Giải Toán 9 Bài 8: Phương pháp rút gọn biểu thức với căn bậc hai

Buzz

Nội dung bài viết

1. Tổng quan về việc rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1.1 Các lý thuyết cơ bản về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1.2 Các kiểu rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

2. Giải toán lớp 9 bài 8 về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

2.1 Trả lời các câu hỏi

2.2 Bài tập ứng dụng

2.3 Các bài tập luyện

3. Giải bài tập sách toán 9 tập 1

4. Bài tập trắc nghiệm:

Xem thêm

Chi tiết đáp án bài toán lớp 9, Bài 8, về cách rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai. Xem hướng dẫn cụ thể dưới đây.

1. Tổng quan về việc rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1.1 Các lý thuyết cơ bản về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Khi thực hiện việc rút gọn biểu thức có căn bậc hai, chúng ta cần áp dụng đầy đủ các quy tắc và đặc điểm của phép toán số thực và căn thức.

- Các phép nhân và chia với căn bậc hai

- Quy tắc khai phương đối với một tích hoặc một thương

- Kỹ thuật đưa thừa số vào hoặc ra khỏi dấu căn

- Phương pháp khử mẫu trong biểu thức có căn

- Kỹ thuật rút gọn căn thức trong mẫu số

B = rac{sqrt{x} - 2}{sqrt{x}-1} + rac{1}{sqrt{x} + 2} + rac{5 - 2sqrt{x}}{x + sqrt{x} - 2}

Kết quả:

= rac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}-1} + rac{1}{sqrt{x}+2} + rac{5-2sqrt{x}}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+2)}

= rac{(sqrt{x}-2)(sqrt{x}+2) + sqrt{x} - 1 + 5 - 2sqrt{x}}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+2)}

= rac{x - 4 + sqrt{x} - 1 + 5 - 2sqrt{x}}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+2)}

= rac{x - sqrt{x}}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+2)} = rac{sqrt{x}(sqrt{x}-1)}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+2)}

1.2 Các kiểu rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

Dạng 1: Rút gọn và tính toán giá trị biểu thức có căn thức bậc hai

- Áp dụng các phép biến đổi và tính toán để tạo ra các căn thức với cùng biểu thức dưới dấu căn

- Thực hiện cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai tương ứng

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan đến căn thức bậc hai

Áp dụng linh hoạt các phép biến đổi và hằng đẳng thức quan trọng, cùng với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện chứng minh

Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa căn và giải các bài toán liên quan

- Sử dụng hiệu quả các phép phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản để rút gọn biểu thức chứa căn

Các dạng bài tập:

- Xác định giá trị của biến để biểu thức có kết quả là số nguyên

- Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, hoặc giải phương trình/bất phương trình để tìm giá trị của biến

- So sánh giá trị của biểu thức với một số cho trước

- Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

Dạng 4: Giải phương trình có căn bậc hai

Áp dụng các phép phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản để đưa phương trình chứa căn về dạng cơ bản

2. Giải toán lớp 9 bài 8 về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

2.1 Trả lời các câu hỏi

Trả lời các câu hỏi trong toán lớp 9 tập 1, bài 8, trang 31

3sqrt{5a}-sqrt{20a}+4sqrt{45a} + sqrt{a}

Kết quả:

3sqrt{5a}-2sqrt{5a}+12sqrt{5a}+ sqrt{a} = 13sqrt{5a} + sqrt{a}

Trả lời bài tập toán lớp 9, tập 1, bài 8, trang 31: Chứng minh đẳng thức sau

$rac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{ab}= left ( sqrt{a}-sqrt{b} ight )^{2}$

Kết quả:

Với a > 0 và b > 0, chúng ta có:

$rac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{ab} = rac{left ( sqrt{a} ight )^{3}+ left ( sqrt{b} ight )^{3}}{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{ab}$

rac{left ( sqrt{a}+sqrt{b}
ight )left ( a-asqrt{ab}+b
ight )}{sqrt{a}+ sqrt{b}}- sqrt{ab} = a - sqrt{ab} + b - sqrt{ab}

$= a - 2sqrt{ab} + b = left ( sqrt{a}-sqrt{b} ight )^{2}$

2.2 Bài tập ứng dụng

Bài 58, trang 32 sách giáo khoa toán lớp 9, tập 1: Rút gọn các biểu thức dưới đây:

