Giải toán lớp 9: Bài 4 - Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình

Buzz

Nội dung bài viết

Giải câu hỏi 1 trong sách Toán 9, Tập 2, Bài 4, trang 17.

Giải câu hỏi 2 trong sách Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 17

Giải câu hỏi 3 trong sách Toán 9 Tập 2, Bài 4, trang 18.

Giải đáp câu hỏi 4 trong sách Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 18

Giải Bài tập Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 18

Xem thêm

Dưới đây là hướng dẫn từ Mytour về bài tập Giải toán lớp 9, Bài 4, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình. Mong rằng bài viết sẽ mang lại thông tin hữu ích cho bạn.

Giải câu hỏi 1 trong sách Toán 9, Tập 2, Bài 4, trang 17.

Sử dụng quy tắc cộng đại số để chuyển đổi hệ phương trình (I), nhưng trong bước đầu tiên, hãy trừ từng vế của hai phương trình trong hệ (I) và ghi lại các hệ phương trình mới nhận được.

$left{egin{matrix} 2x - y = 1 \ x + y = 2 end{matrix} ight.$

Giải pháp

$left{egin{matrix} 2x - y = 1 \ x + y = 2 end{matrix} ight.$

Khi trừ từng vế của hai phương trình trong hệ (I), ta có phương trình:

(2x – y) – (x + y) = 1 – 2, tức là x – 2y = -1

Từ đó, chúng ta có được hệ phương trình mới như sau:

$left{egin{matrix} x - 2y = -1 \ x + y = 2 end{matrix} ight.$

Giải câu hỏi 2 trong sách Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 17

Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) có đặc điểm gì?

$left{egin{matrix} 2x + y = 3 \ x - y = 6 end{matrix} ight.$

Phương pháp giải

Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) là đối nhau, tức tổng của chúng bằng 0.

Giải câu hỏi 3 trong sách Toán 9 Tập 2, Bài 4, trang 18.

a) Hãy đánh giá các hệ số của x trong hai phương trình của hệ (III).

b) Áp dụng phương pháp cộng đại số, giải hệ (III) bằng cách trừ từng vế của hai phương trình trong hệ (III).

Giải đáp

a) Các hệ số của x trong hai phương trình của hệ (III) là giống nhau.

$left{egin{matrix} 2x + 2y = 9\ 2x - 3y = 4 end{matrix} ight.$

Khi trừ phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai vế với vế, ta có: 5y = 5

Vì vậy,

$left{egin{matrix} 5y = 5 \ 2x - 3y = 4 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} y = 1\ 2x - 3y = 4 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} y = 1 \ x = rac{7}{2} end{matrix} ight.$

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (7/2; 1)

Giải đáp câu hỏi 4 trong sách Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 18

Tiếp tục giải hệ phương trình (IV) bằng cách áp dụng phương pháp đã sử dụng ở phần trước.

$left{egin{matrix} 3x + 2y = 7 \ 2x + 3y = 3 end{matrix} ight.$

Giải pháp

$left{egin{matrix} 6x + 6y = 14 \ 6x + 9y = 9 end{matrix} ight.$

Khi trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ hai, ta thu được: -5y = 5

Từ đó

$left{egin{matrix} y = -1 \ x = 3 end{matrix} ight.$

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất tại (3; -1)

Giải Bài tập Toán 9 Tập 2 Bài 4 trang 18

Có cách nào khác để biến hệ phương trình (IV) thành dạng như trường hợp đầu tiên không?

Giải đáp

Chia phương trình đầu tiên cho 3 và phương trình thứ hai cho 2, ta có:

$left{egin{matrix} 3x + 2y = 7 \ 2x + 3y = 3 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x + rac{2}{3}y = rac{7}{3} \ x + rac{3}{2}y = rac{3}{2} end{matrix} ight.$

Bài 20 trang 18 Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình dưới đây bằng cách sử dụng phương pháp cộng đại số.

