Đường trung bình

Đường trung bình trong tam giác là đoạn nối giữa hai trung điểm của hai cạnh; mỗi tam giác có ba đường trung bình, và chúng song song với cạnh còn lại, dài bằng một nửa chiều dài của cạnh đó.

Đường trung bình trong hình thang là đoạn nối giữa hai trung điểm của các cạnh bên. Đường này song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng chiều dài của hai đáy.

Đường trung bình của hình bình hành là đoạn nối giữa hai trung điểm của các cạnh bên. Đoạn này song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng chiều dài của hai đáy.

Định lý đường trung bình

Trong tam giác

Định lý 1

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh trong tam giác và song song với cạnh thứ hai sẽ đi qua trung điểm của cạnh còn lại.

Đề bài minh họa:

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh rằng $NA=NC$.

Chứng minh định lý:

Từ M, vẽ một tia song song với AC cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song, do đó là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): $MF=NC$ (1)

(trong trường hợp góc - cạnh - góc), suy ra rằng $MF=AN$ (2)

Từ (1) và (2) có thể kết luận rằng $NA=NC$. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa chiều dài cạnh đó.

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng đoạn MN song song với đoạn BC và có độ dài bằng một nửa chiều dài của BC.

Chứng minh định lý:

Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF bằng với độ dài MN. Nhận thấy rằng tam giác ANM và tam giác CNF bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Do đó, hai góc MAN và NCF bằng nhau, vì chúng nằm ở vị trí so le, nên đoạn CF song song với đoạn MA hoặc đoạn BA. Mặt khác, vì hai tam giác này đồng dạng nên CF = MA, và từ đó suy ra CF = MB (vì MA = MB). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và CF vừa song song vừa bằng nhau, do đó BMFC là hình bình hành, từ đó suy ra MN song song với BC và MN = 1/2 BC. Định lý đã được chứng minh.

Trong một hình thang

Định lý 3

Đường thẳng nối giữa trung điểm của một cạnh bên hình thang và song song với hai đáy sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Cho hình thang ABCD, trong đó E là trung điểm của cạnh AD. Kẻ một đường thẳng từ điểm A song song với hai đáy, cắt cạnh BC tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của BC.

Chứng minh định lý: Gọi H là điểm giao nhau của AC và EF. Theo định lý 1 về đường trung bình trong tam giác, vì EH đi qua trung điểm của AD và song song với DC nên H là trung điểm của cạnh AC. Tương tự, trong tam giác CAB, do HF đi qua trung điểm AC và song song với AB nên F là trung điểm của BC. Như vậy, định lý đã được chứng minh.

Định lý 4

Đường trung bình của hình thang sẽ song song với hai đáy và có chiều dài bằng nửa tổng chiều dài của hai đáy.

Cho hình thang ABCD với E là trung điểm của cạnh AD và F là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EF}\parallel \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$ và .

Chứng minh định lý: Gọi H là trung điểm của AC.

Áp dụng định lý 2 về đường trung bình trong tam giác cho đường EH (tam giác ACD) và đường HF (tam giác CAB), ta có:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EH}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$ và .

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{HF}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}$ và .

Bởi vì $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EH}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$ và $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{HF}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$ (vì $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{HF}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}$ và $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$) nên ba điểm E, H và F nằm trên một đường thẳng. Do đó, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EF}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}\parallel <!--\; \parallel \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}$ và . Định lý đã được chứng minh.

Tam giác đường trung bình

Ba đường trung bình trong một tam giác tạo thành một tam giác nhỏ hơn được gọi là tam giác đường trung bình. Tam giác này có chu vi bằng một nửa chu vi của tam giác gốc.