5sqrt{rac{1}{5}} + rac{1}{2} cdot sqrt{20} + sqrt{5}

sqrt{rac{1}{2}} + sqrt{4.5} + sqrt{12.5}

sqrt{20} - sqrt{45} + 3sqrt{18} + sqrt{72}

0.1 cdot sqrt{200} + 2 cdot sqrt{0.08} + 0.4 cdot sqrt{50}

Đáp án chi tiết:

$5sqrt{ rac{1}{2}} + rac{1}{2} cdot sqrt{20} + sqrt{5} = sqrt{5^{2} cdot rac{1}{5}} + sqrt{left( rac{1}{2} ight)^{2} cdot 20} + sqrt{5}$

sqrt{5} + sqrt{rac{1}{4} cdot 20} + sqrt{5} = sqrt{5} + sqrt{5} + sqrt{5} = 3sqrt{5}

sqrt{rac{1}{2}} + sqrt{4.5} + sqrt{12.5} = sqrt{rac{1}{2}} + sqrt{rac{9}{2}} + sqrt{rac{25}{2}}

$= sqrt{ rac{1}{2}} + sqrt{3^{2} cdot rac{1}{2}} + sqrt{5^{2} cdot rac{1}{2}} = sqrt{ rac{1}{2}} + 3sqrt{ rac{1}{2}} + 5sqrt{ rac{1}{2}}$

= 9sqrt{rac{1}{2}} = 9 cdot rac{sqrt{1}}{sqrt{2}} = rac{9 cdot sqrt{2}}{sqrt{2} cdot sqrt{2}} = rac{9 cdot sqrt{2}}{2}

= sqrt{4 cdot 5} - sqrt{9 cdot 5} + 3sqrt{9 cdot 2} + sqrt{9 cdot 4 cdot 2}

= sqrt{4} cdot sqrt{5} - sqrt{9} cdot sqrt{5} + 3 cdot sqrt{9} cdot sqrt{2} + sqrt{9} cdot sqrt{4} cdot sqrt{2}

= 2sqrt{5} - 3sqrt{5} + 3 cdot 3 cdot sqrt{2} + 3 cdot 2 cdot sqrt{2}

= 0,1 cdot sqrt{100 cdot 2} + 2 cdot sqrt{rac{8}{100}} + 0,4 cdot sqrt{25 cdot 2}

= 0,1 cdot 10 cdot sqrt{2} + 2 cdot rac{sqrt{4 cdot 2}}{sqrt{100}} + 0,4 cdot 5 cdot sqrt{2}

= sqrt{2} + rac{2 cdot 2 cdot sqrt{2}}{10} + 2 cdot sqrt{2} = rac{17 sqrt{2}}{5}

Bài 59 trang 32 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (với a > 0, b > 0)

$5sqrt{a} - 4bsqrt{25a^{3}} + 5asqrt{16ab^{2}} - 2sqrt{9a}$ $5asqrt{64ab^{3}} - sqrt{3} cdot sqrt{12a^{3}b^{3}} + 2absqrt{9ab} - 5bsqrt{81a^{3}b}$

Đáp án chi tiết:

$5sqrt{a} - 4bsqrt{25a^{3}} + 5asqrt{16ab^{2}} - 2sqrt{9a}$ $= 5sqrt{a} - 4bsqrt{25a^{2}a} + 5asqrt{16ab^{2}} - 2sqrt{9a}$

= 5sqrt{a} - 20bsqrt{a} + 20absqrt{a} - 6sqrt{a}

= 5sqrt{a} - 20absqrt{a} + 20absqrt{a} - 6sqrt{a}

$5asqrt{64ab^{3}} - sqrt{3} cdot sqrt{12a^{3}b^{3}} + 2absqrt{9ab} - 5bsqrt{81a^{3}b}$ $= 5asqrt{64ab^{2}} - sqrt{3} cdot sqrt{12ab^{2}ab} + 2absqrt{9ab} - 5bsqrt{81a^{2}ab}$

= 40absqrt{ab} - 6absqrt{ab} + 6absqrt{ab} - 45absqrt{ab}

Bài 60 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Xem xét biểu thức

B = sqrt{16x + 16} - sqrt{9x + 9} + sqrt{4x + 4} + sqrt{x + 1}

a) Đơn giản hóa biểu thức B

b) Tìm giá trị của x sao cho B bằng 16

Chi tiết đáp án:

a) Đơn giản hóa:

B = sqrt{16(x+1)} - sqrt{9(x+1)} + sqrt{4(x+1)} + sqrt{x+1}

= 4sqrt{x+1} - 3sqrt{x+1} = (4 - 3)sqrt{x+1} + sqrt{x+1}

= 4sqrt{x+1} - 3sqrt{x+1} + 2sqrt{x+1} + sqrt{x+1}

b) Để giá trị của B bằng 16, ta có:

4sqrt{x+1} = 16 Leftrightarrow sqrt{x+1} = 4

Leftrightarrow x + 1 = 16 Leftrightarrow x = 15

Bài 61 trang 33 sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

rac{3}{2}sqrt{6} + 2sqrt{rac{2}{3}} - 4sqrt{rac{3}{2}} = rac{sqrt{6}}{6}

left( xsqrt{rac{6}{x}} + sqrt{rac{2x}{3}} + sqrt{6x}
ight) : sqrt{6x} = 2rac{1}{3}

Đáp án chi tiết:

a) Thực hiện biến đổi bên trái:

$VT = rac{3}{2}sqrt{6} + 2sqrt{ rac{2}{3}} - 4sqrt{ rac{3}{2}} = rac{3}{2}sqrt{6} + rac{2}{3}sqrt{3^{2} cdot rac{2}{3}} - 2sqrt{2^{2} cdot rac{3}{2}}$

= rac{3}{2}sqrt{6} + rac{2}{3}sqrt{6} - 2sqrt{6} = left( rac{3}{2} + rac{2}{3} - 2
ight)sqrt{6}

= rac{1}{6}sqrt{6} = rac{sqrt{6}}{6} = VP

b) Thực hiện biến đổi bên trái:

VT = left(xsqrt{rac{6}{x}} + sqrt{rac{2x}{3}} + sqrt{6x}
ight) : sqrt{6x}

$= left(sqrt{x^{2} cdot rac{6}{x}} + sqrt{ rac{6x}{3^{2}}} + sqrt{6x} ight) : sqrt{6x}$

= left(sqrt{6x} + rac{1}{3}sqrt{6x} + sqrt{6x}
ight) : sqrt{6x}

= rac{7}{3}sqrt{6x} : sqrt{6x} = rac{7}{3} = 2rac{1}{3} = VP

2.3 Các bài tập luyện

Bài 62 trang 33 sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức dưới đây:

rac{1}{2}sqrt{48} - 2sqrt{75} - rac{sqrt{33}}{sqrt{11}} + 5sqrt{rac{4}{3}}

sqrt{150} + sqrt{1.6} cdot sqrt{60} + 4.5 cdot sqrt{rac{8}{3}} - sqrt{6}

left(sqrt{28} - 2sqrt{3} + sqrt{7}
ight) cdot sqrt{7} + sqrt{84}

$left(sqrt{6} + sqrt{5} ight)^{2} - sqrt{120}$

Đáp án chi tiết:

= rac{1}{2}sqrt{16 cdot 3} - 2sqrt{25 cdot 3} - sqrt{3} + 5sqrt{rac{4}{3}}

= rac{1}{2} cdot 4 cdot sqrt{3} - 2 cdot 5 cdot sqrt{3} - sqrt{3} + 5 cdot rac{2 cdot sqrt{3}}{3}

= 2sqrt{3} - 10sqrt{3} - sqrt{3} + rac{10sqrt{3}}{3}

= 2sqrt{3} - 10sqrt{3} - sqrt{3} + rac{10}{3}sqrt{3}

sqrt{150} + sqrt{1,6} cdot sqrt{60} + 4,5 cdot sqrt{2rac{2}{3}} - sqrt{6}

= sqrt{25 cdot 6} + sqrt{1,6 cdot 60} + 4,5 cdot sqrt{rac{8}{3}} - sqrt{6}

$= 5sqrt{6} + sqrt{16 cdot 6} + 4,5 cdot rac{1}{3} cdot sqrt{3^{2} cdot rac{4 cdot 2}{3}} - sqrt{6}$

