1. Giải bài tập Toán lớp 8, bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Câu hỏi giữa bài)
Câu 1: Trong số các bất phương trình dưới đây, hãy xác định bất phương trình nào là bậc nhất với một ẩn:
a) 2x – 3 < 0;
b) 0.x + 5 > 0;
c) 5x – 15 ≥ 0;
d) x² > 0.
Lời giải
- Các bất phương trình a) và c) là dạng bất phương trình bậc nhất với một ẩn.
- Bất phương trình b) không thỏa mãn điều kiện a ≠ 0 vì có a = 0, do đó không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Bất phương trình d) có chỉ số mũ của ẩn x là 2, nên nó không thuộc loại bất phương trình bậc nhất một ẩn.
a) x + 12 > 21;
b) -2x > -3x – 5.
Giải pháp
a) x + 12 > 21 ⇔ x > 21 - 12 ⇔ x > 9
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình x + 12 > 21 là {x | x > 9}
b) -2x > -3x – 5 ⇔ -2x + 3x > -5 ⇔ x > -5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -2x > -3x – 5 là {x | x > -5}
Câu 3: Hãy giải các bất phương trình sau bằng cách sử dụng quy tắc nhân:
a) 2x < 24;
b) -3x < 27.
Lời giải:
a) 2x < 24 ⇔ 2x * 1/2 < 24 * 1/2 (nhân cả hai vế với 1/2, vì 1/2 > 0, bất phương trình không thay đổi dấu)
⇔ x < 12
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x < 24 là {x | x < 12}
b) -3x < 27 ⇔ -3x * (-1/3) > 27 * (-1/3) (nhân cả hai vế với -1/3, vì -1/3 < 0, bất phương trình thay đổi dấu)
⇔ x > -9
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình -3x < 27 là {x | x > -9}
Câu 4: Giải bất phương trình -4x – 8 < 0 và vẽ tập nghiệm lên trục số.
Hướng dẫn giải
-4x – 8 < 0 tương đương với -4x < 8
Từ đó suy ra -4x : (-4) > 8 : (-4) tương đương x > -2
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x | x > -2}
2. Giải bài tập toán lớp 8, bài 4: bất phương trình bậc nhất với một ẩn (bài tập cuối cùng)
Bài 19: Giải các bất phương trình theo phương pháp chuyển vế:
a) x - 5 > 3
b) x - 2x < -2x + 4
c) -3x > -4x + 2
d) 8x + 2 < 7x - 1
Hướng dẫn giải:
(Áp dụng quy tắc chuyển vế - đổi dấu)
a) x - 5 > 3
<=> x > 3 + 5 (chuyển -5 từ bên trái sang bên phải và đổi dấu thành 5)
<=> x > 8.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 8.
b) x - 2x < -2x + 4
<=> x - 2x + 2x < 4
<=> x < 4
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 4.
c) -3x > -4x + 2
<=> -3x + 4x > 2
<=> x > 2
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 2.
d) 8x + 2 < 7x - 1
<=> 8x - 7x < -1 - 2
<=> x < -3
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < -3.
Bài 20: Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân):
a) 0,3x > 0,6;
b) -4x < 12
c) -x > 4;
d) 1,5x > -9
Hướng dẫn giải:
a) 0,3x > 0,6
<=> 0,3x / 0,3 > 0,6 / 0,3 (Nhân cả hai vế với 1/0,3>0, Bất phương trình không thay đổi dấu).
<=> x > 2.
Do đó, bất phương trình có tập nghiệm x > 2.
b) -4x < 12
<=> -4x × (-1/4) > 12 × (-1/4) (Nhân cả hai vế với -1/4<0, bất phương trình thay đổi dấu).
<=> x > -3.
Do đó, bất phương trình có tập nghiệm x > -3.
c) –x > 4
<=> (-x) × (-1) < 4 × (-1) (Nhân cả hai vế với -1 < 0, bất phương trình đổi chiều).
x ≤ -4.
Tập nghiệm của bất phương trình là x ≤ -4.
d) 1,5x > -9
⇔ 1,5x × (1/1,5) > -9 × (1/1,5) (Nhân cả hai vế với 1/1,5 > 0, bất phương trình không đổi chiều).