$left{egin{matrix} 2x + 3y = -2 \ 3x - 2y = -3 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 0,3x + 0,5y = 3 \ 1,5x - 2y = 1,5 end{matrix} ight.$

Hướng dẫn giải:

$left{egin{matrix} 3x + y = 3 \ 2x - y = 7 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 5x = 10 \ 2x - y = 7 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = 2 \ y = -3 end{matrix} ight.$

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ, ta có:

$left{egin{matrix} 2x + 5y = 8 \ 2x - 3y = 0 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 2x + 5y = 8 \ (2x + 5y) - (2x - 3y) = 8 - 0 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = rac{3}{2} \ y = 1 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 4x + 3y = 6 \ 2x + y = 4 end{matrix} ight.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, sau đó trừ từng vế của các phương trình trong hệ, ta thu được:

$left{egin{matrix} 4x + 3y = 6 \ 2x + y = 4 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 4x + 3y = 6 \ 4x + 2y = 8 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = 3 \ y = -2 end{matrix} ight.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; -2).

$left{egin{matrix} 2x + 3y = -2 \ 3x - 2y = -3 end{matrix} ight.$

Nhân hai vế của phương trình đầu tiên với 3, hai vế của phương trình thứ hai với 2, sau đó trừ vế với vế của các phương trình trong hệ, ta thu được:

$left{egin{matrix} 6x + 9y = -6 \ 6x - 4y = -6 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = -1 \ y = 0 end{matrix} ight.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1; 0).

$left{egin{matrix} 0,3x + 0,5y = 3 \ 1,5x - 2y = 1,5 end{matrix} ight.$

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 5, sau đó trừ vế với vế của các phương trình trong hệ, ta có:

$left{egin{matrix} 0,3x + 0,5y = 3 \ 1,5x - 2y = 1,5 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 1,5x + 2,5y = 15 \ 1,5x - 2y = 1,5 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = 5 \ y = 3 end{matrix} ight.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 3).

Bài 21, trang 18 SGK Toán 9, tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

$left{egin{matrix} xsqrt{2} - 3y = 1 \ 2x + ysqrt{2} = -2 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 5xsqrt{3} + y = 2sqrt{2} \ xsqrt{6} - ysqrt{2} = 2 end{matrix} ight.$

Hướng dẫn giải bài tập:

$left{egin{matrix} xsqrt{2} - 3y = 1 \ 2x + ysqrt{2} = -2 end{matrix} ight.$

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với -sqrt{2}, sau đó cộng từng vế của hai phương trình, ta có:

$left{egin{matrix} -2x + 3sqrt{2}y = -sqrt{2} \ 2x + sqrt{2}y = -2 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = rac{-3}{4} + rac{sqrt{2}}{8} \ y = rac{-1}{4} - rac{sqrt{2}}{4} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 5xsqrt{3} + y = 2sqrt{2} \ xsqrt{6} - ysqrt{2} = 2 end{matrix} ight.$

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với một hệ số thích hợp, rồi cộng từng vế của hai phương trình lại với nhau.

$left{egin{matrix} 5xsqrt{3} + y = 2sqrt{2} \ xsqrt{6} - ysqrt{2} = 2end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 6sqrt{6}x = 6 \ xsqrt{6} - ysqrt{2} = 2end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = rac{sqrt{6}}{6} \ y = rac{sqrt{2}}{2} end{matrix} ight.$

(x = rac{sqrt{6}}{6}; y = rac{sqrt{2}}{2})

Bài 22, trang 19, sách giáo khoa Toán lớp 9, tập 2

Giải các hệ phương trình dưới đây bằng cách cộng đại số:

Hướng dẫn cách giải:

$left{egin{matrix} -5x + 2y = 4\ 6x - 3y = -7 end{matrix} ight.$

Nhân phương trình đầu với 3, phương trình thứ hai với 2, rồi cộng từng vế của hai phương trình, ta thu được:

$left{egin{matrix} -5x + 2y = 4\ 6x - 3y = -7 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} -15x + 6y = 12\ 12x - 6y = -14 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = rac{2}{3}\ y = rac{11}{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 2x - 3y = 11\ -4x + 6y = 5 end{matrix} ight.$

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 2 và sau đó cộng các vế tương ứng của hai phương trình, ta có:

$left{egin{matrix} 4x - 6y = 22\ -4x + 6y = 5 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 4x - 6y = 22\ 0x + 0y = 27 end{matrix} ight.$

Do đó, hệ phương trình không có nghiệm.