= 5sqrt{6} + 4sqrt{6} + 3sqrt{6} - sqrt{6}

(sqrt{28} - 2sqrt{3} + sqrt{7}) cdot sqrt{7} + sqrt{84}

= (sqrt{4 cdot 7} - 2sqrt{3} + sqrt{7}) cdot sqrt{7} + sqrt{4 cdot 21}

= (sqrt{4 cdot 7} - 2sqrt{3} + sqrt{7}) cdot sqrt{7} + 2sqrt{21}

= (3sqrt{7} - 2sqrt{3}) cdot sqrt{7} + 2sqrt{21}

$(sqrt{6} + sqrt{5})^{2} - sqrt{120}$ $= (sqrt{6})^{2} + 2 cdot sqrt{6} cdot sqrt{5} + (sqrt{5})^{2} - sqrt{4 cdot 30}$

Bài 63 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức dưới đây

sqrt{rac{a}{b}} + sqrt{ab} + rac{a}{b} cdot sqrt{rac{b}{a}}

$sqrt{ rac{m}{1-2x + x^{2}}} cdot sqrt{ rac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}}$

Chi tiết đáp án:

$sqrt{ rac{a}{b}} + sqrt{ab} + rac{a}{b} cdot sqrt{ rac{b}{a}} = sqrt{ rac{ab}{b^{2}}} + sqrt{ab} + rac{a}{b} cdot sqrt{ rac{ab}{a^{2}}}$

= rac{1}{b} sqrt{ab} + sqrt{ab} + rac{a}{b cdot a} sqrt{ab}

= left( rac{1}{b} + 1 + rac{1}{b}
ight) sqrt{ab}

$sqrt{ rac{m}{1-2x+x^{2}}} cdot sqrt{ rac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}}$ $= sqrt{ rac{m}{(1-x)^{2}} cdot rac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}$ $= sqrt{ rac{m}{(1-x)^{2}} cdot rac{4m(1-x)^{2}}{81}}$ $= sqrt{ rac{4m^{2}}{81}} = rac{sqrt{4m^{2}}}{sqrt{81}} = rac{2m}{9}$

Bài 64 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

$left( rac{1 - asqrt{a}}{1 - sqrt{a}} + sqrt{a} ight) left( rac{1 - sqrt{a}}{1 - a} ight)^{2} = 1$

$rac{a + b}{b^{2}} sqrt{ rac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}} = |a|$

Chi tiết đáp án:

a) Chuyển đổi vế trái:

$left( rac{1 - asqrt{a}}{1 - sqrt{a}} + sqrt{a} ight) left( rac{1 - sqrt{a}}{1 - a} ight)^{2}$ $= rac{1 - asqrt{a} + sqrt{a} - a}{1 - sqrt{a}} cdot rac{(1 - sqrt{a})^{2}}{(1 - a)^{2}}$ $left( 1 - asqrt{a} + sqrt{a} - a ight) cdot rac{1 - sqrt{a}}{(1 - a)^{2}}$ $= rac{1 - asqrt{a} + sqrt{a} - a - sqrt{a} + a cdot a - a + asqrt{a}}{(1 - a)^{2}}$ $= rac{a^{2} - 2a + 1}{(1 - a)^{2}} = rac{(a - 1)^{2}}{(1 - a)^{2}}$ $= left( rac{a - 1}{1 - a} ight)^{2} = (-1)^{2} = 1$

b) Chuyển đổi vế trái:

$VT = rac{a + b}{b^{2}} sqrt{ rac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}} = rac{a + b}{b^{2}} cdot sqrt{ rac{(ab^{2})^{2}}{(a + b)^{2}}}$ $= rac{a + b}{b^{2}} cdot rac{|ab^{2}|}{|a + b|} = rac{a + b}{b^{2}} cdot rac{b^{2} |a|}{a + b} = |a|$

(Vì a + b > 0 nên |a + b| = a + b; và b^{2} > 0)

Bài 65 trang 34 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn biểu thức và so sánh giá trị của M với 1, với điều kiện:

M = left( rac{1}{a - sqrt{a}} + rac{1}{sqrt{a} - 1}
ight) : rac{sqrt{a} + 1}{a - 2sqrt{a} + 1}

Đáp án chi tiết:

