Buzz
1. Cách giải bài tập hệ phương trình lớp 9
Bước 1: Từ một phương trình trong hệ, ta biến đổi để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thay vào phương trình khác để có phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn đã được rút gọn, rồi tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
Lưu ý:
+ Để đơn giản hóa lời giải, thường chọn các phương trình có hệ số nhỏ (1 hoặc -1) và biểu diễn ẩn có hệ số nhỏ qua ẩn còn lại.
+ Thay một phương trình trong hệ bằng phương trình một ẩn mới tìm được, ta sẽ có hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu.
2. Bài tập hệ phương trình lớp 9
Bài 1. Một ô tô dự định di chuyển từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu tốc độ xe tăng thêm 10 km/h, thời gian đến sớm 3 giờ. Nếu tốc độ giảm 10 km/h, thời gian đến muộn 5 giờ. Tính tốc độ dự kiến của xe và thời gian dự định để đi từ A đến B.
Bài 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể làm đầy bể trong 4 giờ 48 phút. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 3 giờ, thì bể đầy 75%. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình để đầy bể.
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu ta tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần, thì chu vi khu vườn sẽ tăng thêm 162m. Tính diện tích của khu vườn.
Bài 4. Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm, diện tích của tam giác sẽ tăng thêm 12 dm². Xác định chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
3. Đáp án bài tập hệ phương trình lớp 9
Bài 1. Gọi vận tốc dự kiến của ô tô là x (km/h) với x > 10 và thời gian dự định là y (h) với y > 3. Quá trình từ A đến B có chiều dài S = xy (km) (1). Nếu mỗi giờ ô tô tăng tốc thêm 10 km/h, thì vận tốc mới là x + 10 (km/h).
Đáp án bài 1:
Ô tô đến sớm 3 giờ, vì vậy thời gian để hoàn thành quãng đường AB là y – 3 (giờ).
Quãng đường AB được tính bằng: S = (x + 10)(y – 3) (km) (2).
Từ các phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình: xy = (x + 10)(y – 3) ⇔ xy = xy – 3x + 10y – 30 ⇔ 3x – 10y = -30 (*)
Nếu ô tô giảm tốc độ mỗi giờ 10 km/h, thì vận tốc lúc đó là x – 10 (km/h).
Ô tô đến muộn 5 giờ, do đó thời gian để hoàn thành quãng đường AB là y + 5 (giờ).
Quãng đường AB được tính bằng: (x – 10)(y + 5) (km) (3).
Từ phương trình (1) và (3), ta có: xy = (x – 10)(y + 5) ⇔ xy = xy + 5x – 10y – 50 ⇔ 5x – 10y = 50 (**)
Kết hợp phương trình (*) và (**), ta được hệ phương trình: { 3x − 10y = −30 (4); 5x − 10y = 50 (5)
Khi lấy (5) trừ (4), ta có: ⇔ { (5x − 10y) − (3x − 10y) = 50 + 30 ; 3x − 10y = −30 }
⇔ { 5x − 10y − 3x + 10y = 80 ; 3x − 10y = −30 }
⇔ { 2x = 80 ; 3x − 10y = −30 }
⇔ { x = 80 / 2 ; 3x − 10y = −30 }
⇔ { x = 40 ; 3 × 40 − 10y = −30 }
⇔ { x = 40 ; 120 − 10y = −30 }
⇔ { x = 40 ; 10y = 150 }
⇔ { x = 40 ; y = 15 (đúng) }
Do đó, vận tốc dự kiến của ô tô là 40 km/h và thời gian dự kiến để ô tô hoàn thành quãng đường AB là 15 giờ.
Bài 2.
Gọi thời gian để vòi thứ nhất một mình làm đầy bể là x (giờ) và thời gian để vòi thứ hai làm đầy bể là y (giờ) (x, y > 0).
Trong một giờ, vòi thứ nhất sẽ làm đầy 1/x bể.
Trong một giờ, vòi thứ hai sẽ làm đầy 1/y bể.
4 giờ 48 phút tương đương với 4,8 giờ.
75% tương đương với 3/4 bể.
Vì hai vòi cùng hoạt động trong 4,8 giờ sẽ làm đầy bể nên ta có phương trình: 4,8 * (1/x + 1/y) = 1 ⇔ 4,8x + 4,8y = 1 (1)
Khi vòi thứ nhất hoạt động trong 4 giờ và vòi thứ hai trong 3 giờ, chúng làm đầy 3/4 bể, do đó ta có phương trình: 4/x + 3/y = 3/4 (2)
Từ các phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình: 4,8x + 4,8y = 1 và 4/x + 3/y = 3/4.
