Buzz
1. Đường trung trực là gì?
Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và tạo góc vuông với đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn vẽ đường trung trực
Phương pháp 1: Cho đoạn thẳng AB. Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB, thực hiện theo các bước sau:
- Vẽ đoạn thẳng AB và xác định trung điểm M của nó sao cho M cách đều hai điểm đầu A và B.
- Vẽ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M.
Vậy đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp 2: Vẽ đoạn thẳng AB.
Sử dụng compa để vẽ hai đường tròn có cùng bán kính, một đường tròn với tâm A và một với tâm B. Hai đường tròn sẽ cắt nhau tại hai điểm M và N.
Vẽ đường thẳng MN. Đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp này dựa trên đặc điểm rằng đường thẳng đi qua hai điểm giao nhau của hai đường tròn có bán kính bằng nhau là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.
Để chứng minh, ta có:
Hai cung tròn có tâm A và B với bán kính bằng nhau và cắt nhau tại M, N nên AM = BM và AN = BN, do đó M và N cách đều hai điểm đầu A và B của đoạn thẳng AB.
Theo định lý 2 (sẽ được trình bày dưới đây), M và N nằm trên đường trung trực của AB, tức là đường thẳng đi qua M và N chính là đường trung trực của AB.
Vì vậy, MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Các đặc điểm của đường trung trực
2.1. Tính chất của đường trung trực đối với một đoạn thẳng
Định lý 1: Một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai đầu của đoạn thẳng đó.
Giả sử: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, và M thuộc d
=> MA = MB
Định lý 2: Nếu một điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng, thì điểm đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Nếu chúng ta chứng minh được MA = MB thì điểm M sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng chính là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2.2. Các đặc điểm của ba đường trung trực trong một tam giác
Trong hình, điểm O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác ΔABC.
Chúng ta có OA = OB = OC, do đó điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔABC.
2.3. Các đặc điểm của đường trung trực trong tam giác cân
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
2.4. Đặc điểm của đường trung trực trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, điểm giao nhau của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Ví dụ, trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại B, điểm giao nhau của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
3. Các dạng bài toán thường gặp
3.1. Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng, ta cần chứng minh đường trung trực đó chứa hai điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng. Ví dụ, nếu đường thẳng d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc sử dụng định nghĩa của đường trung trực.
3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Để chứng minh dạng toán này, ta áp dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu của đoạn thẳng đó.”
Ví dụ: Xét tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB và AC, chúng cắt BC tại các điểm D và E. Các tam giác ABD và AEC có tính chất gì?
Hướng dẫn giải:
Do DM là đường trung trực của cạnh AB, nên DA = DB
Do đó, tam giác ADB là tam giác cân tại D.
Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC.
Vậy tam giác AEC là tam giác cân tại E.
3.3. Dạng 3: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Để giải bài toán về giá trị nhỏ nhất, ta có thể sử dụng đặc điểm của đường trung trực để thay thế độ dài một đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng khác, hoặc áp dụng bất đẳng thức tam giác để xác định giá trị nhỏ nhất (tổng của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại, hiệu của hai cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn cạnh còn lại).
3.4. Dạng 4: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác
Để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta sử dụng tính chất của giao điểm các đường trung trực trong tam giác.
Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác đều cắt nhau tại một điểm chung, và điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
. Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực trong tam giác cân
Để giải bài toán liên quan đến đường trung trực trong tam giác cân, ta dựa vào tính chất rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác và đường cao từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đó.
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có cùng đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E nằm trên một đường thẳng.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ΔABC cân tại A, do đó AB = AC, nghĩa là điểm A nằm trên đường trung trực của BC.
Tam giác ΔDBC cân tại D, vì vậy DB = DC, và điểm D thuộc đường trung trực của BC.
Tam giác ΔEBC cân tại E, dẫn đến EB = EC, do đó điểm E nằm trên đường trung trực của BC.
Vì vậy, các điểm A, D, E đều nằm trên đường trung trực của BC, từ đó chúng ta kết luận rằng A, D, E nằm trên cùng một đường thẳng như yêu cầu chứng minh.
3.6. Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực trong tam giác vuông
Để giải bài toán về đường trung trực trong tam giác vuông, cần chú ý đến đặc điểm rằng trong tam giác vuông, điểm giao nhau của các đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.
Ví dụ: Xét tam giác ABC vuông tại B với AB = 6cm và BC = 8cm. Gọi E là điểm giao nhau của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Tính khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Vì E là điểm chung của ba đường trung trực trong tam giác ABC, nên ta có EA = EB = EC.
Do tam giác ABC vuông tại B, nên E là trung điểm của cạnh AC.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100
Do đó, AC = 10 cm.
=> EA = EB = EC = AC/2 = 5 cm
4. Bài tập củng cố về đường trung trực
Bài tập 1: Gọi O là điểm giao nhau của ba đường trung trực trong tam giác ΔABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC
C. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔABC
D. Cả B và C đều đúng
Gợi ý: Chọn đáp án D
Ba đường trung trực của một tam giác đều cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và đồng thời là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài tập 2: Nếu trong một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực, thì tam giác đó thuộc loại gì?
A. Tam giác vuông B. Tam giác cân C. Tam giác đều D. Tam giác vuông cân
Hướng dẫn giải:
Giả sử tam giác ABC có AM vừa là trung tuyến vừa là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Thật vậy, vì AM là trung tuyến của tam giác ABC (theo giả thiết) nên BM = MC (theo tính chất của trung tuyến)
Do AM là đường trung trực của BC nên AM vuông góc với BC
Xét hai tam giác vuông ABM và ACM ta có:
BM = CM (đã chứng minh ở trên)
AM là cạnh chung
⇒ Tam giác ABM bằng tam giác ACM (theo tính chất hai cạnh góc vuông) ⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng) ⇒ Tam giác ABC cân tại A
Đáp án đúng là D
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Lấy điểm E trên AC sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.
Hướng dẫn giải:
Nối các đoạn BE và ED.
Xét hai tam giác ADB và ADE, ta có:
AD là cạnh chung
Góc BAD = góc EAD (vì AD là phân giác của góc BAC)
AB = AE (theo giả thiết)
⇒ Góc ADB = góc ADE (theo trường hợp c-g-c)
Suy ra DB = DE
Ta có AB = AE (theo giả thiết)
Vậy AD là đường trung trực của BE, tức là AD vuông góc với BE.
Bài viết trên đã trình bày những kiến thức về chủ đề đường trung trực của đoạn thẳng. Cảm ơn các bạn đã theo dõi.