$= left( rac{1}{sqrt{a} left( sqrt{a} - 1 ight)} + rac{1}{sqrt{a} - 1} ight) : rac{sqrt{a} + 1}{left( sqrt{a} - 1 ight)^{2}}$ $= rac{1 + sqrt{a}}{sqrt{a} left( sqrt{a} - 1 ight)} cdot rac{left( sqrt{a} - 1 ight)^{2}}{sqrt{a} + 1}$

rac{sqrt{a} - 1}{sqrt{a}} = 1 - rac{1}{sqrt{a}} < 1

Do đó, M < 1

Bài 66 trang 34 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

rac{1}{2 + sqrt{3}} + rac{1}{2 - sqrt{3}}

A. rac{1}{2}

B. 1

C. -4

D. 4

Đáp án:

rac{1}{2 + sqrt{3}} + rac{1}{2 - sqrt{3}} = rac{2 - sqrt{3}}{4 - 3} + rac{2 + sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - sqrt{3} + 2 + sqrt{3} = 4

Vậy chọn đáp án D

3. Giải bài tập sách toán 9 tập 1

Bài 80 trang 18 sách bài tập: Rút gọn các biểu thức sau:

$left ( 2 - sqrt{2} ight ) cdot left ( -5 sqrt{2} ight ) - left ( 3 sqrt{2} - 5 ight )^{2}$ $2 sqrt{3a} - sqrt{75} + a sqrt{ rac{1}{2a}} - rac{2}{5} sqrt{300a^{3}}$

Đáp án chi tiết:

$left ( 2 - sqrt{2} ight ) cdot left ( -5 sqrt{2} ight ) - left ( 3 sqrt{2} - 5 ight )^{2}$

= -10 sqrt{2} + 5 cdot 2 - (18 - 30 sqrt{2} + 25)

= -10 sqrt{2} + 10 - 18 + 30 sqrt{2} - 25 = 20 sqrt{2} - 33

$2 sqrt{3a} - sqrt{75a} + a sqrt{ rac{1}{2a}} - rac{2}{5} sqrt{300a^{3}}$ $= 2 sqrt{3a} - sqrt{25 cdot 3a} + a sqrt{ rac{9.3}{4a}} - rac{2}{5} sqrt{100a^{2} cdot 3a}$

= 2 sqrt{3a} - 5 sqrt{3a} + rac{3}{2} sqrt{3a} - 4a sqrt{3a}

= -1,5 sqrt{3a} - 4a sqrt{3a} = - (1,5 + 4a) sqrt{3a}

Bài 81 trang 18 sách bài tập: rút gọn biểu thức

rac{sqrt{a} + sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}} + rac{sqrt{a} - sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}}

$rac{a-b}{sqrt{a} - sqrt{b}} - rac{sqrt{a^{3}} - sqrt{b^{3}}}{a - b}$

Đáp án chi tiết:

$rac{sqrt{a} + sqrt{b}}{sqrt{a} - sqrt{b}} + rac{sqrt{a} - sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}} = rac{(sqrt{a} + sqrt{b})^{2} + (sqrt{a} - sqrt{b})^{2}}{a - b}$

= rac{a + 2sqrt{ab} + b + a - 2sqrt{ab} + b}{a - b}

b. Ta có

$rac{a - b}{sqrt{a} - sqrt{b}} - rac{sqrt{a^{3}} - sqrt{b^{3}}}{a - b} = rac{(a - b)(sqrt{a} + sqrt{b})}{(sqrt{a} - sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b})} - rac{asqrt{a} - bsqrt{b}}{a - b}$

= rac{asqrt{a} + asqrt{b} - bsqrt{a} - bsqrt{b}}{a - b} - rac{asqrt{a} - bsqrt{b}}{a - b}

= rac{asqrt{a} + asqrt{b} - asqrt{a} - bsqrt{b} - asqrt{a} + bsqrt{b}}{a - b}

Bài 82 trang 18 sách bài tập toán 9 tập 1:

$x^{2} + xsqrt{3} + 1 = left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4}$ $x^{2} + xsqrt{3} + 1$

Chi tiết đáp án:

$x^{2} + xsqrt{3} + 1 = x^{2} + 2x cdot rac{sqrt{3}}{2} + rac{3}{4} + rac{1}{4}$ $= x^{2} + 2x cdot rac{sqrt{3}}{2} + left ( rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4} = left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4}$

Vế trái bằng vế phải, nên đẳng thức đã được chứng minh

$x^{2} + xsqrt{3} + 1 = left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4}$ $left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} geq 0$ $left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4} geq rac{1}{4}$ $left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} + rac{1}{4}$

