Hàm hyperbol là một loại hàm trong toán học với nhiều điểm tương đồng với các hàm lượng giác. Ví dụ, hàm hyperbol cơ bản bao gồm 'sinh' (sin hyperbol), 'cosh' (cosin hyperbol), 'tanh' (tang hyperbol), cùng với các hàm khác phát sinh từ chúng, tương tự như các hàm lượng giác. Hàm hyperbol ngược bao gồm 'arsinh' (hay 'asinh' hoặc 'arcsinh').

Trong toán học, hàm hyperbol (hay còn gọi là song khúc) có nhiều tính chất tương tự với các hàm lượng giác truyền thống. Các hàm hyperbol cơ bản bao gồm 'sinh' (sin hyperbol) và 'cosh' (cosin hyperbol), cùng với 'tanh' (tang hyperbol) và các hàm dẫn xuất của chúng, tương tự như các hàm lượng giác. Hàm hyperbol ngược bao gồm 'arsinh' (hoặc 'asinh' hoặc 'arcsinh').

Các điểm (cosh t, sinh t) nằm trên phần bên phải của hyperbol tương tự như các điểm (cos t, sin t) nằm trên đường tròn bán kính đơn vị. Các hàm hyperbol thường xuất hiện trong các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính, phương trình xác định hình dạng dây xích treo, và trong phương trình Laplace trong hệ tọa độ Descartes. Chúng cũng xuất hiện trong các lĩnh vực như lý thuyết điện từ, truyền nhiệt, thủy động lực học, và thuyết tương đối hẹp.

Hàm hyperbol có giá trị thực đối với các tham số thực được gọi là góc hyperbol. Trong giải tích phức, chúng chính là hàm mũ hữu tỉ, hay hàm phân hình (meromorphic function).

Các hàm hyperbol được phát hiện độc lập bởi hai nhà toán học Vincenzo Riccati và Johann Heinrich Lambert vào khoảng những năm 1760. Riccati sử dụng ký hiệu Sc. và Cc. ([co]sinus circulare) để chỉ các hàm lượng giác, trong khi Sh. và Ch. ([co]sinus hyperbolico) đại diện cho các hàm hyperbol. Lambert là người đã giới thiệu các ký hiệu hiện nay được sử dụng.

Biểu diễn của các hàm hyperbol

Công thức để biểu diễn các hàm hyperbol:

• Hàm sinh hyperbol:

• Hàm cos hyperbol:

• Hàm tang hyperbol:

• Hàm cotang hyperbol:

• Hàm sec hyperbol:

• Hàm cosec hyperbol:

Các hàm hyperbol có thể được biểu diễn bằng số phức:

• Hàm sin hyperbol:

$\sinh <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->ix$

• Hàm cos hyperbol:

$\cosh <!--\; \; -->x=\cos <!--\; \; -->ix$

• Hàm tang hyperbol:

$\tanh <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\tan <!--\; \; -->ix$

• Hàm cotang hyperbol:

$\coth <!--\; \; -->x=i\cot <!--\; \; -->ix$

• Hàm sec hyperbol:

$\mathrm{sech}x=\sec <!--\; \; -->ix$

• Hàm cosec hyperbol:

$\mathrm{csch}x=i\csc ix$

với i là đơn vị ảo, được định nghĩa là i = −1.

Các dạng phức trong các định nghĩa trên được suy ra từ công thức Euler.

Lưu ý rằng, theo định nghĩa, sinh x chỉ là (sinh x), không phải sinh(sinh x); điều này cũng áp dụng cho các hàm hyperbol khác.

Các mối quan hệ giữa các hàm hyperbol

$\sinh <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\sinh <!--\; \; -->x$

$\cosh <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\cosh <!--\; \; -->x$

Do đó:

$\tanh <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\tanh <!--\; \; -->x$

$\coth <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\coth <!--\; \; -->x$

$\mathrm{sech}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{sech}x$

$\mathrm{csch}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{csch}x$

Theo các mối quan hệ trên, ta thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn, trong khi các hàm còn lại là các hàm lẻ.

Các hàm sinh hyperbol và cos hyperbol thỏa mãn công thức sau:

${\cosh }^2<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->{\sinh }^2<!--\; \; -->x=1$

Tương tự như công thức Pythagoras trong lượng giác: ${\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1.$. Do đó, chúng ta cũng có:

${\tanh }^2<!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->{\mathrm{sech}}^2<!--\; \; -->x$

${\coth }^2<!--\; \; -->x=1+{\mathrm{csch}}^2<!--\; \; -->x$

Hàm tang hyperbol là nghiệm của bài toán giá trị biên không tuyến tính:

Đã có chứng minh rằng diện tích dưới đường cong cosh x luôn luôn bằng chiều dài của đường cong đó:

Cộng các tham số

đặc biệt

Và:

Công thức trừ

Và:

Nguồn tài liệu tham khảo.

Công thức tính hàm số với nửa đối số

$\sinh <!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sinh <!--\; \; -->\left(x\right)}{\sqrt{2(\cosh <!--\; \; -->(x)+1)}}=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(x\right)\sqrt{\frac{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->1}{2}}$

với sgn là hàm dấu.

