Giải thích các dữ liệu trong biểu đồ và bảng phức tạp của SAT Math

Dạng bài chứa biểu đồ và bảng là một trong những câu hỏi khó trong bài thi SAT Math nếu người học không nắm vững cách biểu diễn dữ liệu trong bảng biểu. Qua bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm kiếm, xác định những thông tin quan trọng trong bảng biểu, từ đó giải thích dữ liệu từ biểu đồ và bảng phức tạp.

Tổng quan về các dạng bài có chứa biểu đồ và bảng trong SAT Math

Bảng biểu

Bảng là hình thức thể hiện dữ liệu quen thuộc. Dữ liệu trong bảng được sắp xếp dưới dạng hàng và cột, thường cung cấp thông tin về số lượng, tần suất, tỉ lệ phần trăm hoặc các số liệu khác của nhiều đối tượng.

Ví dụ:

Biểu đồ phân phối chuẩn trong SAT

Đây là dạng biểu đồ đường cong hình chuông mô tả những bộ dữ liệu tuân theo phân phối chuẩn — phần lớn số liệu tập trung gần giá trị trung bình của bộ số liệu đó. Biểu đồ này thường được dùng trong phân tích thống kê.

Ví dụ: Dưới đây là biểu đồ phân phối chuẩn dạng tổng quát

Biểu đồ đường biểu thị

Biểu đồ đường bao gồm một hoặc nhiều đoạn thẳng được nối từ nhiều điểm khác nhau. Biểu đồ này thể hiện sự biến đổi của dữ liệu theo sự thay đổi của một điều kiện khác như thời gian. Trong đó, thời gian luôn được biểu diễn trên trục hoành và biến luôn được biểu diễn theo trục tung.

Ví dụ:

Biểu đồ cột thể hiện

Biểu đồ cột sử dụng các thanh đứng hoặc ngang để đại diện cho các giá trị của dữ liệu. Độ dài của các cột tương ứng với số lượng hoặc tần số của từng giá trị. Biểu đồ này thường được dùng để so sánh dữ liệu giữa các nhóm hoặc danh mục.

Ví dụ:

Biểu đồ tần suất phân tích

Biểu đồ tần suất là một dạng biểu đồ cột đặc biệt. Trong đó, các cột được xếp liền nhau thể hiện tần suất của một chuỗi giá trị liên tục, đồng thời có các đường kẻ song song với trục hoành tương ứng với mỗi giá trị tần suất. Đây là biểu đồ phổ biến trong thống kê để đánh giá mức độ phân bố của dữ liệu.

Ví dụ:

Biểu đồ phân tán và hồi quy trong SAT

Biểu đồ phân tán sử dụng các điểm để thể hiện mối quan hệ giữa hai biến. Biểu đồ hồi quy là đường được thêm vào biểu đồ phân tán để cho thấy xu hướng chung của dữ liệu và dùng để dự đoán giá trị của một biến khi biết giá trị của biến khác. Biểu đồ này hữu ích trong việc đánh giá mối quan hệ và sự ảnh hưởng của các biến đối với nhau.

Ví dụ:

Những thách thức thường gặp khi làm bài thi có chứa biểu đồ và bảng

Hiểu rõ các thuật ngữ toán học cần thiết

Trong các bài toán chứa biểu đồ và bảng, các thuật ngữ như “mean” (trung bình), “median” (trung vị) hay “standard deviation” (độ lệch chuẩn) thường được sử dụng để mô tả dữ liệu. Người học nếu không nắm vững định nghĩa và cách truy xuất những thông tin này có thể không hiểu yêu cầu đề hoặc nhầm lẫn trong quá trình làm bài.

Chọn lọc thông tin phù hợp để giải quyết bài toán

Biểu đồ và bảng thường chứa nhiều thông tin không liên quan hoặc dư thừa khiến thí sinh khó xác định thông tin nào là cần thiết cho việc giải bài. Việc chọn sai dữ liệu hoặc phân tích các yếu tố không liên quan có thể dẫn đến việc giải sai hoặc mất thời gian không cần thiết.