$left ( x + rac{sqrt{3}}{2} ight )^{2} = 0$

Bài 83 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau là số hữu tỉ

rac{2}{sqrt{7} - 5} - rac{2}{sqrt{7} + 5}

rac{sqrt{7} + 5}{sqrt{7} - 5} + rac{sqrt{7} - 5}{sqrt{7} + 5}

Đáp án chi tiết:

rac{2}{sqrt{7} - 5} - rac{2}{sqrt{7} + 5} = rac{2left( sqrt{7} + 5
ight) - 2left( sqrt{7} - 5
ight)}{left( sqrt{7} - 5
ight)left( sqrt{7} + 5
ight)}

= rac{2sqrt{7} + 10 - 2sqrt{7} + 10}{7 - 25} = rac{20}{-18} = -rac{10}{9}

$rac{sqrt{7} + 5}{sqrt{7} - 5} + rac{sqrt{7} - 5}{sqrt{7} + 5} = rac{left( sqrt{7} + 5 ight)^{2} + left( sqrt{7} - 5 ight)^{2}}{left( sqrt{7} - 5 ight)left( sqrt{7} + 5 ight)}$

= rac{7 + 2 cdot 5 cdot sqrt{7} + 25 + 7 - 2 cdot 5 cdot sqrt{7} + 25}{7 - 25}

= rac{7 + 7 + 25 + 25}{-18} = -rac{32}{9}

Bài 84 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Xác định giá trị của x sao cho:

sqrt{4x + 20} - 3sqrt{5 + x} + rac{4}{3}sqrt{9x + 45} = 6

sqrt{25x - 25} - rac{15}{2}sqrt{rac{x - 1}{9}} = 6 + sqrt{x - 1}

Đáp án chi tiết:

Leftrightarrow sqrt{4(x + 5)} - 3sqrt{5 + x} + rac{4}{3}sqrt{9(x + 5)} = 6

Leftrightarrow 2sqrt{x + 5} - 3sqrt{5} + 4sqrt{x + 5} = 6

Leftrightarrow 3sqrt{x + 5} = 6 Leftrightarrow sqrt{x + 5} = 2 Leftrightarrow x + 5 = 4 Leftrightarrow x = -1

Giá trị x = -1 đáp ứng đầy đủ yêu cầu của bài toán

Do đó, x = -1

Leftrightarrow sqrt{25(x - 1)} - rac{5}{2}sqrt{x - 1} - sqrt{x - 1} = 6

Leftrightarrow x - 1 = 16 Leftrightarrow x = 17

Giá trị x = 17 đáp ứng đầy đủ điều kiện của bài toán

Do đó, x = 17

P = rac{sqrt{x} + 1}{sqrt{x} - 2} + rac{2sqrt{x}}{sqrt{x} + 2} + rac{2 + 5sqrt{x}}{4 - x}

b. Tìm giá trị x sao cho P = 2

Hướng dẫn chi tiết:

$= rac{left ( sqrt{x} + 1 ight )left ( sqrt{x} + 2 ight )}{left ( sqrt{x} ight )^{2} - 2^{2}} + rac{2sqrt{x} left ( sqrt{x} - 2 ight )}{left ( sqrt{x} ight )^{2} - 2^{2}} - rac{2 + 5sqrt{x}}{x - 4}$

= rac{x + 2sqrt{x} + sqrt{x} + 2}{x - 4} + rac{2x - 4sqrt{x}}{x - 4} - rac{2 + 5sqrt{x}}{x - 4}

= rac{x + 3sqrt{x} + 2 + 2x - 4sqrt{x} - 2 - 5sqrt{x}}{x - 4}

= rac{3x - 6sqrt{x}}{x - 4} = rac{3sqrt{x} left ( sqrt{x} - 2
ight )}{left ( sqrt{x} + 2
ight )left ( sqrt{x} - 2
ight )} = rac{3sqrt{x}}{sqrt{x} + 2}

b) Ta có:

Leftrightarrow 3sqrt{x} = 2left( sqrt{x} + 2
ight) Leftrightarrow 3sqrt{x} = 2sqrt{x} + 4

Leftrightarrow sqrt{x} = 4 Leftrightarrow x = 16

Bài 86 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1:

Q = left( rac{1}{sqrt{a} - 1} - rac{1}{sqrt{a}}
ight) div left( rac{sqrt{a} + 1}{sqrt{a} - 2} - rac{sqrt{a} + 2}{sqrt{a} - 1}
ight)

b. Xác định giá trị của a để Q dương

Đáp án chi tiết:

