Đường phức tạp

Trong toán học, đường phức tạp hay hyperbol (xuất phát từ tiếng Hy Lạp: ὑπερβολή, có nghĩa là 'vượt trội' hoặc 'thái quá') là một dạng Đường cô-nic, được xác định là đường cắt của một mặt nón với mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

Đường phức tạp cũng được định nghĩa là quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng mà giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định là một hằng số bằng 2a. a cũng chính là độ dài bán trục lớn của đường phức tạp. Hai điểm cố định này được gọi là hai tiêu điểm của đường phức tạp. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm được gọi là trục thực của đường phức tạp, và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm được gọi là tâm của đường phức tạp.

Trong đại số, đường phức tạp là một đường cong trên mặt phẳng Descartes, được định nghĩa bằng công thức tổng quát.

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

với $B^2>4AC$, trong đó A, B, C, D, E là các hệ số thực, và có nhiều hơn một nghiệm, với mỗi điểm (x, y) nằm trên hình Hyperbol.

Định nghĩa

Hình hyperbol có thể được mô tả qua 3 cách:

• Đường giao giữa hai mặt nón với một mặt phẳng khi mặt phẳng đó cắt cả hai hình nón.
• Quỹ tích của các điểm mà hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định (hai tiêu điểm) là một hằng số.
• Quỹ tích của các điểm thỏa mãn tỷ lệ khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm trên khoảng cách từ điểm đó đến một đường thẳng (được gọi là đường chuẩn) là một hằng số lớn hơn 1. Hằng số này được gọi là tâm sai của hyperbol.

Hyperbol có hai nhánh, mỗi nhánh có một tiêu điểm và hai đường tiệm cận. Hai đường tiệm cận đi qua tâm của hyperbol có phương trình $y=\frac{bx}{a}$ và $y=-<!--\; -\; -->\frac{bx}{a}$

Đặc điểm của hyperbol là tia xuất phát từ một tiêu điểm sẽ phản xạ qua điểm giao với hyperbol (đường tiếp tuyến tại điểm đó là đường pháp tuyến) để tạo thành một đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại, và điều này cũng diễn ra ngược lại.

Trường hợp đặc biệt của hyperbol, được gọi là rectangular hyperbola, xảy ra khi hai đường tiệm cận tạo thành góc vuông. Hình hyperbol đồng dạng với trục tọa độ là các đường tiệm cận được xác định bởi công thức xy= c 2 {\displaystyle c^{2}} , trong đó c là một hằng số (như hình bên dưới). Điểm gần gốc tọa độ nhất trên Hyperbol có tọa độ $(\sqrt{c},\sqrt{c})$. Đồng thời, đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm đó vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Vì hàm sin và cos là hàm lượng giác cho đường elíp, nên hàm sin của hyperbol và hàm cos của hyperbol cũng được xem là hàm lượng giác của hyperbol.

Công thức

Hình hyperbol

Hình Hyperbol có hướng Đông-Tây với tâm tọa độ tại (h,k):

$\frac{{\left(x-<!--\; -\; -->h\right)}^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\left(y-<!--\; -\; -->k\right)}^2}{b^2}=1$

Phương trình chuẩn của đường hyperbol trong hệ tọa độ Descartes với tâm trùng gốc tọa độ:

$\frac{{\left(x\right)}^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\left(y\right)}^2}{b^2}=1$

Trong đó $c^2=a^2+b^2$ và 2c là khoảng cách tiêu cự

• Trục thực của hyperbol đi qua tâm hình và cắt các nhánh tại đỉnh của mỗi nhánh. Tiêu điểm cũng nằm trên đường thẳng chứa trục thực của hyperbol.
• Trục ảo vuông góc với trục thực tại tâm của hyperbol.
• Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các đường tiệm cận và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của hyperbol, với độ dài của hai cạnh này là 2b đơn vị, hai cạnh còn lại song song với trục thực có độ dài bằng 2a đơn vị. Lưu ý rằng b có thể lớn hơn a.

Khoảng cách từ một điểm bất kỳ tới hai tiêu điểm có hiệu là 2a.

