Đoạn (toán học)

Trong toán học, đoạn là một khái niệm liên quan đến dãy và tích thuộc về tập hợp của một hoặc nhiều số.

Giới thiệu về số thực

Trên tập hợp số thực, một đoạn là một tập hợp chứa mọi số thực nằm giữa hai số được cho trước, và có thể bao gồm cả hai số đó.

Ký hiệu đoạn là ký hiệu biểu diễn các giá trị nằm trong một đoạn. Ví dụ:

5 < x < 9

Trong ký hiệu đoạn truyền thống, cặp ngoặc đơn, '()', có nghĩa là đoạn không chứa hai điểm đầu mút, còn cặp ngoặc vuông, '[]', hàm ý chứa cả hai đầu mút. Ví dụ,

(10,20)

ký hiệu tập hợp mọi số thực x nằm giữa 10 và 20 nhưng không bao gồm hai giá trị đầu và cuối của đoạn (10 và 20). Tức là

10 < x < 20

Trong khi đó, đoạn

[10,20]

bao gồm tất cả các số nằm giữa 10 và 20 và cả hai đầu mút 10 và 20. Tức là:

10 ≤ x ≤ 20

Đoạn sử dụng cặp ngoặc vuông còn được gọi là đoạn, có ý nghĩa gần giống đoạn thẳng trong hình học.

Có thể kết hợp '[)' hoặc '(]':

[10,20) tức là 10 ≤ x < 20

(10,20] tức là 10 < x ≤ 20

Tổng quát

Định nghĩa tổng quát của đoạn được phát biểu như sau:

Một đoạn là một tập con liên tục S của một tập thứ tự đầy đủ (totally ordered set) T có tính chất như sau: Với mọi phần tử x và y thuộc S và x<z<y thì z thuộc S.

Trường hợp trên tương ứng với tập hợp số thực T.

Phân loại trên số thực

Các khoảng trên tập hợp số thực thuộc 11 loại sau:

1. (a, b) = {x | a < x < b}
2. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
3. [a, b) = {x | a ≤ x < b}
4. (a, b] = {x | a < x ≤ b}
5. (a, ∞) = {x | x > a}
6. [a, ∞) = {x | x ≥ a}
7. (-∞, b) = {x | x < b}
8. (-∞, b] = {x | x ≤ b}
9. (-∞, ∞) = ℝ
10. {a}
11. ∅ tập rỗng

Với a và b là các số thực, a < b; chúng được gọi là đầu mút của khoảng.

Ký hiệu ngoặc vuông [ hoặc ] có nghĩa là đầu mút đó được bao gồm trong khoảng, còn ngoặc ( hoặc ) có nghĩa ngược lại. Để biết thêm chi tiết, hãy xem lý thuyết tập hợp ngây thơ (Naive set theory).

Các khoảng (1), (5), (7), (9) và (11) được gọi là khoảng mở (tập mở), còn các khoảng (2), (6), (8), (9), (10) và (11) là khoảng đóng (tập đóng). Các khoảng (3) và (4) đôi khi gọi là nửa-đóng (hoặc nửa-mở). Lưu ý, khoảng (9) và (11) vừa mở vừa đóng, khác với nửa-đóng và nửa-mở.

Các khoảng (1), (2), (3), (4), (10) và (11) là khoảng bị chặn hay khoảng đóng, trong khi các khoảng (5), (6), (7), (8) và (9) là khoảng không bị chặn hay khoảng mở.

Độ dài của các khoảng đóng (1), (2), (3), (4) là $b-a$ tương ứng cho mỗi trường hợp.

Khoảng đóng rất quan trọng trong lý thuyết tích phân, vì chúng là các tập hợp dễ định nghĩa về 'kích thước', 'độ đo' (measure) hay 'độ dài'. Khái niệm độ đo mở rộng cho các tập phức tạp hơn, dẫn đến độ đo Borel và độ đo Lebesgue.

Trong tô pô học, khái niệm khoảng được mở rộng thành khái niệm tập mở. Đây là một trong những khái niệm nền tảng của tô pô học.

Liên kết ngoài

• Ký hiệu khoảng cơ bản Lưu trữ 2010-02-08 tại Wayback Machine
• Trang web tính toán khoảng Lưu trữ 2006-03-02 tại Wayback Machine
• Khoảng (toán học) tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Weisstein, Eric W., 'Interval' từ MathWorld.