Đồng Hồ 243 Năm Tuổi của Euler Có Lời Giải Lượng Tử

Năm 1779, nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đặt ra một câu đố từng trở nên nổi tiếng: Sáu đơn vị quân đội mỗi đơn vị có sáu sĩ quan thuộc sáu cấp bậc khác nhau. Liệu có thể sắp xếp 36 sĩ quan này thành một hình vuông 6x6 sao cho không có hàng hoặc cột nào lặp lại một cấp bậc hoặc đơn vị quân đội nào?

Câu đố dễ dàng được giải quyết khi có năm cấp bậc và năm đơn vị quân đội, hoặc bảy cấp bậc và bảy đơn vị quân đội. Nhưng sau khi tìm kiếm một cách tuyệt vọng để giải quyết vấn đề với 36 sĩ quan, Euler kết luận rằng “việc sắp xếp như vậy là không thể, mặc dù chúng ta không thể đưa ra một chứng minh chặt chẽ cho điều này.” Hơn một thế kỷ sau đó, nhà toán học người Pháp Gaston Tarry chứng minh rằng không có cách nào để sắp xếp 36 sĩ quan của Euler thành một hình vuông 6x6 mà không có sự lặp lại. Năm 1960, các nhà toán học sử dụng máy tính để chứng minh rằng có các giải pháp cho bất kỳ số lượng đơn vị quân đội và cấp bậc lớn hơn hai, ngoại trừ, một cách kỳ lạ, là sáu.

Những câu đố tương tự đã cuốn hút người ta suốt hơn 2,000 năm. Các văn hóa trên thế giới đã tạo ra “hình vuông ma thuật,” các mảng số có tổng giống nhau dọc theo mỗi hàng và cột, và “hình vuông Latin” được điền vào các biểu tượng mà mỗi biểu tượng xuất hiện một lần trên mỗi hàng và cột. Các hình vuông này đã được sử dụng trong nghệ thuật và quy hoạch đô thị, và chỉ để vui chơi. Một hình vuông Latin phổ biến—Sudoku—có các phần vuông con cũng không có biểu tượng lặp lại. Câu đố về 36 sĩ quan của Euler yêu cầu một “hình vuông Latin chéo,” trong đó hai bộ thuộc tính, như cấp bậc và đơn vị quân đội, đều đáp ứng luật của hình vuông Latin đồng thời.

Nhưng trong khi Euler nghĩ rằng không có hình vuông 6x6 nào như vậy tồn tại, gần đây trò chơi đã thay đổi. Trong một bài báo được đăng trực tuyến và gửi đến Physical Review Letters, một nhóm các nhà vật lý lượng tử ở Ấn Độ và Ba Lan chứng minh rằng có thể sắp xếp 36 sĩ quan một cách đáp ứng các tiêu chí của Euler—miễn là sĩ quan có thể có một hỗn hợp lượng tử về cấp bậc và đơn vị quân đội. Kết quả này là mới nhất trong một dòng công việc phát triển phiên bản lượng tử của các câu đố hình vuông ma thuật và hình vuông Latin, không chỉ là trò chơi mà còn có ứng dụng trong truyền thông lượng tử và máy tính lượng tử.

“Tôi nghĩ bài báo của họ rất tuyệt vời,” nói Gemma De las Cuevas, một nhà vật lý lượng tử tại Đại học Innsbruck, người không tham gia vào công việc. “Có rất nhiều ma thuật lượng tử trong đó. Và không chỉ vậy, nhưng bạn có thể cảm nhận sự yêu thích của họ đối với vấn đề suốt cả bài báo.”

Thời đại mới của những câu đố lượng tử bắt đầu từ năm 2016, khi Jamie Vicary của Đại học Cambridge và học viên của ông, Ben Musto, có ý tưởng rằng các mục xuất hiện trong các hình vuông Latin có thể được biến thành lượng tử.

Trong cơ học lượng tử, các đối tượng như electron có thể ở trong một “siêu tưởng” của nhiều trạng thái có thể: ở đây và ở đó, ví dụ, hoặc có cảm hứng từ hướng cả hai chiều lên và xuống. (Các đối tượng lượng tử ở trong trạng thái lưỡng nào đó cho đến khi được đo lường, lúc đó chúng ổn định ở một trạng thái.) Các mục của hình vuông Latin lượng tử cũng là trạng thái lượng tử có thể ở trong siêu tưởng lượng tử. Toán học, một trạng thái lượng tử được biểu diễn bằng một vector, có chiều dài và hướng, như mũi tên. Một siêu tưởng là mũi tên được tạo ra bằng cách kết hợp nhiều vector. Tương tự như yêu cầu rằng các biểu tượng dọc theo mỗi hàng và cột của một hình vuông Latin không được lặp lại, các trạng thái lượng tử dọc theo mỗi hàng hoặc cột của một hình vuông Latin lượng tử phải tương ứng với các vector vuông góc nhau.