$left{egin{matrix} 3x - 2y = 10\ x - rac{2}{3}y = 3 rac{1}{3} end{matrix} ight.$

Chuyển hỗn số thành phân số rồi nhân cả hai vế của phương trình dưới với 3 và sau đó trừ từng vế của hai phương trình, ta có:

$left{egin{matrix} 3x - 2y = 10\ x - rac{2}{3}y = rac{10}{3} end{matrix} ight.$

Như vậy, hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 23 trang 19 SGK Toán 9 tập 2.

Giải hệ phương trình dưới đây:

$left{egin{matrix} (1+sqrt{2})x + (1-sqrt{2})y = 5 \ (1+sqrt{2})x + (1+sqrt{2})y = 3 end{matrix} ight.$

Hướng dẫn giải:

$left{egin{matrix} (1+sqrt{2})x + (1-sqrt{2})y = 5 \ (1+sqrt{2})x + (1+sqrt{2})y = 3 end{matrix} ight.$

Trừ từng vế của phương trình (2) từ phương trình (1), ta có:

Thay phương trình (3) vào phương trình (1), ta có:

Bài 24 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình sau:

$left{egin{matrix} 2(x+y) + 3(x-y) = 4 \ (x+y) + 2(x-y) = 5 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} 2(x-2) + 3(1+y) = -2 \ 3(x-2) - 2(1+y) = -3 end{matrix} ight.$

Hướng dẫn giải:

$left{egin{matrix} 2(x+y) + 3(x-y) = 4 \ (x+y) + 2(x-y) = 5 end{matrix} ight.$

Tiến hành nhân và rút gọn, ta có:

$left{egin{matrix} 5x - y = 4 \ 3x - y = 5 end{matrix} ight.$

Trừ từng vế của hai phương trình, ta nhận được:

$left{egin{matrix} 2x = -1 \ x = 5 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = - rac{1}{2} \ y = - rac{13}{2} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 2(x-2) + 3(1+y) = -2 \ 3(x-2) - 2(1+y) = -3 end{matrix} ight.$

Mở ngoặc và rút gọn các vế trái của hai phương trình trong hệ, ta có:

$left{egin{matrix} 2x - 4 + 3 + 3y = -2 \ 3x - 6 - 2 - 2y = -3 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} x = 1 \ y = -1 end{matrix} ight.$

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; -1).

Bài 25 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Chúng ta biết rằng: Một đa thức chỉ bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức dưới đây (với biến số x) bằng 0:

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n - 10).

Hướng dẫn giải:

Chúng ta có

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n - 10) với hai hệ số là a = (3m - 5n + 1) và b = (4m - n - 10).

Vậy ta có:

$left{egin{matrix} 3m - 5n = -1 \ 4m - n = 10 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} m = 3\ n = 2 end{matrix} ight.$

Vậy với m = 3 và n = 2, đa thức P(x) sẽ bằng 0.

Bài 26 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A và B trong các trường hợp sau:

a) A(2; -2) và B(-1; 3)

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

Hướng dẫn giải:

a) A(2; -2) và B(-1; 3)

Hàm số có dạng y = ax + b (1)

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; -2), ta thay x = 2 và y = -2 vào (1), từ đó có: -2 = 2a + b.

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm B(-1; 3), ta thay x = -1 và y = 3 vào (1), từ đó có: 3 = -a + b.

Ta có hệ phương trình với hai ẩn a và b.

$left{egin{matrix} 2a + b = -2\ -a + b = 3 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} a = rac{-5}{3}\ b = rac{4}{3} + 3 end{matrix} ight.$

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

Hàm số có dạng y = ax + b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-4; -2), thay x = -4 và y = -2 vào (1), ta có phương trình: -2 = -4a + b.

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm B(2; 1), khi thay x = 2 và y = 1 vào phương trình (1), ta có: 1 = 2a + b.

Ta có hệ phương trình với hai ẩn a và b như sau:

$left{egin{matrix} -4a + b = -2\ 2a + b = 1 end{matrix} ight.$ $left{egin{matrix} a = rac{1}{2}\ b = 0 end{matrix} ight.$

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

Xét hàm số y = ax + b (1)

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm A(3; -1), ta thay x = 3 và y = -1 vào phương trình (1) để có: -1 = 3a + b

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm B(-3; 2), thay x = -3 và y = 2 vào phương trình (1) sẽ được: 2 = -3a + b

Như vậy, ta có hệ phương trình cần giải với các ẩn số a và b:

$\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 \\ -3a + b = 2 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} a = \frac{-1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ $a = \frac{-1}{2}; b = \frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$

Xét hàm số y = ax + b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua B(0; 2), thay y = 2 vào phương trình (1), ta có: 2 = b.

