Giao nhau

Cho A và B là hai tập hợp. Giao hay Intersection của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được ký hiệu là 'A ∩ B'. Đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử mà cả A và B đều có.

$A\cap <!--\; \cap \; -->B=\{x|x\in <!--\; \in \; -->A\text{và}x\in <!--\; \in \; -->B\}$

Biểu tượng giao lộ đôi khi được thay thế bằng từ 'và' giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ 'và' trong tiếng Anh.

Ký hiệu và ví dụ

Phép giao được ký hiệu là '$\cap <!--\; \cap \; -->$'; Ví dụ như:

• $\{1,2,3\}\cap <!--\; \cap \; -->\{2,3,4\}=\{2,3\}$
• $\{1,2,3\}\cap <!--\; \cap \; -->\{4,5,6\}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$
• $Z\cap <!--\; \cap \; -->N=N$
• $\{x\in <!--\; \in \; -->R:x^2=1\}\cap <!--\; \cap \; -->N=\left\{1\right\}$

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{A}_i$

tương tự với ký hiệu sigma viết in hoa.

Định nghĩa

Giao của hai tập hợp $A$ và $B,$, được ký hiệu là $A\cap <!--\; \cap \; -->B,$ là tập hợp các đối tượng vừa thuộc tập hợp $A$ và vừa thuộc tập hợp $B.$ Khi viết bằng ký hiệu: $A\cap <!--\; \cap \; -->B=\{x:x\in <!--\; \in \; -->A\text{ và }x\in <!--\; \in \; -->B\}.$

Nghĩa là, $x$ là một phần tử của giao $A\cap <!--\; \cap \; -->B$ khi và chỉ khi $x$ là một phần tử của $A$ và cũng là một phần tử của $B.$

Thêm ví dụ:

• Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
• Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, vì số 9 không phải là số nguyên tố.

Tập hợp không giao nhau

Chúng ta nói tập hợp $A$ giao với tập hợp $B$ nếu có một phần tử $x$ thuộc cả $A$ và $B,$.

Ngược lại, chúng ta nói tập hợp $A$ và $B$ không giao nhau hay rời nhau nếu $A$ không giao với $B.$ Nói cách khác, chúng không có bất kỳ phần tử chung nào.

Ví dụ, tập $\{1,2\}$ và $\{3,4\}$ không giao nhau, trong khi tập số chẵn giao với tập số chia hết cho 3 tại các bội số của 6.

Thuộc tính của phép giao

Phép giao là phép toán có tính kết hợp; nghĩa là, với bất kỳ tập hợp $A,B,$ và $C,$ ta có

Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ là tập rỗng.

Phép giao của tập hợp A với (tập hợp B hợp C) bằng (giao của tập hợp A với B) hợp (giao của tập hợp A với C).

Giao của họ tập hợp

Giao của họ khác rỗng

Cách tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp . Nếu $M$ là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì $x$ là phần tử của giao của $M$ khi và chỉ khi với mọi phần tử $A$ thuộc $M,$ $x$ là phần tử thuộc $A.$ Viết bằng ký hiệu:

Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết '', trong khi một số sẽ viết ''. Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành '', tức là giao của họ $\left\{A_i:i\in <!--\; \in \; -->I\right\}.$ Trong đó $I$ là tập chỉ số khác rỗng và $A_i$ là tập hợp với mọi $i\in <!--\; \in \; -->I.$

Khi tập chỉ số $I$ là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành: Tương tự với chuỗi.

Nếu khó khi định dạng, chúng ta cũng có thể viết '$A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2\cap <!--\; \cap \; -->A_3\cap <!--\; \cap \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$'.

Giao của họ rỗng

Trong phần trước, chúng ta chưa xét đến trường hợp $M$ là tập rỗng (). Lí do là vì: Giao của chúng $M$ được định nghĩa là tập (xem cú pháp xây dựng tập hợp) Nếu $M$ rỗng, thì không có tập $A$ nào thuộc $M$, do đó câu hỏi trở thành 'phần tử $x$ nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?'. Câu trả lời có vẻ như là mọi phần tử $x$. Khi $M$ rỗng, điều kiện này là một ví dụ về chân lý rỗng. Do đó, giao của chúng rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao), nhưng trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập $X$ cho trước, thì giao của chúng rỗng với các tập con của $X$ được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu $M$ rỗng thì giao của nó sẽ là . Bởi $x\in <!--\; \in \; -->X$ đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của chúng rỗng với các tập con của $X$ là toàn bộ của $X.$ Nói bằng công thức, Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi các tập con càng ngày càng nhỏ, thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của chúng rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.