Tính toán và suy luận từ dữ liệu trong bài thi SAT

Đối với một số bài toán, thí sinh không thể tìm ra đáp án trực tiếp từ các dữ liệu có sẵn mà cần thực hiện một số phép tính toán và suy luận dựa trên những dữ liệu này. Sai sót trong các bước suy luận, lựa chọn phương pháp tính toán và thực hiện các phép tính đều có thể dẫn đến lựa chọn sai kết quả.

Chiến lược giải quyết dữ liệu từ biểu đồ và bảng phức tạp

Bước 1: Đọc kỹ câu hỏi và xác định yêu cầu chính cần giải quyết

Người học cần xác định những từ khóa quan trọng như “average” (trung bình), “difference” (sự khác biệt), “increase” (tăng), “percentage” (phần trăm), hay “rate of change” (tốc độ thay đổi). Đây là những từ khóa giúp chỉ ra phép tính cần thực hiện và loại dữ liệu cần lấy. Ngoài ra, một số câu hỏi yêu cầu người học xác định giá trị gần đúng hoặc cần làm tròn kết quả. Việc đọc kỹ các yêu cầu đặc biệt này giúp người học tiết kiệm thời gian trong quá trình tìm kiếm dữ liệu và tính toán

Bước 2: Nhận diện loại biểu đồ và phương pháp đọc dữ liệu tương ứng

• Bảng: Xác định tiêu đề của hàng và cột, kiểm tra các dòng tổng hoặc dữ liệu trung bình nếu có.

• Biểu đồ cột: Xem chiều cao (với biểu đồ cột dọc) hoặc độ dài (với biểu đồ cột ngang) của các thanh để biết giá trị của từng danh mục.

• Biểu đồ tần suất: Xác định chuỗi các giá trị trên trục hoành và đọc chiều cao của mỗi cột để biết tần suất xuất hiện của các giá trị.

• Biểu đồ đường: Đọc các điểm trên biểu đồ và xem xu hướng thay đổi (tăng, giảm) dựa trên đường nối giữa các điểm.

• Biểu đồ phân tán và hồi quy:

  Quan sát phân bố của các điểm trên biểu đồ và đường hồi quy để xác định xu hướng chung của dữ liệu và có thể sử dụng để dự đoán giá trị của một biến dựa trên giá trị của biến còn lại.

Đối với tất cả các dạng bảng và biểu đồ, người học cần xác định đơn vị được thể hiện trong hình ảnh và đối chiếu với đơn vị được yêu cầu tính toán trong câu hỏi để tránh tính toán sai.

Bước 3: Chọn lọc dữ liệu cần thiết trong biểu đồ hoặc bảng

Thông thường, người học chỉ cần sử dụng một vài thông tin từ bảng biểu để trả lời mỗi câu hỏi. Chẳng hạn, câu hỏi có thể giới hạn dữ liệu trong một khoảng thời gian, khoảng giá trị hay một số danh mục nhất định. Khi đó, người học có thể khoanh tròn hoặc đánh dấu những dữ liệu liên quan và cần thiết để tránh mất tập trung cũng như không sử dụng nhầm dữ liệu.

Bước 4: Chọn phép tính thích hợp dựa trên yêu cầu của câu hỏi

Để chọn đúng phép tính, người học cần dựa vào từ khóa và yêu cầu trong câu hỏi cũng như những dữ liệu liên quan đã được xác định trước đó. Dưới đây là các tình huống phổ biến và loại phép tính thường gặp:

• Cộng: Sử dụng phép cộng khi câu hỏi yêu cầu xác định “tổng số” (total).

Ví dụ: “What is the total number of participants from 2010 to 2012?”

• Trừ: Sử dụng phép trừ khi câu hỏi yêu cầu xác định “sự thay đổi” (difference, change) giữa hai giá trị.

Ví dụ: “How much did the sales increase from 2018 to 2019?”

• Nhân, chia: Dùng khi câu hỏi yêu cầu tìm “tỷ lệ” (rate) “số lần gấp” (time) giữa các giá trị hoặc suy ra giá trị từ những tỷ lệ này.

Ví dụ: “The number of products sold in 2020 is twice that in 2019. How many products were sold in 2020?”

