Đường cao là gì? Những tính chất và công thức liên quan đến đường cao là gì?

1. Khái niệm đường cao là gì?

Trong tam giác, đường cao là đoạn thẳng vuông góc kéo từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

- Trong hình minh họa, đoạn thẳng AI là đường cao của tam giác ABC, cụ thể là đường cao từ đỉnh A của tam giác này.

Đôi khi, chúng ta cũng gọi đường thẳng AI là đường cao trong tam giác ABC. Mỗi tam giác đều có ba đường cao.

2. Đặc điểm của ba đường cao trong tam giác

- Định lý: Ba đường cao của một tam giác đều hội tụ tại một điểm duy nhất.

Ba đường cao AI, BK, CL đều cắt nhau tại điểm H.

- Điểm H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.

3. Cách vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực và phân giác trong tam giác cân và tam giác đều

3.1. Các đặc điểm của tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, trung tuyến và đường cao, tất cả đều xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đó.

Ngược lại, có thể rút ra nhận xét sau:

Nếu trong một tam giác, hai trong bốn loại đường (gồm đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh đó) trùng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.

3.2. Các đặc điểm của tam giác đều

Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm cách đều ba cạnh đều trùng nhau và nằm trong tam giác.

4. Công thức để tính đường cao trong tam giác

4.1. Công thức tính đường cao trong tam giác thông thường

Công thức tính chiều cao của tam giác:

Cụ thể như sau:

• a, b, c là độ dài của các cạnh;
• h là chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC;
• p là nửa chu vi của tam giác:

                              p = (a+b+c) / 2

4.2. Công thức tính đường cao trong tam giác đều

Xem xét tam giác đều ABC với các cạnh dài bằng a như trong hình vẽ:

Cụ thể như sau:

• h là chiều cao của tam giác đều
• a là độ dài của các cạnh trong tam giác đều

4.3. Công thức tính chiều cao trong tam giác vuông

Xem xét tam giác vuông ABC với góc vuông tại A như trong hình vẽ:

- Công thức để tính cạnh và chiều cao trong tam giác vuông:

- Các yếu tố bao gồm:

• a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông;
• b' là đoạn chiếu của cạnh b lên cạnh huyền;
• c' là đoạn chiếu của cạnh c lên cạnh huyền;
• h là chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

4.4. Công thức tính chiều cao trong tam giác cân

Xem xét tam giác cân ABC với điểm cân tại A, và đường cao AH vuông góc với H như trong hình.

Do tam giác ABC cân tại A, đường cao AH cũng đồng thời là đường trung tuyến. Do đó:

HB = HC = 1/2 BC

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABH với góc vuông tại H, ta có:

5. Các câu hỏi ôn tập

5.1. Phương pháp xác định trực tâm tam giác

Cách giải: Để xác định trực tâm của tam giác, chúng ta cần tìm giao điểm của hai đường cao trong tam giác đó

Bài 1. Xét tam giác ABC với góc A = 70°, AB < AC, đường phân giác của góc A cắt BC tại D, BF vuông góc với AC tại F, và E nằm trên AC sao cho AE = AB. Xác định trực tâm của tam giác ABE và tính góc DHF.

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của AD và BE là I.

Do AB = AE, nên tam giác ABE là tam giác cân tại A.

Ngoài ra, AD là phân giác của góc A trong tam giác ABC.

=> AI là đường cao của tam giác ABE.

BF vuông góc với AE => BF đóng vai trò là đường cao của tam giác ABE.

Vì BF cắt AI tại H, nên H chính là trực tâm của tam giác ABE.

Xét tam giác HEF, ta có: góc FHE = 90° - góc FEH (1).

Xét tam giác HIE, ta có góc EHI = 90° - góc IEH (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra: góc FHD = góc FHE + góc EHI = 180° - góc FEH - góc IEH = 180° - góc FEI.

Vì tam giác ABE là tam giác cân tại A, nên góc AEB = góc ABE = (180° - góc BAE) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 55°.

=> góc EHD = 180° - góc FEI = 180° - 55° = 125°

Bài 2. Cho tam giác ABC đều, với G là trọng tâm của tam giác. Xác định trực tâm của các tam giác GAB, GAC, GBC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC đều và G là trọng tâm, nên G đồng thời là trực tâm của tam giác ABC.

=> AG vuông góc với BC, BG vuông góc với AC, và CG vuông góc với AB.