Do đồ thị hàm số đi qua điểm B(0; 2), thay x = 0 và y = 2 vào phương trình (1), ta nhận được: 2 = b.

Chúng ta có hệ phương trình với các ẩn a và b:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}a + b = 2 \\ b = 2 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} a = 0 \\ b = 2 \end{matrix}\right.$

Do đó, a = 0 và b = 2.

Bài 27 trang 20 sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ (như hướng dẫn), chuyển các hệ phương trình sau thành hệ phương trình bậc hai hai ẩn và giải:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải quyết:

$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{y}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y - 1} = 2 \\ \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{y - 1} = 1 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện x ≠ 0 và y ≠ 0.

$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{y}$

Các phương trình sau được chuyển đổi thành:

$\left\{\begin{matrix} u - v = 1 \\ 3u + 4v = 5 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{9}{7} \\ y = \frac{7}{2} \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{9} \\ y = \frac{7}{2} \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y - 1} = 2 \\ \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{y - 1} = 1 \end{matrix}\right.$ $u = \frac{1}{x - 2}$ $v = \frac{1}{y - 1}$

Điều kiện x - 2 phải khác 0 và y - 1 phải khác 0

$u = \frac{1}{x - 2}$ $v = \frac{1}{y - 1}$

Chuyển đổi phương trình đã cho thành:

$\left\{\begin{matrix} u + v = 2 \\ 2u - 3v = 1 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{19}{7} \\ y = \frac{8}{3} \end{matrix}\right.$ $(x = \frac{19}{7}; y = \frac{8}{3})$

Bài 30, trang 22, SGK Toán 9, tập 2

Một chiếc ô tô xuất phát từ điểm A với mục tiêu đến điểm B vào lúc 12 giờ trưa. Nếu xe di chuyển với tốc độ 35 km/h

Nội dung bài toán

Một chiếc ô tô khởi hành từ điểm A và dự định đến điểm B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với tốc độ 35 km/h, nó sẽ đến B muộn 2 giờ so với thời gian quy định. Ngược lại, nếu tốc độ là 50 km/h, xe sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với kế hoạch. Xác định chiều dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô từ A.

Áp dụng công thức: S = v × t, với S là quãng đường (km); v là tốc độ (km/h); và t là thời gian (h).

Giải chi tiết

Đặt x (km) là chiều dài quãng đường AB và y (giờ) là thời gian dự kiến để ô tô đến B đúng vào lúc 12 giờ trưa. Điều kiện x > 0 và y > 1 (vì ô tô đến sớm hơn 1 giờ).

+) Trường hợp 1:

Ô tô di chuyển với tốc độ 35 km/h

Do xe đến B trễ hơn 2 giờ, nên thời gian tổng cộng để di chuyển là: y + 2 (giờ)

Quãng đường di chuyển được là: 35 × (y + 2) (km)

Vì quãng đường không thay đổi, ta có phương trình: x = 35 × (y + 2) (1)

+) Trường hợp 2:

Ô tô di chuyển với tốc độ: 50 km/h

Vì xe đến B sớm hơn 1 giờ nên thời gian di chuyển là: y - 1 (giờ)

Quãng đường đã đi là: 50 × (y - 1) (km)

Vì quãng đường không thay đổi, ta có phương trình: x = 50 × (y - 1) (2)

Từ các phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x = 35(y + 2) & & \\ x = 50(y - 1) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 35y + 70 & & \\ x = 50y - 50 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x - 35y = 70 \ (1) \\ x - 50y = -50 \ (2) \end{matrix}\right.$

Trừ (2) từ (1) để tìm y, ta có:

$\left\{\begin{matrix} 15y = 120 \\ x - 50y = -50 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 8 \\ x = -50 + 50y \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} y = 8 \\ x = -50 + 50 \times 8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 8 \\ x = 350 \end{matrix}\right.$

Do đó, quãng đường AB là 350 km.

Thời gian xuất phát của ô tô tại điểm A là lúc 4 giờ sáng, tính từ 12 giờ trưa trừ đi 8 giờ.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]