• Tính tỷ lệ phần trăm: Thường được dùng khi câu hỏi đề cập đến “phần trăm tăng” (percent increase/decrease), “phần trăm trên tổng” (percent of total).

Ví dụ: “What is the percentage increase in sales from 2018 to 2019?”

• Tính các giá trị trong thống kê: Nhiều câu hỏi yêu cầu người học xác định các giá trị “trung bình” (mean), “trung vị” (median), “phương sai” (variance), “độ lệch chuẩn” (standard deviation) dựa trên bộ dữ liệu

Ví dụ: “What is the mean and median of the students’ scores?”

• Dự đoán, ước tính: Câu hỏi yêu cầu người học “ước tính” hay “dự đoán” (estimate, predict) một giá trị dựa trên bộ dữ liệu hoặc đường hồi quy. Người học cần kết hợp nhiều phép tính hoặc đối chiếu số liệu giữa trục tung và trục hoành dựa trên đường hồi quy?

Ví dụ: Estimate the number of students who get 8 scores if they study for two hours every day.

Bước 5: Chọn đáp án và kiểm tra kết quả cuối cùng

Sau khi tính toán, người học lựa chọn đáp án đúng hoặc gần đúng (tuỳ vào yêu cầu đề) với kết quả của mình. Nếu không thấy kết quả tương ứng, người học cần kiểm tra lại các phép tính đã thực hiện cũng như kiểm tra lại đơn vị, yêu cầu câu hỏi để tìm ra điểm sai và giải lại bài.

Phương pháp giải thích dữ liệu từ các biểu đồ và bảng phức tạp

Xác định các giá trị trung bình, trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn

• Mean (trung bình cộng) của một bộ dữ liệu được tính bằng cách lấy tổng của các giá trị chia cho số lượng giá trị trong bộ dữ liệu đó với công thức sau:

Trong đó, x là các giá trị, n là số lần xuất hiện của mỗi giá trị đó.

Ví dụ: The table below shows the distribution of test scores in a class. What is the average score among the students?

Step 1: The keyword is “average” → Identify the mean value of the dataset.

Step 2: In the table, the first row is the test score, and the second row indicates the number of students who got each score.

Step 3: All values are required to calculate the mean of this dataset.

Step 4: Mean = m=12⋅7+15⋅8+8⋅9+5⋅1012+15+8+5=8.15.

(Bước 1: Từ khoá là “trung bình” → Xác định giá trị trung bình của bộ dữ liệu.Bước 2: Trong bảng, hàng đầu là điểm kiểm tra, hàng sau là số học sinh đạt những điểm đó.Bước 3: Cần sử dụng tất cả số liệu để tính giá trị trung bình.Bước 4: Trung bình = m=12⋅7+15⋅8+8⋅9+5⋅1012+15+8+5=8,15.)

• Median (trung vị) của một bộ dữ liệu là số nằm ở vị trí chính giữa khi toàn bộ dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Nếu có 2 số cùng nằm giữa dãy dữ liệu, trung vị bằng trung bình cộng của hai số đó.

Ví dụ: The table below shows the number of hours students in a class spend studying in a week. What is the median study hour?

Step 2: In the bar graph, each bar shows the number of students who spend 5, 10, 15, 20, 25 hours studying per week.

Step 3: All values are required to calculate the mean of this dataset.

Step 4:

The median is the value in the middle of the dataset.

There are 19 values, so the median is the 10th value.

The graph shows that 5 students spend less than 15 hours, and 9 students spend more than 15.

Therefore, the middle (10th) value belongs to the “15 hours” group.

In conclusion, the mean value is “15”.

(Bước 1: Từ khoá là “trung vị”.Bước 2: Trong biểu đồ, mỗi cột chỉ số học sinh học 5, 10, 15, 20, 25 giờ mỗi tuần.Bước 3: Cần sử dụng tất cả số liệu để xác định giá trị trung vị.Bước 4: Trung vị là giá trị nằm giữa bộ dữ liệu.Có 19 giá trị, vậy trung vị là giá trị thứ 10.Có 5 học sinh học ít hơn 15 giờ và 9 học sinh học nhiều hơn 15 giờ.Vậy giá trị trung vị tại vị trí thứ 10 phải thuộc nhóm “15 giờ”.)