Xét tam giác GAB, ta thấy BC vuông góc với AG và AC vuông góc với BG.

Vì AC và BC giao nhau tại C, nên C là giao điểm của hai đường cao trong tam giác ABG.

=> C là trực tâm của tam giác GAB.

Tương tự, B là trực tâm của tam giác GAC và A là trực tâm của tam giác GBC.

5.2. Phương pháp 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cách giải:

- Áp dụng tính chất của ba đường cao trong một tam giác cắt nhau tại một điểm duy nhất.

- Trong tam giác cân, đường trung tuyến và phân giác ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường cao.

- Hai đường thẳng song song với nhau sẽ cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

Bài 1. Trong tam giác ABC với góc A > 90°, AD vuông góc với BC tại điểm D, và BE vuông góc với AC tại điểm E. Gọi F là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng AB vuông góc với FC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác FBC, ta có:

Vì AD vuông góc với BC nên FD cũng vuông góc với BC (1).

BE vuông góc với AC => CE vuông góc với BF (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra rằng CE và FD là các đường cao của tam giác FBC.

Vì FD cắt CE tại A, nên A là trực tâm của tam giác FBC.

=> A nằm trên đường cao từ B trong tam giác FBC => AB vuông góc với FC.

Bài 2. Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D bất kỳ trên cạnh AB (D ≠ A, B), và điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng ED vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABE và tam giác ACD, ta có:

AE = AD

góc BAE = góc CAD = 90°

AB = AC

Vì vậy, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACD (cạnh góc cạnh).

=> góc ACD = góc ABE (hai góc tương ứng) (1).

Gọi F là điểm giao nhau của CD và BE.

Ta có, góc FDB bằng góc ADC (hai góc đối đỉnh) (2).

góc ADC cộng với góc DCA bằng 90° (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: góc FDB cộng góc FBD bằng góc ADC cộng góc DCA, tức là 90°.

Trong tam giác FDB, ta có:

góc DFB = 180° - (góc FDB + góc FBD) = 180° - 90° = 90°

=> CD vuông góc với BE

Xem xét tam giác BEC, ta có:

AB vuông góc với EC

CD vuông góc với BE

Hơn nữa, CD cắt AB tại D

Do đó, D là trực tâm của tam giác BEC

Bài 3. Xét tam giác ABC vuông tại A. Chọn một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M ≠ A, C). Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với BC và gọi điểm cắt là N. Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh rằng ba đường thẳng AB, CP và MN đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Gọi D là điểm chung của đường thẳng AB và CP

Xem xét tam giác DBC có:

AB vuông góc với AC, do đó AC vuông góc với BD (1)

CP vuông góc với BP, nên BP cũng vuông góc với DC (2)

Từ (1) và (2), chúng ta suy luận rằng CA và BP là các đường cao của tam giác DBC

Vì BP cắt AC tại điểm m, do đó M là trực tâm của tam giác DBC, dẫn đến DM vuông góc với BC

Bên cạnh đó, MN vuông góc với BC, nên các điểm M, N, và D nằm trên cùng một đường thẳng, đồng thời AB, MN và CP đều đi qua điểm D

Bài 4. Trong tam giác ABC cân tại đỉnh A, M là trung điểm của đoạn BC và đường cao CN cắt AM tại H. Chứng minh rằng BH vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC, nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao tương ứng với BC.

=> AM vuông góc với BC.

Ngoài ra, vì CN vuông góc với AB và AM cắt CN tại H

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> BH là đường cao từ B trong tam giác ABC

=> BH vuông góc với AC

Bài 5. Trong tam giác ANC với góc A = 100° và góc C = 30°, đường cao AH được vẽ. Trên cạnh AC, chọn điểm D sao cho góc CBD = 10°. Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với BD.

Hướng dẫn giải

Góc ADB là góc ngoài của tam giác DBC, do đó:

góc ADB = góc DBC + góc DCB = 10° + 30° = 40°

Trong tam giác ABC có:

Góc ABC = 180° - góc BAC - góc ACB = 180° - 100° - 30° = 50°

Góc ABD = góc ABC - góc DBC = 50° - 10° = 40°

Trong tam giác ABD, góc ABC = góc ABD = 40°, do đó tam giác ABD cân tại A

Gọi I là giao điểm của AE và BD, thì AI là phân giác của góc BAD

Vì tam giác ABD cân nên AI cũng là đường cao của tam giác ABD, do đó AI vuông góc với BD, tức là AE vuông góc với BD.