Hình vuông Latin lượng tử nhanh chóng được cộng đồng các nhà vật lý lý thuyết và toán học quan tâm đến những đặc tính khác thường của chúng chấp nhận. Năm ngoái, các nhà vật lý toán học người Pháp Ion Nechita và Jordi Pillet đã tạo ra một phiên bản lượng tử của Sudoku—SudoQ. Thay vì sử dụng các số nguyên từ 0 đến 9, trong SudoQ, các hàng, cột và phần vuông con mỗi cái đều có chín vector vuông góc.

Những tiến bộ này đã đưa Adam Burchardt, một nghiên cứu viên sau đại học tại Đại học Jagiellonian ở Ba Lan, và đồng nghiệp của ông để xem xét lại câu đố cũ của Euler về 36 sĩ quan. Họ tự hỏi rằng, nếu như, sĩ quan của Euler được tạo thành từ lượng tử?

Trong phiên bản cổ điển của vấn đề, mỗi mục là một sĩ quan với một cấp bậc và đơn vị quân đội xác định. Việc tưởng tượng rằng 36 sĩ quan như các quân cờ màu sắc, với cấp bậc có thể là vua, hậu, xe, tượng, mã, hoặc tốt, và đơn vị quân đội được đại diện bằng màu đỏ, cam, vàng, xanh lá cây, xanh dương, hoặc tím, là hữu ích. Nhưng trong phiên bản lượng tử, sĩ quan được hình thành từ siêu tưởng của các cấp bậc và đơn vị quân đội. Một sĩ quan có thể là siêu tưởng của một vua đỏ và một hậu cam, chẳng hạn.

Một điểm quan trọng là trạng thái lượng tử tạo nên những sĩ quan này có một mối quan hệ đặc biệt được gọi là mắc kẹt, liên quan đến một sự tương quan giữa các thực thể khác nhau. Nếu một vua đỏ bị mắc kẹt với một hậu cam, ví dụ, thì ngay cả khi vua và hậu đều ở trong siêu tưởng của nhiều đơn vị quân đội, việc quan sát rằng vua là đỏ ngay lập tức cho bạn biết rằng hậu là cam. Đó là do tính chất độc đáo của mắc kẹt mà sĩ quan dọc theo mỗi dòng có thể đều vuông góc.

Lý thuyết dường như đã hoạt động, nhưng để chứng minh điều đó, các tác giả phải xây dựng một mảng 6x6 được điền vào bằng các sĩ quan lượng tử. Một số lượng lớn các cấu hình và mắc kẹt có nghĩa là họ phải dựa vào sự giúp đỡ của máy tính. Các nhà nghiên cứu cắm cổ điện giải pháp gần đúng cổ điển (một sắp xếp của 36 sĩ quan cổ điển chỉ có vài lặp lại cấp bậc và đơn vị quân đội trong một hàng hoặc cột) và áp dụng một thuật toán điều chỉnh sắp xếp để đến một giải pháp lượng tử thực sự. Thuật toán hoạt động giống như việc giải một Rubik’s Cube bằng cách dùng lực, nơi bạn cố định hàng đầu tiên, sau đó là cột đầu tiên, cột thứ hai và cứ thế. Khi họ lặp lại thuật toán lần lượt, mảng câu đố xoay sát sát hơn và gần đến một giải pháp thực sự. Cuối cùng, các nhà nghiên cứu đạt đến một điểm mà họ có thể nhìn thấy mẫu và điền vào những mục còn lại bằng tay.

Euler, một cách nào đó, đã bị chứng minh sai—mặc dù ông không thể biết, vào thế kỷ 18, về khả năng của sĩ quan lượng tử.

“Họ kết thúc cuốn sách về vấn đề này, điều đó đã rất tốt,” nói Nechita. “Đó là một kết quả rất đẹp, và tôi thích cách họ đạt được nó.”