• Variance (phương sai) và Standard deviation (độ lệch chuẩn) thể hiện mức độ phân tán của bộ dữ liệu quanh giá trị trung bình cộng.

Phương sai có công thức tính như sau:

Tuy nhiên, các câu hỏi yêu cầu xác định độ lệch chuẩn phổ biến hơn phương sai. Người học có thể tính độ lệch chuẩn của dữ liệu bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai.

Ví dụ:

The table below shows the number of triple hits by 5 baseball teams. What is the mean, median, and standard deviation of this dataset?

Step 1: The keywords are “mean, median, and standard deviation”.

Step 2: In the table, the first row represents the team’s ordinal number, and the second row shows each team's number of triple hits.

Step 3: To calculate the mean, median, and standard deviation, only the numbers in the second row are necessary.

Step 4:

Mean = m = 10+13+15+12+85=11.6

Median = The middle number in {8, 10, 12, 13, 15} = 12

Standard deviation = (10−11.6)2+(13−11.6)2+(15−11.6)2+(12−11.6)2+(8−11.6)25=2.42

(Bước 1: Từ khoá là “trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn”.Bước 2: Hàng đầu là số thứ tự các đội, hàng hai là số lần đạt triple hits của mỗi đội.Bước 3: Chỉ cần số liệu ở hàng 2 để tính toán.Bước 4:Trung bình = m = 10+13+15+12+85=11.6Trung vị = Số nằm giữa dãy {8, 10, 12, 13, 15} = 12Độ lệch chuẩn = (10−11,6)2+(13−11,6)2+(15−11,6)2+(12−11,6)2+(8−11,6)25=2,42)

Lưu ý:

Khi tất cả các số trong bộ dữ liệu tăng thêm k đơn vị, giá trị trung bình cộng, trung vị tăng k đơn vị, còn độ lệch chuẩn không đổi.

Khi tất cả các số trong bộ dữ liệu nhân lên k lần, giá trị trung bình cộng, trung vị và độ lệch chuẩn đều được nhân lên k lần.

Suy luận tốc độ phát triển từ biểu đồ đường

Những biểu đồ đường thường biểu diễn mức độ tăng trưởng của một đối tượng theo thời gian. Những bài toán biểu đồ đường nâng cao có thể yêu cầu người học dự đoán các số liệu mới dựa trên biểu đồ đó.

Ví dụ:

The line graph below shows the number of products a shop has sold in the first five months of a year. Estimate the number of products sold in June if the growth rate is the same as in March.

Step 2: In this graph, each point shows the number of products a shop sold each month.

Step 3: Only take into account the number of products sold in February, March, and May.

Step 4:The growth rate in March = 515210⋅100%=245%The number of products sold in June = 300⋅245%=735 (products)

(Bước 1: Từ khoá là “ước tính”, “số sản phẩm bán ra”, “tốc độ tăng trưởng”, “giống”, “tháng 3”.Bước 2: Mỗi điểm trên biểu đồ chỉ số sản phẩm cửa hàng bán được mỗi tháng.Bước 3: Chỉ cần quan tâm số liệu tháng 2, 3, 5.Bước 4:Tỉ lệ tăng trưởng tháng 3 = 515210⋅100%=245%Lượng sản phẩm bán vào tháng 6 = 300⋅245%=735 (products))

Suy luận dữ liệu thông qua đường hồi quy

Trong biểu đồ phân tán, đường hồi quy thể hiện sự tương quan giữa hai biến. Từ đường hồi quy này, người học có thể dự đoán giá trị của một biến nếu đã biết biến còn lại.

Trường hợp đã biết giá trị biến tương ứng với trục tung, người học tìm điểm biểu diễn giá trị đó lên đường hồi quy, từ đó xác định hoành độ của điểm này tương ứng với giá trị biến trên trục hoành là kết quả cần dự đoán (ngược lại khi đã biết giá trị biến tương ứng với trục hoành).