Gọi { 1/x = a và 1/y = b, khi đó hệ phương trình chuyển thành: 4,8a + 4,8b = 1 và 4a + 3b = 0,75.
⇔ {4,8a + 4,8b = 1; 4a = 0,75 - 3b}
⇔ {4,8a + 4,8b = 1; a = (0,75 - 3b)/4}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; 4,8 * (0,75 - 3b)/4 + 4,8b = 1}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; 1,2 * (0,75 - 3b) + 4,8b = 1}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; 0,9 - 3,6b + 4,8b = 1}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; 1,2b = 1 - 0,9}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; 1,2b = 0,1}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; b = 0,1 / 1,2}
⇔ {a = (0,75 - 3b)/4; b = 1/12}
⇔ {a = (0,75 - 3 * 1/12)/4; b = 1/12}
⇔ {a = 1/8; b = 1/12}
⇒ {1/x = 1/8; 1/y = 1/12}
⇔ {x = 8; y = 12 (thỏa mãn)}
Vậy vòi đầu tiên sẽ làm đầy bể trong 8 giờ khi hoạt động một mình; vòi thứ hai sẽ làm đầy bể trong 12 giờ khi hoạt động một mình.
Bài 3.
Gọi x là chiều dài khu vườn (m) và y là chiều rộng khu vườn (m) với điều kiện x > y > 0.
Vì chu vi khu vườn là 60m, ta có phương trình: 2(x + y) = 60 ⇔ x + y = 30 (1)
Khi tăng chiều dài lên 4 lần, chiều dài mới sẽ là 4x (m); khi tăng chiều rộng lên 3 lần, chiều rộng mới sẽ là 3y (m).
Chu vi khu vườn mới sẽ là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m)
Vì chu vi khu vườn mới vượt chu vi cũ 162m, ta có phương trình:
(8x + 6y) – 2(x + y) = 162 ⇔ 8x + 6y – 2x – 2y = 162 ⇔ 6x + 4y = 162 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: { x + y = 30; 6x + 4y = 162}
⇔ { x = 30 − y ; 6(30 − y) + 4y = 162 }
⇔ { x = 30 − y ; 180 − 6y + 4y = 162 }
⇔ { x = 30 − y ; − 2y = 162 − 180 }
⇔ { x = 30 − y; − 2y = − 18 }
⇔ { x = 30 − y; y = 18 : 2 }
⇔ { x = 30 − y; y = 9 }
⇔ { x = 30 − 9; y = 9 }
⇔ { x = 21 ; y = 9 (đúng) }
Diện tích khu vườn ban đầu là: S = 21 × 9 = 189 m²
Bài 4.
Gọi chiều cao tam giác là x (dm) và cạnh đáy là y (dm) với điều kiện 0 < x < y
Do chiều cao tam giác bằng 3/4 cạnh đáy nên có: x = 3/4y (1)
Diện tích của tam giác là S = 1/2 xy (dm²)
Nếu chiều cao tam giác tăng thêm 3dm thì chiều cao mới sẽ là x + 3 (dm)
Nếu cạnh đáy giảm đi 3dm thì cạnh đáy mới là y – 3 (dm)
Diện tích tam giác mới được tính là S = 1/2(x + 3)(y − 3) = 1/2 xy − 3/2x + 3/2y − 9/2 (dm²)
Vì diện tích mới tăng thêm 12 dm² so với diện tích cũ, ta có phương trình: (1/2xy − 3/2x + 3/2y − 9/2) − 1/2xy = 12
⇔ 1/2xy − 3/2x + 3/2y − 9/2 − 1/2xy = 12
⇔ − 3/2x + 3/2y − 9/2 = 12
⇔ − 3x + 3y − 9 = 24
⇔ − 3x + 3y = 33
⇔ − 3x + 3y = 33
⇔ − x + y = 11 (2)
Từ (1) và (2) chúng ta có hệ phương trình: {− x + y = 11 ; x = 3/4y}
⇔ { x = 3/4y ; − 3/4y + y = 11 }
⇔ { x = 3/4y ; 1/4y = 11 }
⇔ { x = 3/4y ; y = 44 }
⇔ { x = 33 ; y = 44 }
⇔ { x = 33 ; y = 44 }
⇔ { x = 33 ; y = 44 (đúng) }
Do đó, chiều cao của tam giác là 33dm và cạnh đáy là 44dm.
