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:

$c=\sqrt{a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}};$

• Tìm ba góc trong tam giác khi đã biết ba cạnh của nó

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2}{2ab}\right);$

• Tính chiều dài của cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong các cạnh đó:

$a=b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{c^2-<!--\; -\; -->b^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}.$

Công thức tính này có được từ việc giải phương trình bậc hai a − 2ab cos γ + b − c = 0 với ẩn số a. Phương trình có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và không có nghiệm nếu c < b sin γ.

Chứng minh

Áp dụng công thức tính khoảng cách

Trong hệ tọa độ Descartes, với tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c, tọa độ của ba đỉnh lần lượt là

$A=(b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},b\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}),B=(a,0),C=(0,0).$

Áp dụng công thức tính khoảng cách, chúng ta có

$c=\sqrt{(a-<!--\; -\; -->b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{)}^2+(0-<!--\; -\; -->b\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{)}^2}.$

do đó

$\begin{array}{cc}{c}^2& =(a-<!--\; -\; -->b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{)}^2+(-<!--\; -\; -->b\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{)}^2\\ c^2& =a^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+b^2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+b^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\\ c^2& =a^2\end{array}$

+ b 2 ( sin 2 ⁡ γ + cos 2 ⁡ γ ) − 2 a b cos ⁡ γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\ c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-(2ab\cos \gamma )end{aligned}}}

$c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$

Khi hạ đường cao tương ứng với cạnh c như trong hình 4, ta có công thức

$c=a\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$

(Công thức trên vẫn đúng ngay cả khi α hoặc β là góc tù, lúc này đường cao sẽ nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β sẽ mang dấu âm). Khi nhân hai vế với c, ta có

$c^2=ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$

Tương tự, ta có

$a^2=ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},$

$b^2=bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.$

Cộng hai phương trình trên, ta có

$a^2+b^2=ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.$

Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình tổng hợp, ta có

$a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2=-<!--\; -\; -->ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+ac\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+bc\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$

đơn giản hóa, ta được

$c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.$

Áp dụng định lý Pythagore

Trường hợp tam giác tù. Euclid đã chứng minh định lý này bằng cách áp dụng Định lý Pythagore vào hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, trong tam giác AHB, ta có

$c^2=(b+d{)}^2+h^2,$

và trong tam giác CHB, ta có

$d^2+h^2=a^2.$

Mở rộng đa thức của phương trình đầu tiên:

$c^2=b^2+2bd+d^2+h^2.$

thay vào phương trình thứ hai:

$c^2=a^2+b^2+2bd.$

Đây là mệnh đề 12 trong tập 2 của bộ Cơ sở của Euclid. Lưu ý rằng

$d=a\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=-<!--\; -\; -->a\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.$

Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông tạo ra từ việc kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và giải quyết bằng nhị thức.

Cách tiếp cận khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6, ta có:

với lưu ý rằng

${\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1.$

Từ Hình 6, ta có thêm:

$\tan <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{a\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{b-<!--\; -\; -->a\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$

Công thức này giúp xác định một góc khi đã biết hai cạnh và góc giữa chúng.

Áp dụng định lý Ptolemy

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD sao cho giống như tam giác ABC, với AD = BC và BD = AC. Kẻ đường cao từ D đến AB tại điểm E và từ C đến AB tại điểm F. Ta có:

Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD:

Trong một tam giác đều

Trong tam giác đều, vì $a=b$ nên $a^2+b^2=2a^2=2ab$, ta có định lý cos là:

$c^2=2a^2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}).$

hoặc

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1-<!--\; -\; -->\frac{c^2}{2a^2}$

Đối xứng trong hình tứ diện

Xét một tứ diện với α, β, γ, δ lần lượt là diện tích của các mặt. Các góc nhị diện được ký hiệu như $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}},$ và các ký hiệu tương tự, ta có

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->2\left(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\cos <!--\; \; -->\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\right)+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\cos <!--\; \; -->\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}\right)+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\cos <!--\; \; -->\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)\right).$

Định lý cos trong hình học không Euclid

• Định lý về tam giác
• Định lý sin
• Định lý tang
• Định lý cotang
• Công thức Mollweide
• Công thức nửa cạnh
• Đẳng thức lượng giác