Giới hạn (toán học)

Đây là bài viết tổng quát về khái niệm giới hạn trong Toán học. Để biết thêm chi tiết về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số cụ thể, xin vui lòng tham khảo các trang tương ứng.

Trong toán học, khái niệm giới hạn là giá trị mà một hàm số hoặc dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nhất định. Tại không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã xác định trước. Đây là một khái niệm quan trọng trong Giải tích, liên quan đến tính liên tục, đạo hàm và tích phân.

Khái niệm giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và có mối liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù.

Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (a_n) ta viết lim(a_n) = a hoặc a_n → a.

Giới hạn của hàm số

Bài chính: Giới hạn hàm số

Giả sử f(x) là một hàm số có giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}f\left(x\right)=L$

có ý nghĩa là f(x) sẽ gần với L khi x tiến gần đến c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x) khi x tiến đến c là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi f(c) ≠ L hoặc khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

$f\left(x\right)=\frac{x^2-<!--\; -\; -->1}{x-<!--\; -\; -->1}$

thì f(1) không xác định, nhưng khi x tiến đến 1 thì f(x) tiến đến 2:

Do đó, f(x) có thể tiến đến 2 một cách tự do, chỉ cần x đủ gần 1.

Karl Weierstrass đã định nghĩa giới hạn của hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19.

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một số hữu hạn, nó cũng có thể có giới hạn tại vô cùng. Ví dụ, xét hàm số

$f\left(x\right)=\frac{2x-<!--\; -\; -->1}{x}$

• f(100) = 1,9900
• f(1000) = 1,9990
• f(10000) = 1,9999

Khi x lớn đến vô cùng, giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần x đủ lớn. Ta nói 'giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2' và viết

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f\left(x\right)=2.$

Giới hạn của dãy số

Bài chính: Giới hạn dãy số

Xét dãy số sau: 1,79, 1,799, 1,7999,... Chúng ta có thể thấy rằng dãy số này 'tiến dần' đến 1,8, đó là giới hạn của dãy.

Một cách hình thức, giả sử x₁, x₂,... là một chuỗi số thực. Chúng ta gọi số thực L là giới hạn của chuỗi và viết:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=L$

nếu

Với mọi số thực ε > 0, tồn tại số tự nhiên n₀ sao cho với mọi n > n₀, |x_n − L| < ε.

Về mặt trực giác, điều này có nghĩa là tất cả những số hạng sau một số hạng nhất định của chuỗi sẽ gần với giới hạn 'L' một cách tùy ý, vì khoảng cách tuyệt đối |x_n − L| là khoảng cách giữa x_n và L. Không phải mọi chuỗi đều có giới hạn; nếu một chuỗi có giới hạn thì ta nói rằng chuỗi đó hội tụ, ngược lại, ta nói rằng chuỗi đó phân kì. Đã được chứng minh rằng một chuỗi hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Giới hạn của chuỗi số và giới hạn của hàm số có mối quan hệ rất chặt chẽ. Một mặt, giới hạn của chuỗi số thực chính là giới hạn của một hàm số với biến số là số tự nhiên. Mặt khác, giới hạn của một hàm số f tại x, nếu tồn tại, chính là giới hạn của chuỗi số x_n = f(x + 1/n).

Phương pháp giải

• Dạng $\frac{0}{0}$ trong việc giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}f\left(x\right)=\frac{x^2-<!--\; -\; -->16}{x-<!--\; -\; -->4}$

Bước 1: Thay 4 vào phương trình f(x), ta có dạng $\frac{0}{0}$, xác nhận đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Bước 2: Biến đổi:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{x\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}}^2-<!--\; -\; -->16}{x-<!--\; -\; -->4}$

<=>$\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}f\left(x\right)=\frac{(x-<!--\; -\; -->4)(x+4)}{x-<!--\; -\; -->4}$ <=>$\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}f\left(x\right)=x+4$

Lúc này thay 4 vào, ta có $\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}f\left(x\right)=8$

Ví dụ 2:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sqrt{9+5x+4x^2}-<!--\; -\; -->3}{x}$

Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sqrt{9+5x+4x^2}-<!--\; -\; -->3}{x}$

=$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{(\sqrt{9+5x+4x^2}-<!--\; -\; -->3)(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)}{x(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)}$ =$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{9+5x+4x^2-<!--\; -\; -->9}{x(\sqrt{9+5x+4x^2}+3)}$

Ta chia tử và mẫu cho x, thu được:

Thế 0 vào ta có:

• Dạng $\frac{\infty }{\infty }$ khi giới hạn là vô cực: Chia cho số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 1: Dạng đã thay đổi

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\infty }{lim}\frac{4x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1}{3+2x^2}$

Tại đây ta thấy số mũ lớn nhất của tử và mẫu là x, vì vậy ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{4x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1}{3+2x^2}$

=$\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{4-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x^2}+2}$ = 2

Ví dụ 2: Dạng chưa thay đổi

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(x^2-<!--\; -\; -->\frac{2}{x+1})$

=$+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$

Lưu ý: Dạng $\frac{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ không phải chỉ áp dụng với dạng phân thức mà kể cả đa thức. VD:$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(-<!--\; -\; -->x^2+n\sqrt{n}+1)$

• Dạng $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$: Ta sẽ nhân lượng liên hợp

Ví dụ:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(\sqrt{n^2+n}-<!--\; -\; -->\sqrt{n^2-<!--\; -\; -->1})$

=$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{(\sqrt{n^2+n}-<!--\; -\; -->\sqrt{n^2-<!--\; -\; -->1})(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-<!--\; -\; -->1})}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-<!--\; -\; -->1}}$ =$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-<!--\; -\; -->1}}$ =$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{n^2}}}$ =$\frac{1}{2}$

• Dạng 0.$\mathrm{Vô\; cực}$: biến đổi thành $\frac{\mathrm{Vô\; cực}}{\mathrm{Vô\; cực}}$ hoặc dạng $\frac{0}{0}$

Ví dụ:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->3^{+}}{lim}(x-<!--\; -\; -->3)\sqrt{\frac{x}{x^2-<!--\; -\; -->9}}$

=$\underset{x\to <!--\; \to \; -->3^{+}}{lim}(x-<!--\; -\; -->3)\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}\sqrt{x-<!--\; -\; -->3}}$ =$\underset{x\to <!--\; \to \; -->3^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x-<!--\; -\; -->3}\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}$ = 0

Khả năng tính toán

Các biểu thức giới hạn có thể là phức tạp. Một số biểu thức giới hạn có thể hội tụ mô-đun không thể được xác định. Trong lý thuyết đệ quy, định lý giới hạn chứng minh rằng có thể giải quyết hoàn toàn các vấn đề không thể xác định bằng cách sử dụng giới hạn.