Ví dụ:

The graph below shows the spending on fashion by people with different income levels. Estimate the fashion spending by a person who earns about 13 million VND each month.

Step 2: Each point presents the spending on fashion by people with different income levels, the regression line (or best fit line) shows the general trend.

Step 3: Observe the regression line to predict the answer to the question.

Step 4:

Find “13” on the horizontal axis (monthly income).

Draw a line perpendicular to the horizontal axis at “13” and cut the regression line.

From the cut point, draw a line perpendicular to the vertical axis.

The new cut point shows the monthly spending on fashion by people who earn about 13 million VND each month.

(Bước 1: Từ khoá là “ước tính”, “chi tiêu thời trang”, “kiếm 13 triệu VND mỗi tháng”.Bước 2: Mỗi điểm trên biểu đồ chỉ mức chi tiêu thời trang của những người có thu nhập khác nhau, đường hồi quy thể hiện xu hướng chung.Bước 3: Quan sát đường hồi quy để xác định đáp án.Bước 4:Tìm giá trị 13 trên trục hoành (thu nhập hàng tháng).Kẻ đường vuông góc với trục hoành tại điểm 13 sao cho cắt đường hồi quy.Từ điểm cắt, kẻ đường vuông góc với trục tung.Điểm cắt với trục tung chỉ mức chi tiêu thời trang ước tính của những người có thu nhập 13 triệu VND mỗi tháng.)

Bài tập thực hành

Bài 1: Câu hỏi đầu tiên

The table below shows the number of children in 10 families. Let M and m be the median and mean children number. What is M — m equal to?

Bài 2: Câu hỏi tiếp theo

The figure below shows a normal distribution of tree heights in a forest (m = mean, d = standard deviation d). Suppose the heights of 1,500 trees in a forest are normally distributed with a mean height of 80 feet and a standard deviation of 10 feet. Approximately how many of the trees have heights between 70 feet and 90 feet?

Bài 3: Câu hỏi kế tiếp

The table below shows the number of books read by students in different school grades. Let M, m, and d be the median, mean, and standard deviation of the dataset, respectively. If each entry in the original list is added by 3. What are the new M, m, and d values?

Bài 4: Câu hỏi cuối cùng

The line graph below shows the enrollment for University X from 1990 to 1995. Identify the annual rate of increase in enrollment between 1990 and 1993.

Bài 5: Câu hỏi tiếp theo

The table below shows the number of men and women who want to buy 4 different types of products. What is the percentage of women choosing product B?

Bài 6: Câu hỏi kế tiếp

The graph below shows the weight distribution of high school students in a class. What could be the median weight?

A. 57 kgB. 68 kgC. 72 kgD. 73 kg

Bài 7: Câu hỏi cuối cùng

The tables below show the frequency distribution of lists A and B, each containing 40 numbers. Identify the difference between the average of the numbers between the lists.

List A

List B

Bài 8: Câu hỏi tiếp theo

The graph below shows the average scores of 10 swimmers with different practice hours per week. What is the best estimated average score for a swimmer who practices 7 hours weekly?

Bài 9: Câu hỏi tiếp theo

A market research company conducted a survey of 500 people in a large metropolitan area to understand their product preferences. The data collected, shown in the table above, summarizes the preferred choices of respondents across three age groups.

Based on the data, if another group of 1,000 people from the same city is surveyed with similar demographics, approximately how many people will you expect to prefer Product B?

The graph below shows the annual rainfall in a city between 1980 and 2020. If rainfall increases by approximately the same percentage between 2020 and 2030 as it decreased between 1980 and 1990, what is the expected rainfall in 2030?

Bài 1:

M = median of {1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 4} = 2

m = mean =4⋅1+2⋅2+3⋅3+1⋅4+0⋅510=2

M — m = 0

Bài 2:

m = 80, d = 10

Trees with heights between 70 feet and 90 feet = [m — d; m + d].

As shown in the graph, the range of [m — d; m + d] equals 34% + 34% = 68%.

Therefore, the number of trees having heights between 70 feet and 90 feet is: 1,500 × 68% = 1,020.

