Đường Euler

Trong hình học, đường Euler (tiếng Anh: Euler line), được đặt theo tên nhà toán học Leonhard Euler, là một đường thẳng đi qua các điểm quan trọng trong một tam giác bất kỳ không đều. Những điểm này bao gồm trực tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Đường Euler trong tam giác cũng là cơ sở để định nghĩa đường Euler trong các hình khác, như tứ giác hay tứ diện.

Đường Euler trong tam giác

Tính đồng quy

Vào năm 1765, Euler đã chứng minh rằng trong bất kỳ tam giác nào, các điểm như trực tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và tâm của đường tròn chín điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các tam giác khác thì không. Tuy nhiên, chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm này đã có thể xác định đường thẳng Euler.

Các điểm đặc biệt khác đáng chú ý trên đường thẳng Euler bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler và điểm Exeter. Tuy nhiên, tâm của đường tròn nội tiếp và bàng tiếp chỉ nằm trên đường thẳng Euler trong trường hợp của tam giác cân.

Chứng minh

Trong chứng minh này, tam giác ABC được xem xét với các điểm quan trọng như tâm của đường tròn ngoại tiếp $O$, trọng tâm $G$ và trực tâm $H$. Chứng minh dựa trên tính chất của vectơ, với điểm $G$ thỏa mãn một đẳng thức cụ thể.

Tiếp theo, dựa vào định lý tam giác của Sylvester, hai điểm $O$ và $H$ cùng thỏa mãn một đẳng thức cụ thể.

Áp dụng tính chất cộng vectơ, ta có

Kết hợp các phương trình này theo từng vế, chúng ta có

$3\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{GO}=\left(\underset{cyclic}{\sum <!--\; \sum \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{GA}\right)+(\underset{cyclic}{\sum <!--\; \sum \; -->}$

A O → ) = 0 − ( ∑ c y c l i c O A → ) = − O H → . {displaystyle 3cdot {ec {GO}}=left(sum limits _{scriptstyle { m {cyclic}}}{ec {GA}} ight)+left(sum limits _{scriptstyle { m {cyclic}}}{ec {AO}} ight)=0-left(sum limits _{scriptstyle { m {cyclic}}}{ec {OA}} ight)=-{ec {OH}}.}

Từ kết quả trên, ta có thể suy ra rằng , điều này chứng minh rằng ba điểm $O$, $G$ và $H$ (theo thứ tự đã cho) nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm tắt đề bài: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn $\left(O\right)$ có trực tâm $H$ và trọng tâm $G$. Chứng minh H {\displaystyle H} , $G$, $O$ thẳng hàng và $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{GH}=-<!--\; -\; -->2\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{GO}$

Chứng minh:

• Chọn $M$ làm trung điểm của