$\cosh <!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)+1}{2}}$

$\tanh <!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sinh <!--\; \; -->\left(x\right)}{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)+1}=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(x\right)\sqrt{\frac{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->1}{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)+1}}=\frac{e^x-<!--\; -\; -->1}{e^x+1}$

Nếu x khác 0, thì

$\tanh <!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cosh <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->1}{\sinh <!--\; \; -->\left(x\right)}=\coth <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{csch}<!--\; \; -->\left(x\right)$

Hàm số hyperbol ngược

$\mathrm{arsinh}x=\ln <!--\; \; -->\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

$\mathrm{arcosh}x=\ln <!--\; \; -->\left(x+\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}\right);x\ge <!--\; \ge \; -->1$

$\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->\frac{x+1}{x-<!--\; -\; -->1};\left|x\right|>1$

$\mathrm{arcsch}x=\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|}\right)$

Đạo hàm

$\frac{d}{dx}\sinh <!--\; \; -->x=\cosh <!--\; \; -->x$

$\frac{d}{dx}\cosh <!--\; \; -->x=\sinh <!--\; \; -->x$

$\frac{d}{dx}\tanh <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->{\tanh }^2<!--\; \; -->x={\text{sech}}^{2}x=1/{\cosh }^2<!--\; \; -->x$

$\frac{d}{dx}\coth <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->{\coth }^2<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->{\text{csch}}^{2}x=-<!--\; -\; -->1/{\sinh }^2<!--\; \; -->x$

$\frac{d}{dx}\text{csch}x=-<!--\; -\; -->\coth <!--\; \; -->x\text{csch}x$

$\frac{d}{dx}\text{sech}x=-<!--\; -\; -->\tanh <!--\; \; -->x\text{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x^2},\left|x\right|>1$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}},x\ne <!--\; \ne \; -->0$

Tích phân

$\int <!--\; \int \; -->\sinh <!--\; \; -->axdx=a^{-<!--\; -\; -->1}\cosh <!--\; \; -->ax+C$

$\int <!--\; \int \; -->\cosh <!--\; \; -->axdx=a^{-<!--\; -\; -->1}\sinh <!--\; \; -->ax+C$

$\int <!--\; \int \; -->\tanh <!--\; \; -->axdx=a^{-<!--\; -\; -->1}\ln <!--\; \; -->(\cosh <!--\; \; -->ax)+C$

$\int <!--\; \int \; -->\coth <!--\; \; -->axdx=a^{-<!--\; -\; -->1}\ln <!--\; \; -->(\sinh <!--\; \; -->ax)+C$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{du}{\sqrt{u^2-<!--\; -\; -->a^2}}={\cosh }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{du}{a^2-<!--\; -\; -->u^2}=a^{-<!--\; -\; -->1}{\coth }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{du}{u\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->u^2}}=-<!--\; -\; -->a^{-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{sech}}^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}$

với C là hằng số tích phân.

Mở rộng chuỗi Taylor

Chúng ta có thể biểu diễn các hàm hyperbol bằng chuỗi Taylor như sau:

$\sinh <!--\; \; -->x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Hàm sinh x có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor chỉ với các số mũ lẻ của x. Điều này cho thấy hàm này là hàm lẻ, tức là −sinh x = sinh(−x) và sinh 0 = 0.

$\cosh <!--\; \; -->x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}$

Hàm cosh x có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor chỉ với các số mũ chẵn của x. Điều này cho thấy hàm này là hàm chẵn và đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh chính là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm mũ.

(chuỗi Laurent)

(chuỗi Laurent)

với

$B_n$ là số Bernoulli thứ n

$E_n$ là số Euler thứ n

Liên hệ với hàm mũ

Từ định nghĩa của hàm sinh và cosh hyperbolic, chúng ta có những đồng nhất thức sau đây:

$e^x=\cosh <!--\; \; -->x+\sinh <!--\; \; -->x$

và

$e^{-<!--\; -\; -->x}=\cosh <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\sinh <!--\; \; -->x$

Những công thức này tương tự như cách mà hàm sin và cosin hoạt động dựa trên công thức Euler, được biểu diễn dưới dạng tổng của hai hàm mũ lũy thừa.

Ngoài ra,

$e^x=\sqrt{\frac{1+\tanh <!--\; \; -->x}{1-<!--\; -\; -->\tanh <!--\; \; -->x}}=\frac{1+\tanh <!--\; \; -->\frac{x}{2}}{1-<!--\; -\; -->\tanh <!--\; \; -->\frac{x}{2}}$

Hàm hyperbolic đối với số phức

Vì hàm mũ có thể được mở rộng cho số phức, định nghĩa hàm hyperbolic cũng có thể áp dụng cho các đối số phức. Khi đó, hàm sinh z và cosh z trở thành các hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được mô tả bởi công thức Euler và có thể mở rộng cho các biến phức:

do vậy:

Do đó, các hàm hyperbol phức là những hàm tuần hoàn theo phần ảo, với chu kỳ $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i$ (và $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i$ cho các hàm tang và cotang hyperbol).

Các liên kết ngoài

• Hàm hyperbol Lưu trữ ngày 2012-02-18 tại Wayback Machine trên PlanetMath
• Mục hàm hyperbol trên MathWorld
• GonioLab Lưu trữ ngày 2007-10-06 tại Wayback Machine: Hình minh họa về vòng tròn đơn vị, các hàm lượng giác và hyperbol (Java Web Start)
• Công cụ tính toán hàm hyperbol trực tuyến