= rac{sqrt{a} - (sqrt{a} - 1)}{sqrt{a}(sqrt{a} - 1)} div rac{(sqrt{a} + 1)(sqrt{a} - 1) - (sqrt{a} + 2)(sqrt{a} - 2)}{(sqrt{a} - 2)(sqrt{a} - 1)}

= rac{1}{sqrt{a} (sqrt{a} - 1)} div rac{a - 1 - a + 4}{(sqrt{a} - 2)(sqrt{a} - 1)}

= rac{1}{sqrt{a} (sqrt{a} - 1)} imes rac{(sqrt{a} - 2)(sqrt{a} - 1)}{3}

Khi a > 4 thì Q > 0

Bài 87 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1:

a + b + c geq sqrt{ab} + sqrt{bc} + sqrt{ca}

Mở rộng kết quả cho trường hợp với bốn số hoặc năm số không âm

Đáp án chi tiết:

$(sqrt{a} - sqrt{b})^{2} geq 0$

a + b - sqrt{ab} geq 0 Leftrightarrow a + b geq 2sqrt{ab} Leftrightarrow rac{a + b}{2} geq sqrt{ab}

$left ( sqrt{b} - sqrt{c} ight )^{2} geq 0$

b + c - 2sqrt{bc} geq 0 Leftrightarrow b + c geq 2sqrt{bc} Leftrightarrow rac{b + c}{2} geq sqrt{bc}

$left ( sqrt{c} - sqrt{a} ight )^{2} geq 0$

c + a - 2sqrt{ca} geq 0 Leftrightarrow c + a geq 2sqrt{ca} Leftrightarrow rac{c + a}{2} geq sqrt{ca}

Cộng các vế của bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại, ta có:

$\frac{a + b}{2} + \frac{b + c}{2} + \frac{c + a}{2} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$

* Với bốn số không âm a, b, c, d, ta có:

$\geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} + \sqrt{da}$

* Với năm số không âm a, b, c, d, e, ta có:

$\geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} + \sqrt{de} + \sqrt{ea}$

4. Bài tập trắc nghiệm:

Câu hỏi 1: $\sqrt{\left(4 - \sqrt{5}\right)^{2}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$ $5 - 2\sqrt{5}$

B. 4

C. 1

$2 + 2\sqrt{5}$

Đáp án A.

Câu hỏi 2: $\sqrt{32} + \sqrt{50} - 3\sqrt{8} - \sqrt{18}$

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Đáp án B

Câu hỏi 3: $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \sqrt{\left(7 - 2\sqrt{10}\right)}$

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Đáp án: A

Câu hỏi 4: $A = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Đáp án: B

Câu hỏi 5: $\left(\sqrt{5} - 1\right) \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Đáp án: D

Câu hỏi 6: $5\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{a}{4}} - a\sqrt{\frac{4}{a}} - \sqrt{25a}$ $\sqrt{a}$ $4\sqrt{a}$ $-\sqrt{a}$ $2\sqrt{a}$

Đáp án: C

Câu hỏi 7: $2\sqrt{a} - \sqrt{9a^{3}} + a^{2}\sqrt{\frac{16}{a}} + \frac{2}{a^{2}}\sqrt{36a^{5}}$ $14\sqrt{a} + a\sqrt{a}$ $14\sqrt{a} - a\sqrt{a}$ $14\sqrt{a} + 2a\sqrt{a}$ $20\sqrt{a} - 2a\sqrt{a}$

Đáp án: A

Câu hỏi 8: $\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt{2a} + \frac{4}{5}\sqrt{200a} \right) : \frac{1}{8}$ $66\sqrt{2a}$ $52\sqrt{2a}$ $54\sqrt{a}$ $54\sqrt{2a}$

Đáp án: D

Câu hỏi 9: $B = \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} - \sqrt{28} + \sqrt{54}$ $5\sqrt{6}$ $4\sqrt{6} + \sqrt{7}$ $2\sqrt{6} + 2\sqrt{7}$

D. Đáp án khác

Lựa chọn đáp án: A

Câu hỏi 10: $P = \left( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} \right) \cdot \left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^{2}$ $với a \geq 0 và a \neq 1$ $\sqrt{a} + 1$

B. 1

$\sqrt{a}$ $3\sqrt{a} + 1$

Chọn đáp án B

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]