Đường trung trực: Định nghĩa, tính chất và bài tập - Ôn tập môn toán lớp 7

Đường trung trực là một trong những khái niệm quan trọng mà các học sinh lớp 7 sẽ học trong chương trình Toán mới. Nó là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ban đầu tại trung điểm của nó.

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về đường trung trực, bao gồm định nghĩa, tính chất và một số bài tập kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn ôn tập và nắm vững kiến thức Toán 7 tại nhà. Ngoài ra, bạn cũng có thể tham khảo thêm về cách vẽ hình chiếu, cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, và các bài tập về lũy thừa số hữu tỉ, Nhân chia số hữu tỉ.

Tổng hợp thông tin về đường trung trực

• I. Khái niệm đường trung trực
• II. Tính chất của đường trung trực
• III. Các dạng bài tập thường gặp
• IV. Cách xác định đường trung trực của một đoạn thẳng
• V. Câu hỏi phổ biến về đường trung trực
• VI. Bài tập trắc nghiệm về đường trung trực
• VII. Bài tập tự luyện về đường trung trực

I. Khái niệm về đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Định lý 1: Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng sẽ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Giả thiết: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d

=> Khi đó, đoạn thẳng KL sẽ có độ dài KM bằng độ dài MB

Phát biểu 2:

Nếu một điểm nằm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng, thì điểm đó sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng tạo thành đường trung trực của đoạn thẳng đó.

II. Đặc điểm của đường trung trực

2.1. Tính chất đặc biệt của đường trung trực

Trong bản vẽ, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói: Đoạn AA đối xứng với đoạn BB qua đường dd.

Chú ý:

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng tạo thành đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2.2. Đặc điểm của ba đường trung trực trong tam giác

Trong hình vẽ, điểm OO là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ta thấy OA=OB=OC.OA=OB=OC. Điểm OO được xác định là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

III. Các bài toán thường gặp

Bài toán 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

- Phương án:

Để chứng minh rằng dd là đường trung trực của đoạn thẳng ABAB, chúng ta có thể chứng minh rằng dd đi qua hai điểm cách đều AA và BB hoặc sử dụng định nghĩa của đường trung trực.

Bài toán 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Phương thức:

Chúng ta áp dụng nguyên lý: “Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng sẽ cách đều hai đầu của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương án:

- Dùng thuộc tính của đường trung trực để thay đổi chiều dài của một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng khác có cùng chiều dài.

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách tiếp cận:

Tận dụng thuộc tính giao điểm của các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng giao nhau tại một điểm. Điểm này nằm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Bài toán 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác cân

Cách tiếp cận:

Lưu ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Bài toán 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác vuông

Phương pháp:

Chú ý rằng: Trong tam giác vuông, điểm giao của các đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.

IV. Cách xác định đường trung trực của một đoạn thẳng

Để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng, thực hiện các bước sau:

1. Vẽ đoạn thẳng AB lên mặt phẳng.

2. Phân chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau để tìm trung điểm M.

3. Vẽ đường thẳng qua trung điểm M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường này là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

4. Đường trung trực này gặp đoạn thẳng AB tại trung điểm M và tạo một góc vuông với đoạn thẳng AB.

5. Kiểm tra bằng cách đo góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng AB. Nếu góc là 90 độ, đường trung trực đã được xác định chính xác.

Đây là phương pháp đơn giản và hiệu quả để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng.

V. Câu hỏi phổ biến về đường trung trực

Số lượng đường trung trực trong một đoạn thẳng?

Mỗi đoạn thẳng chỉ có một đường trung trực do nó chỉ có một trung điểm và đường trực đi qua trung điểm đó và vuông góc với đoạn thẳng.

Cách viết phương trình của đường trung trực

Khi nghiên cứu về định nghĩa của đường trung trực, ta cũng cần biết cách viết phương trình của đường trung trực của một đoạn thẳng như sau:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.

