Giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối (tiếng Anh: Absolute value) - còn được gọi là mô đun (modulus) của một số thực x, được ký hiệu là |x|, là giá trị của số đó mà không tính dấu. Nghĩa là |x| = -x nếu x là số âm (trái dấu), và |x| = x nếu x là số dương, và |0| = 0. Giá trị tuyệt đối của một số cũng có thể hiểu là khoảng cách từ số đó đến 0.

Trong toán học, việc sử dụng giá trị tuyệt đối rất phổ biến trong nhiều hàm toán học, và còn được áp dụng cho các số phức, vectơ, trường,... Liên quan mật thiết đến khái niệm giá trị.

Đồ thị của một hàm số khi có biến số nằm trong dấu 'giá trị tuyệt đối' sẽ luôn nằm trên trục hoành.

Số thực

Với mọi số thực a, giá trị tuyệt đối của a - ký hiệu là |a| - được định nghĩa:

|a| = {a, nêu a ≥ 0\\-a, nêu a < 0.}

Định nghĩa trên cho thấy, giá trị tuyệt đối của a luôn là một số không âm.

Theo góc độ hình học, giá trị tuyệt đối của một số thực là khoảng cách từ số đó đến điểm 0 trên trục số thực. Tổng quát hơn, giá trị tuyệt đối giữa hai số thực khác nhau là khoảng cách giữa chúng trên trục số thực, ví dụ: |5 - 3| = 2 (khoảng cách giữa 5 và 3).

Mệnh đề 1 dưới đây là một đồng nhất thức. Nó tương đương với định nghĩa trên và đôi khi có thể được sử dụng để định nghĩa về giá trị tuyệt đối.

MỆNH ĐỀ 1:

MỆNH ĐỀ 1:

MỆNH ĐỀ 2:

$\left|a\right|\ge <!--\; \ge \; -->0$	Tính không âm
$\left|a\right|=0\iff <!--\; \iff \; -->a=0$	Xác định tính dương
$|ab|=|a||b|$	Tính kết hợp
$|a+b|\le <!--\; \le \; -->|a|+|b|$	Subadditivity

Chứng minh:

Nếu a hoặc b bằng 0, chẳng hạn:

Nếu a và b cùng bé hơn 0 hoặc cùng lớn hơn 0 thì ta có:

Nếu a hoặc b bằng 0, chẳng hạn:

Nếu a và b cùng bé hơn 0 hoặc cùng lớn hơn 0 thì ta có:

Nếu a và b, có một số lớn 0, một số bé hơn 0 thì ta có:
• Với |a| ≥ |b| ⟺ |a+b| = |a|-|b|
• Với |a| ≤ |b| ⟺ |a+b| = |b|-|a|

Vì |a| và |b| đều lớn hơn 0 nên |a|-|b| hoặc |b|-|a| đều nhỏ hơn tổng |a|+|b|. Vậy ta luôn có: |a+b| ≤ |a|+|b|.

MỆNH ĐỀ 3

$|-<!--\; -\; -->a|=|a|$	Tính đối xứng
$|a-<!--\; -\; -->b|=0⟺<!--\; ⟺\; -->a=b$	Đẳng thức indiscernibles (tương đương với xác định dương)
$|a-<!--\; -\; -->b|\le <!--\; \le \; -->|a-<!--\; -\; -->c|+|c-<!--\; -\; -->b|$	Bất đẳng thức tam giác (tương đương với subadditivity)
$|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}(\text{n}\stackrel{´<!--\; ´\; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\text{e}}}\text{u}b\ne <!--\; \ne \; -->0)$	Bảo toàn trong phép chia (tương đương với multiplicativeness)
$|a-<!--\; -\; -->b|\ge <!--\; \ge \; -->|a|-<!--\; -\; -->|b|$	Điều phải chứng minh (Articles need to prove)

Ta cũng có hai bất đẳng thức (inequalities) quan trọng:

⟨span>$semantics>\mid a\mid a\mid \ge b⟺a\le -b\text{hoặc}b\le a\{displaystyle\mid a\mid \ge b⟺aleq-b\{mbox\{hoặc\}\}bleqa\}$

Hai bất đẳng thức trên thường được áp dụng để giải các bài toán bất đẳng thức khác. Ví dụ:

$|x-<!--\; -\; -->3|\le <!--\; \le \; -->9$	$⟺<!--\; ⟺\; -->-<!--\; -\; -->9\le <!--\; \le \; -->x-<!--\; -\; -->3\le <!--\; \le \; -->9$
	$⟺<!--\; ⟺\; -->-<!--\; -\; -->6\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->12$

Số phức

Vì số phức (complex number) không có thứ tự, nên định nghĩa về giá trị tuyệt đối của các số phức không thể được suy ra từ định nghĩa tương ứng của các số thực. Tuy nhiên, từ đồng nhất thức ở mệnh đề 1 (xem phần số thực ở trên), ta có định nghĩa sau:

Với mọi số phức:

$z=x+yi,$

giá trị tuyệt đối hay mô-đun của z - ký hiệu là |z| - được xác định như sau:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Về góc độ hình học, ta thấy định nghĩa trên tương tự như định lý Pythagoras:$|z{|}^2=x^2+y^2$