Giao tiếp trực tiếp

Trong toán học, trực giao mở rộng khái niệm góc vuông trong đại số tuyến tính đối với các dạng song tuyến tính. Hai vectơ u và v trong một không gian vectơ với dạng song tuyến tính B được gọi là trực giao nếu B(u, v) = 0. Tùy thuộc vào dạng song tuyến tính, một không gian vectơ có thể có các vectơ không trực giao với chính nó. Đối với không gian hàm, tập hợp các hàm trực giao thường được sử dụng để xây dựng cơ sở.

Khái niệm trực giao cũng được mở rộng để chỉ sự phân chia rõ ràng giữa các chức năng trong một hệ thống. Thuật ngữ này còn có ý nghĩa đặc thù trong nhiều lĩnh vực khác như nghệ thuật và hóa học.

Toán học và vật lý

Định nghĩa

• Trong hình học, hai vectơ Euclid được gọi là trực giao nếu chúng vuông góc với nhau, tức là tạo thành một tam giác vuông.
• Hai vectơ x và y trong không gian tích trong V được coi là trực giao nếu tích trong của chúng $⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->$ bằng 0. Quan hệ này được ký hiệu là $x\perp <!--\; \perp \; -->y$.
• Hai không gian vectơ con, A và B của một không gian tích trong V, được gọi là không gian con trực giao nếu mọi vectơ thuộc A đều trực giao với mọi vectơ thuộc B. Không gian con lớn nhất trực giao với một không gian con cho trước trong V được gọi là phần bù trực giao của nó.
• Cho một mô đun M và đối ngẫu của nó M*, một phần tử m' của M* và một phần tử m của M được coi là trực giao nếu $⟨<!--\; ⟨\; -->m,m^{\prime }⟩<!--\; ⟩\; -->=0$. Hai tập hợp S′ ⊆ M và S ⊆ M được coi là trực giao nếu mỗi phần tử của S′ đều trực giao với mỗi phần tử của S.

Một tập hợp các vectơ trong không gian tích trong được gọi là trực giao theo cặp nếu mọi cặp vectơ đều trực giao với nhau. Một tập hợp như vậy được gọi là tập trực giao.

Một không gian vectơ với một dạng song tuyến tính là sự khái quát của trường hợp không gian tích trong. Khi dạng song tuyến tính áp dụng lên hai vectơ có kết quả bằng 0 thì chúng trực giao. Trong trường hợp với mặt phẳng giả Euclid, khái niệm trực giao chuyển thành hypebol. Trong sơ đồ, các trục x′ và t′ là trực giao hypebol với mọi ϕ được cho trước.

Không gian vectơ Euclid

Trong không gian Euclid, hai vectơ được coi là trực giao khi tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là chúng tạo với nhau một góc 90° (π/2 radian), hoặc khi một trong hai vectơ bằng không. Do đó, khái niệm trực giao mở rộng từ tính vuông góc cho không gian có bất kỳ số chiều nào.

Phần bù trực giao của một không gian con là tập hợp các vectơ trực giao với tất cả các vectơ trong không gian con đó. Trong không gian vectơ Euclid ba chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng qua gốc tọa độ là mặt phẳng qua gốc tọa độ vuông góc với nó, và ngược lại.

Lưu ý rằng khái niệm hai mặt phẳng vuông góc trong hình học không tương ứng với phần bù trực giao, bởi vì trong không gian ba chiều, một cặp vectơ mà mỗi vectơ thuộc một trong hai mặt phẳng vuông góc có thể tạo ra một góc bất kỳ với nhau.

Trong không gian Euclid bốn chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng là một siêu phẳng, và ngược lại. Phần bù trực giao của một mặt phẳng cũng là một mặt phẳng.

Ma trận trực giao

Trong đại số tuyến tính, một ma trận trực giao, hay còn gọi là ma trận trực chuẩn, là ma trận vuông thực có các cột và hàng là các vectơ trực chuẩn với nhau.

Điều này có thể được biểu diễn như sau

$Q^{T}Q=Q{Q}^T=I,$

Trong đó, $Q^T$ là ma trận chuyển vị của Q và $I$ là ma trận đơn vị.

Điều này dẫn đến đặc điểm sau: một ma trận Q được coi là trực giao nếu chuyển vị của nó chính là nghịch đảo của nó:

$Q^T=Q^{-<!--\; -\; -->1},$

Trong đó, $Q^{-<!--\; -\; -->1}$ là nghịch đảo của ma trận Q.