(m = 80, d = 10Cây có chiều cao giữa 70 và 90 feet = [m — d; m + d].Biểu đồ cho thấy khoảng [m — d; m + d] tương ứng với 34% + 34% = 68%.Do đó, số cây có độ cao trong khoảng 70 và 90 feet là 1500 × 68% = 1020.)

Bài 3:

If each entry in the original dataset increases by 3 units, the mean and median will increase by 3 units while the standard deviation remains unchanged.

The original values of M, m, d:

M(1) = median of {120; 135; 135; 145; 150; 155; 165} = 145

m(1) = 120+135+135+145+150+155+1656=144

d(1) = (120−144)2+(135−144)2+(135−144)2+(145−144)2+(150−144)2+(155−144)2+(165−144)27=15

The new values of M, m, d:

M(2) = M(1) + 3 = 145 + 3 = 148

m(2) = m(1) + 3 = 144 + 3 = 147

d(2) = d(1) = 15

(Nếu mỗi số liệu ban đầu của bộ dữ liệu tăng thêm 3 đơn vị, giá trị trung bình và trung vị đều tăng 3 đơn vị trong khi độ lệch chuẩn không thay đổi.Giá trị M, m, d ban đầu: M(1) = 145; m(1) = 144; d(1) = 15.Giá trị M, m, d mới: M(2) = 148; m(2) = 147; d(1) = 15.)

Bài 4:

Annual rate of increase in enrollment between 1990 and 1993 = 2350−21003=83.33 ~ 83 students per year.

(Lượt đăng ký tuyển sinh từ 1990 đến 1993 tăng với tỉ lệ = 2350−21003=83,33 ~ 83 học sinh mỗi năm.)

Bài 5:

The percentage of women choosing product B = 1842+18+36+4⋅100%=18%.

(Phần trăm nữ giới muốn chọn sản phẩm B = 1842+18+36+4⋅100%=18%.)

Bài 6:

The total number of values = 4 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 20. Therefore, the median equals the average of the 10th and 11th values.

There are 9 students lighter than 60 kg, and 3 students between 60 and 65 kg. Therefore, the 10th and 11th values are both within the range of 60-65.

Among 4 options, only 68 kg could be the average value of the two middle numbers. Therefore, B is the correct answer.

(Có tổng cộng 20 giá trị. Vì vậy, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và 11.Có 9 học sinh nhẹ hơn 60 kg, 3 học sinh giữa mức 60 và 65kg. Vì vậy, giá trị thứ 10 và 11 đều thuộc khoảng 60-65.Trong 4 phương án, chỉ có 68 kg có thể là trung bình cộng của hai số này. B là đáp án đúng.)

Bài 7:

Mean (A) = 5⋅7+7⋅10+8⋅16+12⋅740=7.925

Mean (B) = 9⋅10+10⋅7+12⋅9+13⋅1440=11.25

Mean (B) — Mean (A) = 3.325

Bài 8:

Identify a point on the regression line with the abscissa as 7.

Identify the ordinate of that point.

The ordinate is the estimated average score for a swimmer who practices 7 hours weekly, which is 84.

B is the correct answer.

(Tìm điểm chỉ “7 giờ” trên trục hoành.Xác định điểm có hoành độ tương ứng “7 giờ” trên đường hồi quy.Xác định tung độ của điểm đó.Tung độ đó cho biết số điểm ước tính của vận động viên bơi lội luyện tập 7 giờ mỗi tuần là 84.)

Bài 9:

The number of people who are expected to prefer Product B = 207500⋅1000=414 people.

(Số người được dự đoán thích sản phẩm B là 207500⋅1000=414 người)

Bài 10:

Tỉ lệ giảm lượng mưa từ năm 1980 đến 1990 = $\frac{42-39}{42}\cdot 100\%=7.14\%$

Lượng mưa dự báo cho năm 2030 = $50+50\cdot 7.14\%=57$ (inches)

(Tỉ lệ giảm lượng mưa giữa năm 1980 và 1990 = $\frac{42-39}{42}\cdot 100\%=7,14\%$
Lượng mưa dự báo cho năm 2030 = $50+50\cdot 7,14\%=53,57$ (inches))

Tổng kết bài học