Bước 2: Dựa vào định lý 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì MA = MB.

Ví dụ 1: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu MA có độ dài 5cm thì độ dài MB bằng bao nhiêu?

Vì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên theo định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực ta có MA = MB. Mà MA = 5cm (giả thiết) suy ra MB = 5cm.

Ví dụ 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa.

Ví dụ 3: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?

Ví dụ 3: 

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Giải pháp:

Cho hai đường tròn có tâm là M và N, bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.

Kết quả là MP = NP và MQ = NQ.

Do đó, P và Q là hai điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng MN.

Theo định lí 2, P và Q thuộc đường trung trực của MN.

Hoặc đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn MN.

Do đó, PQ là đường trung trực của đoạn MN.

Ví dụ số 4

Giả sử ABC, DBC, EBC là ba tam giác cân có cùng cạnh đáy BC. Chúng ta cần chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Gợi ý cho đáp án

Bởi vì tam giác ABC cân tại điểm A ⇒ AB = AC

⇒ A nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Do tam giác DBC cân tại điểm D ⇒ DB = DC

⇒ D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Bởi vì tam giác EBC cân tại điểm E ⇒ EB = EC

⇒ E nằm trên đường trung trực của BC

Do đó, A, D, E đều thuộc đường trung trực của đoạn BC

Vì vậy, A, D, E đều thẳng hàng

Ví dụ số 5

Đặt O là điểm giao nhau của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Khi đó, O sẽ là:

A. Điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC

B. Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

C. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D. Đáp án B và C là chính xác

Gợi ý cho đáp án

Chọn đáp án D

Ví dụ số 6:

Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác nào?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Gợi ý cho đáp án

Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Chúng ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC (gt) ⇒ BM = MC (tính chất của trung tuyến)

Bởi vì AM là đường trung trực của đoạn BC ⇒ AM vuông góc với BC

Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM ta có:

BM = CM (chú ý)

AM chung

⇒ ΔABM ≅ ΔACM (2 cạnh và góc vuông)

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ Tam giác ABC cân tại điểm A

Chọn đáp án D

Ví dụ số 7

Cho đoạn thẳng AB nằm trên mặt phẳng d. Xác định điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến hai điểm A, B là bằng nhau.

Gợi ý cho đáp án

Vẽ đường trung trực xy của đoạn AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, chúng ta có: MA = MB

+ Trong trường hợp AB vuông góc với d, xy song song với d, chúng ta không thể xác định được điểm M

+ Ngoại trừ trường hợp AB vuông góc với d, chúng ta luôn xác định được điểm M và M là duy nhất.

Ví dụ số 8

Trong tam giác ABC, với AC > AB, phân giác AD được. Trên AC, chọn điểm E sao cho AE = AB. Chúng ta cần chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Gợi ý cho đáp án

Ví dụ số 9:

Cho tam giác nhọn ABC. Đặt M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chúng ta cần chứng minh rằng MO vuông góc với AB, NO vuông góc với BC và PO vuông góc với AC.

Gợi ý cho đáp án:

Xét tam giác MOB và tam giác MOA ta có:

MO chung

OB = OA

MB = MA (M là trung điểm của AB)

=> Tam giác MOB ≅ tam giác MOA (cạnh-cạnh-cạnh)

=> OM vuông góc với MB hoặc OM vuông góc với AB

Tương tự, chúng ta có: ON vuông góc với NB hoặc ON vuông góc với BC

=> O là điểm giao của hai đường trung trực OM và ON

và P là trung điểm của AC

=> OP là đường trung trực của AC

=> OP vuông góc với AC.

Ví dụ số 10

Cần phục chế lại đĩa cổ hình tròn bị vỡ chỉ còn lại một mảnh (hình 6). Làm thế nào để xác định bán kính bị vỡ của đĩa cổ này?