⇔ x > -6
Tập nghiệm của bất phương trình là x > -6.
Bài 21: Giải thích tính tương đương sau đây:
a) x - 3 > 1 ⇔ x + 3 > 7
b) -x < 2 ⇔ 3x > -6
Giải đáp:
a) x – 3 > 1
⇔ x – 3 + 6 > 1 + 6 (Cộng 6 vào cả hai vế).
Tương đương với x + 3 > 7.
Do đó, hai bất phương trình này là tương đương.
b) –x < 2
⇔ (-x) × (-3) > 2 × (-3) (Nhân cả hai vế với -3, vì -3 < 0 nên bất phương trình đổi chiều).
⇔ 3x > -6.
Do đó, hai bất phương trình này là tương đương.
Bài 22: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 1,2x < -6;
b) 3x + 4 > 2x + 3
Lời giải:
a) 1,2x < -6
<=>1,2 x : 1,2 < -6 : 1,2
<=> x < - 5
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -5.
b) 3x + 4 > 2x + 3
<=> 3x - 2x > 3 - 4 (chuyển vế 2x và 4, đổi dấu hạng tử).
<=> x > -1
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -1
Bài 23: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 2x - 3 > 0
b) 3x + 4 < 0
Giải chi tiết:
a) 2x – 3 > 0
⇔ 2x > 3 (Chuyển -3 sang bên phải).
⇔ x > 3/2 (Chia cả hai vế cho 2, bất phương trình không đổi chiều vì 2 > 0).
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 3/2.
b) 3x + 4 < 0
⇔ 3x < -4 (Chuyển -4 sang bên trái).
⇔ x < -4/3 (Chia cả hai vế cho 3, vì 3 > 0 nên bất phương trình không đổi chiều).
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là x < -4/3.
Bài 24: Giải các bất phương trình sau:
a) 2x - 1 > 5
b) 3x - 2 < 4
Giải chi tiết:
a) 2x - 1 > 5
⇔ 2x > 1 + 5 (Chuyển -1 sang bên phải và đổi dấu).
⇔ 2x > 6
⇔ x > 3 (Chia cả hai vế cho 2 và giữ nguyên dấu).
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 3.
b) 3x - 2 < 4
⇔ 3x < 4 + 2 (Chuyển -2 sang bên phải và đổi dấu).
⇔ 3x < 6
⇔ x < 2 (Chia cả hai vế cho 3 và giữ nguyên dấu).
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2.
Bài 25: Hình dưới đây thể hiện tập nghiệm của bất phương trình nào? (Nêu ba bất phương trình có cùng tập nghiệm).
Lời giải:
a) Hình a) thể hiện tập nghiệm của bất phương trình:
b) Hình dưới đây thể hiện tập nghiệm của bất phương trình:
Bài 26: Câu hỏi: Kiểm tra xem giá trị x = -2 có phải là nghiệm của bất phương trình sau đây không?
a) x + 2x² - 3x³ + 4x⁴ - 5 < 2x² - 3x³ + 4x⁴ - 6;
b) (-0,001)x > 0,003.
Giải quyết:
a) x + 2x² - 3x³ + 4x⁴ - 5 < 2x² - 3x³ + 4x⁴ - 6
⇔ x < 2x² - 3x³ + 4x⁴ - 6 - 2x² + 3x³ - 4x⁴ + 5 (Chuyển vế và đổi dấu)
⇔ x < -1 (*)
Do -2 < -1 nên -2 là nghiệm của bất phương trình
Do đó, x = -2 là nghiệm của bất phương trình.
b) (-0,001)x > 0,003
⇔ x < -3 (chia cả hai vế cho -0,001)
Do -2 > -3 nên -2 không phải là nghiệm của bất phương trình
Vì vậy, x = -2 không phải là nghiệm của bất phương trình.
3. Lý thuyết về Bất phương trình bậc nhất
Khái niệm
Bất phương trình có dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0), với a và b là các số cho trước và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hai quy tắc chuyển đổi bất phương trình
- Quy tắc chuyển hạng tử
Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình, chúng ta đổi dấu của hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác không, cần lưu ý:
Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó là dương.
Đổi chiều bất phương trình khi số đó là âm.