• Tâm sai được tính theo công thức dưới đây

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sec <!--\; \; -->\left(\arctan <!--\; \; -->\left(\frac{b}{a}\right)\right)=\cosh <!--\; \; -->\left(\mathrm{arsinh}<!--\; \; -->\left(\frac{b}{a}\right)\right)$

Nếu c là khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm, ta có

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{c}{a}$

trong đó

$c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Khoảng cách c được hiểu là nửa tiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) là 2c hoặc 2aε.

• Các tiêu điểm của đường hyperbol hướng Đông-Tây được xác định theo công thức sau:

$\left(h\pm <!--\; \pm \; -->c,k\right)$

và đối với đường hyperbol theo hướng Bắc-Nam, công thức được xác định như sau:

$\left(h,k\pm <!--\; \pm \; -->c\right)$.

• Công thức xác định đường chuẩn của hyperbol theo hướng Đông-Tây được đưa ra như sau:

$x=h\pm <!--\; \pm \; -->a\cos <!--\; \; -->\left(\arctan <!--\; \; -->\left(\frac{b}{a}\right)\right)$

Công thức xác định cho đường hyperbol theo hướng Bắc-Nam được nêu như sau:

$y=k\pm <!--\; \pm \; -->a\cos <!--\; \; -->\left(\arctan <!--\; \; -->\left(\frac{b}{a}\right)\right)$.

Hình dạng của hyperbol là đều đặn.

Đối với hyperbol đều, trục tọa độ song song với các đường tiệm cận được xác định như sau:

$(x-<!--\; -\; -->h)(y-<!--\; -\; -->k)=c$

Một ví dụ điển hình của hình hyperbol đều là:

$y=\frac{m}{x}$.

Đỉnh của hyperbol

Hình dạng hyperbol hướng đông-tây:

$r^2=a\sec <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Hình dạng hyperbol hướng bắc-nam:

$r^2=-<!--\; -\; -->a\sec <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Hình dạng hyperbol hướng Đông Bắc-Tây Nam:

$r^2=a\csc <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Hình dạng hyperbol hướng Tây Bắc-Đông Nam:

$r^2=-<!--\; -\; -->a\csc <!--\; \; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Biểu thức hàm số

Hình dạng hyperbol theo hướng Đông-Tây

$\begin{array}{c}x=a\sec <!--\; \; -->t+h\\ y=b\tan <!--\; \; -->t+k\end{array}or\begin{array}{c}x=\pm <!--\; \pm \; -->a\cosh <!--\; \; -->t+h\\ y=b\sinh <!--\; \; -->t+k\end{array}$

Hình dạng hyperbol theo hướng Bắc-Nam:

$\begin{array}{c}x=a\tan <!--\; \; -->t+h\\ y=b\sec <!--\; \; -->t+k\end{array}or\begin{array}{c}x=a\sinh <!--\; \; -->t+h\\ y=\pm <!--\; \pm \; -->b\cosh <!--\; \; -->t+k\end{array}$

Trong công thức, (h,k) đại diện cho tọa độ tâm của hyperbol, a là nửa chiều dài trục thực, và b là nửa chiều dài trục ảo.

Hyperbol dạng chữ nhật

Hyperbol chữ nhật, hyperbol đều, hay hyperbol vuông là loại hyperbol có hai đường tiệm cận vuông góc nhau.

Phương trình của Hyperbol chữ nhật trong hệ tọa độ song song với hai đường tiệm cận là:

$(x-<!--\; -\; -->h)(y-<!--\; -\; -->k)=m$.

Phương trình rút gọn của hyperbol chữ nhật được biểu diễn như sau:

$y=\frac{m}{x}$

Một conic có ngoại tiếp đi qua trực tâm của tam giác là một hyperbol chữ nhật.

Định lý Feuerbach nêu rằng nếu một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A, B, C thì tâm của hyperbol này nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC.

Một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A, B, C và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại T thì tâm của hyperbol này là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm tam giác ABC với T.

Trong tam giác, có ba đường hyperbol chữ nhật nổi tiếng là hyperbol Kiepert, hyperbol Jerabek và hyperbol Feuerbach.

• Parabol
• Đường tròn
• Elíp
• Hyperboloid

Ghi chú

• Toán học là gì? của Richard Courant và Herbert Robbins

Liên kết bên ngoài

• Lời giải của Apollonius về Hyperbol tại
• “Hyperbol đơn vị”. PlanetMath.

• “Đường conic”. PlanetMath.

• “Hyperbol đối”. PlanetMath.

• Mathworld - Hyperbol