Một đặc điểm bất ngờ của giải pháp của họ, theo cộng tác viên Suhail Rather, một nhà vật lý tại Viện Công nghệ Ấn Độ Madras tại Chennai, là cấp bậc sĩ quan chỉ bị mắc kẹt với các cấp bậc kế cận (vua với hậu, xe với tượng, mã với tốt) và các đơn vị quân đội với các đơn vị quân đội kế cận. Một điều bất ngờ khác là các hệ số xuất hiện trong các mục của hình vuông Latin lượng tử. Các hệ số này là các số nói cho bạn biết, về cơ bản, phải đặt bao nhiêu trọng lượng cho các thuật ngữ khác nhau trong một siêu tưởng. Một cách kỳ lạ, tỉ lệ của các hệ số mà thuật toán đạt được là Φ, hoặc 1.618..., tỷ lệ vàng nổi tiếng.

Giải pháp cũng là điều được biết đến là một “trạng thái mắc kẹt tuyệt đối” (AME), một sắp xếp của các đối tượng lượng tử được cho là quan trọng cho nhiều ứng dụng, bao gồm sửa lỗi lượng tử—cách lưu trữ thông tin dự phòng trong máy tính lượng tử để nó tồn tại ngay cả khi có lỗi dữ liệu. Trong một AME, tương quan giữa các đo lường của các đối tượng lượng tử là mạnh nhất có thể: Nếu Alice và Bob có những đồng xu mắc kẹt, và Alice ném đồng xu của mình và nhận được mặt trước, cô ấy chắc chắn biết rằng Bob có đuôi, và ngược lại. Hai đồng xu có thể được mắc kẹt tối đa, và cũng như ba, nhưng không phải là bốn: Nếu Carol và Dave tham gia ném đồng xu, Alice sẽ không bao giờ chắc chắn được Bob nhận được gì.

Nghiên cứu mới chứng minh, tuy nhiên, nếu bạn có một bộ bốn con xúc xắc mắc kẹt, thay vì là đồng xu, chúng có thể được mắc kẹt tối đa. Sắp xếp của xúc xắc sáu mặt tương đương với hình vuông Latin lượng tử 6x6. Bởi vì tỷ lệ vàng xuất hiện trong giải pháp của họ, các nhà nghiên cứu đã đặt tên cho nó là “AME vàng.”

“Tôi nghĩ nó rất không đơn giản,” nói De las Cuevas. “Không chỉ vì nó tồn tại, mà họ còn cung cấp trạng thái một cách rõ ràng và phân tích nó.”

Trước đây, các nhà nghiên cứu đã tạo ra các AME khác bằng cách bắt đầu từ các mã sửa lỗi cổ điển và tìm các phiên bản lượng tử tương tự. Nhưng AME vàng mới tìm thấy là khác biệt, không có phiên bản mật mã cổ điển. Burchardt nghi ngờ nó có thể là loại mã sửa lỗi lượng tử mới đầu tiên. Mặt khác, nó cũng có thể là một điều thú vị nếu AME vàng duy trì sự duy nhất.

Ghi chú của biên tập viên: Tác giả của bài viết này có liên quan đến một biên tập viên tại Physical Review Letters, nơi bài báo về hình vuông Latin lượng tử đã được nộp để xuất bản. Hai người không thảo luận về bài báo.

Tin gốc được tái bản với sự cho phép của Quanta Magazine, một tờ báo độc lập biên tập của Simons Foundation với sứ mệnh tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa ra các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.

Những câu chuyện tuyệt vời khác từ MYTOUR

• 📩 Những tin tức mới nhất về công nghệ, khoa học, và hơn thế nữa: Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi!
• Nỗ lực bắt giữ CO₂ trong đá—và chiến thắng biến đổi khí hậu
• Liệu việc trời lạnh có thực sự tốt cho bạn?
• Chiếc máy cày tự lái của John Deere khiến cho cuộc tranh cãi về Trí tuệ nhân tạo sôi sục
• 18 chiếc xe điện tốt nhất sẽ xuất hiện trong năm nay
• 6 cách để bạn tự xóa bản thân khỏi internet
• 👁️ Khám phá Trí tuệ Nhân tạo như chưa bao giờ có với cơ sở dữ liệu mới của chúng tôi
• 🏃🏽‍♀️ Muốn có những công cụ tốt nhất để khỏe mạnh? Hãy kiểm tra sự lựa chọn của đội ngũ Gear chúng tôi cho những chiếc bảng theo dõi sức khỏe tốt nhất, đồ trang bị chạy bộ (bao gồm giày và tất), và tai nghe tốt nhất