Gợi ý cho đáp án:

Chọn 3 điểm A, B, C bất kì trên cung tròn.

Xem xét tam giác ABC

Kẻ 2 đường trung trực của đoạn AB và BC. Hai đường trung trực cắt nhau tại điểm O

=> OA = OB = OC

=> O là trung tâm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

=> OA, OB, OC là các bán kính.

Vậy bán kính của đĩa cổ được xác định là OA, OB, OC.

Ví dụ số 11:

Trong tam giác ABC và điểm O với điều kiện OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Gợi ý cho đáp án

Vì OA = OB, vậy O nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Vì OB = OC, vậy O nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Do tam giác ABC có O là giao điểm của hai đường trung trực của đoạn AB và đoạn BC, nên O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ số 12 

Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến cắt nhau tại điểm G. Biết rằng G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý cho đáp án

Đặt M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Vì G là điểm giao của ba đường trung trực của tam giác, nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB, do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Do đó ta có CA = CB.

Tương tự, thực hiện ta được BA = BC.

Vậy AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA, vì vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Ví dụ số 13

Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cắt nhau tại điểm I. Biết rằng I cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý cho đáp án

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I xuống BC, CA, AB.

Vì I là điểm giao của ba đường phân giác của tam giác ABC, nên IM = IN = IP.

Vì I là điểm giao của ba đường trung trực của tam giác ABC, nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Từ đó suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Vì vậy, M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Từ đó suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Vì AI là đường phân giác của góc BAC nên BAI = CAI.

Xét tam giác PAI vuông tại P và tam giác NAI vuông tại N có:

Vì AI là chung và PAI = NAI (đã chứng minh trước đó).

Suy ra tam giác PAI = tam giác NAI (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).

Vì P là trung điểm của AB, nên PA = 1/2 BA; N là trung điểm của CA, nên NA = 1/2 CA.

Do đó AB = CA.

Tương tự, ta thu được BA = BC.

Vậy AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

VI. Bài tập trắc nghiệm đường trung trực

Bài 1: Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm
B. CB = 20 cm
C. CB = 30 cm
D. CB = 40 cm

Bài 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân

Bài 3: Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 40°

Bài 4 Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC
B. BM = AB
C. BM là phân giác của ∠ABC
D. BM là đường trung trực của ΔABC

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Trong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho MA = MB và NA = NB.

A. Đường thẳng MN đi qua O
B. Đường thẳng MN vuông góc với AB
C. Đường thẳng MN vuông góc với AB tại O
D. Đường thẳng MN song song với AB

Bài 6 Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC
B. BM = AB
C. BM là phân giác của ∠ABC
D. BM là đường trung trực của ΔABC

Bài 7

Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm
B. CB = 20 cm
C. CB = 30 cm
D. CB = 40 cm

VII. Bài tập tự luyện đường trung trực

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O.Hai đường trung trực của 2 cạnh AB và AC cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: BM = CN.

b) Chứng minh OB = OC

c) Chứng minh các điểm A,O, I, K thẳng hàng.

Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M, N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.

b) MN là tia phân giác của AMB.

Bài 3: Cho góc xOy = 50, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điềm M sao cho Ox là trung trực của đoạn AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của đoạn AM.

a) Chứng minh: OM = ON

Bài 4: Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phảng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC, AC cắt d tai E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

a) So sánh MA + MB và AC

b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì.

b) Đường tròn tâm O bán kinh OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ,đương cao AH. Vẽ đường trung trục của cạnh AC cát BC tai I và cát AC tai E.

a) Chứng minh IA = IB = IC.

b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME

c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI

Bài 7: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD ?

Bài 8: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB . Cho MA =5cm. Hỏi độ dài MB bằng ?

Bài 9: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ∆AMN = ∆BMN

Bài 10: Cho ba tam giác ABC, DBC, EBC có chung đáy BC . Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính các góc của tam giác ABC

Bài 12. Cho tam giác ABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính các góc của tam giác ABC