Ma trận trực giao Q luôn là ma trận khả nghịch (với nghịch đảo Q = Q), đồng nhất (Q = Q), với Q là liên hợp Hermite (chuyển vị liên hợp) của Q, và vì vậy cũng là ma trận chuẩn tắc (QQ = QQ) với các hệ số thực. Định thức của một ma trận trực giao luôn là +1 hoặc −1. Trong biến đổi tuyến tính, ma trận trực giao bảo toàn tích trong của các vectơ, do đó là một phép đẳng cự (isometry) trên không gian Euclid, như phép quay, phép đối xứng hay đối xứng quay. Nói cách khác, nó là một biến đổi đồng nhất.

Hàm trực giao

Chúng ta có thể định nghĩa tích phân của hai hàm f và g với trọng số w trên khoảng [a, b] bằng công thức dưới đây:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g{⟩<!--\; ⟩\; -->}_w={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)w\left(x\right)dx.$

Trong các trường hợp đơn giản, ta có thể coi w(x) = 1.

Hai hàm f và g được gọi là trực giao nếu tích trong của chúng, tức là kết quả của tích phân xác định, bằng 0:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g{⟩<!--\; ⟩\; -->}_w=0.$

Sự trực giao của hai hàm đối với một tích trong không đồng nghĩa với việc chúng cũng trực giao đối với một tích trong khác.

Chúng ta có thể biểu diễn tích trong này theo định dạng chuẩn như sau

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_w=\sqrt{⟨<!--\; ⟨\; -->f,f{⟩<!--\; ⟩\; -->}_w}$

Một tập hợp các hàm {f_i: i = 1, 2, 3,...} được gọi là trực giao với w trên đoạn [a, b] nếu

$⟨<!--\; ⟨\; -->f_i,f_j{⟩<!--\; ⟨\; -->}_w=0i\ne <!--\; \ne \; -->j.$

Các hàm trong một tập hợp trực chuẩn với w trên đoạn [a, b] nếu

$⟨<!--\; ⟨\; -->f_i,f_j{⟩<!--\; ⟩\; -->}_w={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{i,j},$

với

Các ví dụ

• Các vectơ (1, 3, 2), (3, −1, 0), (1, 3, −5) vuông góc với nhau, vì (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1) + (−1)(3) + (0)(−5) = 0, và (1)(1) + (3)(3) + (2)(−5) = 0.
• Hai vectơ (1, 0, 1, 0,...) và (0, 1, 0, 1,...) vuông góc với nhau. Tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó, có thể tổng quát hóa để xét các vectơ trong Z₂:

Với một số nguyên dương bất kỳ a, và với 1 ≤ k ≤ a − 1, các vectơ có dạng trên là vuông góc với nhau, ví dụ: , , và là các vectơ vuông góc nhau.

• Các hàm 2t + 3 và 45t + 9t − 17 là trực giao với trọng số bằng 1 trên đoạn từ −1 đến 1:

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->1}^1\left(2t+3\right)\left(45t^2+9t-<!--\; -\; -->17\right)dt=0$

• Các hàm 1, sin(nx), cos(nx) với n = 1, 2, 3,... trực giao với nhau khi tính tích phân Riemann trên các đoạn như [0, 2π], [−π, π], hoặc bất kỳ đoạn đóng nào có độ dài 2π. Đây là một kết quả quan trọng trong phân tích chuỗi Fourier.

Nhiều dãy đa thức được đặt tên theo các nhà toán học cổ điển là các đa thức trực giao. Ví dụ:

• Các đa thức Hermite trực giao với phân phối Gauss có giá trị trung bình bằng 0.
• Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1, 1] với phân phối đồng nhất.
• Các đa thức Laguerre trực giao với phân phối mũ. Một cách tổng quát hơn, các đa thức Laguerre trực giao theo phân phối gamma.
• Các đa thức Chebyshev loại một trực giao với hàm $1/\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}.$
• Các đa thức Chebyshev loại hai trực giao theo phân phối nửa đường tròn Wigner.

• Trong cơ học lượng tử, điều kiện đủ (nhưng không phải là điều kiện cần) để hai trạng thái lượng tử riêng của một toán tử Hermite ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m$ và ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n$ là chúng tương ứng với hai giá trị riêng khác nhau. Theo ký hiệu Dirac, điều này có nghĩa là $⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->=0$ nếu ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m$ và ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n$ tương ứng với hai giá trị riêng khác nhau. Điều này xảy ra vì phương trình Schrödinger là phương trình Sturm–Liouville hoặc các đại lượng quan sát được do các toán tử Hermite cho (theo công thức của Heisenberg).

• Số ảo
• Phần bù trực giao
• Nhóm trực giao
• Ma trận trực giao
• Đa thức trực giao
• Phương pháp trực giao
  • Phương pháp Gram–Schmidt
• Cơ sở trực giao
• Trực chuẩn
• Biến đổi trực giao

Đọc thêm

• Chương 4 – Tính chất compact và sự trực giao Lưu trữ ngày 13 tháng 01 năm 2018 trên Wayback Machine trong The Art of Unix Programming