Hàm liên tục

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của $f$ như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập $x$ luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của $f\left(x\right)$. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Một ví dụ đơn giản, hàm số H(t) thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian t có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số M(t) chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian t là không liên tục, vì nó sẽ 'nhảy' mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.

Lịch sử

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của $f$ như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập $x$ luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của $f\left(x\right)$. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm số thực

Định nghĩa

Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường cong duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số f theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:

• Hàm số được coi là liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo định nghĩa này, hàm số f(x) = tan(x) là liên tục trên tập xác định là tất cả các số thực x ≠ (2n+1)π/2, với n là số nguyên bất kỳ.
• Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn từ một phía. Ví dụ, hàm số g(x) = √x, với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại x = 0. Trong trường hợp này, chỉ cần xét giới hạn một phía của hàm số bằng giá trị của nó, tức g có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
• Hàm số được xem là liên tục tại mọi số thực. Theo định nghĩa này, hai hàm số nói trên không liên tục, trong khi các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều là liên tục.

Sử dụng các ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo ba cách hiểu nêu trên.

Đặt f: D ⟶ R là hàm số được định nghĩa trên một tập con D của tập số thực R. Tập con D này là tập xác định của f. Một số lựa chọn cho D bao gồm:

$D=R$ (D là toàn bộ tập số thực), hoặc với các số thực a, b,

$D=[a,b]=\{x\in <!--\; \in \; -->R|a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b\}$ (D là một khoảng đóng), hoặc

(D là một khoảng mở).

Trong trường hợp D là một khoảng mở, a và b không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị f(a) và f(b) không ảnh hưởng đến tính liên tục của f trên D.

Khái niệm về tính liên tục theo giới hạn của hàm số

Hàm số $f$ được coi là liên tục tại điểm $c$ trong miền xác định nếu giới hạn của $f\left(x\right)$ khi $x$ tiến gần đến $c$ tồn tại và bằng với giá trị của $f\left(c\right)$. Ta viết:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}f\left(x\right)=f\left(c\right)$

tức là 3 điều kiện sau: 1 là $f$ xác định tại $c$, 2 là giới hạn bên trái tồn tại, và 3 là giá trị giới hạn bằng $f\left(c\right)$.

Hàm số $f$ là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy số

Cho dãy số $(x_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}$ bất kỳ trên miền xác định hội tụ về $c$, thì dãy số tương ứng $\left(f\right(x_n){)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}$ hội tụ về $f\left(c\right)$

Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta

Đối với mọi số thực dương ε, tồn tại số thực dương δ sao cho với mọi x trong miền xác định của hàm f, với c-δ < x < c+δ, giá trị của f(x) thỏa điều kiện

f(c)-ε < f(x) < f(c)+ε

Hàm f liên tục trên đoạn I → R tại c là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ I

|x-c| < δ ⇒ |f(x)-f(c)| < ε

Ví dụ

Hàm $f\left(x\right)=\frac{2x-<!--\; -\; -->1}{x+2}$ liên tục trên miền xác định $R\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\{-<!--\; -\; -->2\}$

Phản ví dụ

Ví dụ về hàm không liên tục với $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{1}{2}$, lấy với mọi $y\ne <!--\; \ne \; -->0$, khi đó không tồn tại $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0:$

Tính chất của các hàm liên tục

Định lý giá trị trung gian trong toán học

Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a, b], thì tồn tại một điểm c nằm giữa f(a) và f(b) sao cho f(c) = s.

Ví dụ, nếu một đứa trẻ từ 4 đến 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m lên 1.5m, thì sẽ tồn tại một thời điểm trong khoảng đó, đứa trẻ cao 1.2m.

Định lý giá trị cực đại và cực tiểu

Khoảng đóng [a, b] và hàm số f liên tục

Định lý điểm cố định

Nếu hàm f từ [a, b] vào [a, b] là liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c trong [a, b] sao cho f(c) = c.

Quan hệ giữa tính khả tích và khả vi

Mọi hàm số f từ (a, b) vào R khả vi đều liên tục, nhưng điều ngược lại không đúng.

Một ví dụ về hàm giá trị tuyệt đối

Hàm số là một hàm liên tục trên $R$ nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm $f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ của hàm khả vi $f\left(x\right)$ không nhất thiết phải liên tục, nhưng nếu đạo hàm liên tục thì được gọi là khải vi liên tục. Tập hợp các hàm này thuộc không gian hàm $C^1(a,b)$.

Xét tập hợp các hàm

$f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->R$

Trong đó $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ là một tập con mở của $R$ sao cho hàm $f$ khả vi liên tục đến bậc $k$.

Tập hợp các hàm này là không gian $C^k\left(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)$.

Tất cả các hàm

$f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$

đều là các hàm khả tích. Điều ngược lại không đúng, ví dụ như hàm $\mathrm{sign}<!--\; \; -->\left(x\right)$

Liên tục đồng đều

Giả sử $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ là một tập con của $R$ thì

$f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->R$

liên tục đồng đều trên $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ nếu với mọi $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0$ cho trước, tồn tại $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$ chỉ phụ thuộc vào $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$ sao cho , với $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,x^{{}^{\prime }}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

Phương trình

Ví dụ như hàm $y=\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$ và $y=x$

Hội tụ của dãy hàm liên tục

Cho dãy $(f_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}:I\to <!--\; \to \; -->R$

những hàm liên tục với điều kiện

$f\left(x\right)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{f}_n\left(x\right)$

tồn tại cho mọi $x\in <!--\; \in \; -->I$, khi đó hàm $f\left(x\right)$ là giới hạn từng điểm của chuỗi hàm $(f_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}$, hàm $f$ không nhất thiết liên tục mặc dù $f_n$ vẫn liên tục.

Tuy nhiên, nếu $f$ là hàm liên tục, thì chuỗi $(f_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}$ sẽ hội tụ đều

Hàm không liên tục ở mọi điểm

Là một hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho $c$ và $d$ là hai số thực(thường lấy $c=1$ và $d=0$), được định nghĩa bởi

$D\left(x\right)=\{\begin{array}{c}c,x\in <!--\; \in \; -->Q\\ d,x\notin <!--\; \notin \; -->Q\end{array}$

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

$D\left(x\right)=\underset{m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\cos }^{2n}<!--\; \; -->(m!\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x)$ Nếu $E$ là một tập con bất kỳ của không gian tô pô $X$ sao cho cả $E$ và phần bù của $E$ đều không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Liên tục trên không gian metric

Định nghĩa

Liên tục trên không gian metric với định nghĩa:

Cho $(X,d_1)$ và $(Y,d_2)$ là 2 không gian metric.

Ánh xạ $f:(X,d_1)\to <!--\; \to \; -->(Y,d_2)$ liên tục tại $x\in <!--\; \in \; -->X$ nếu

hay với mọi $B\left(f\right(x),\epsilon )$ tâm tại $f\left(x\right)$ khi đó $\exists B(x,\sigma )$ tâm tại $x$ sao cho

$f\left(B\right(x,\sigma \left)\right)\subset B\left(f\right(x),\epsilon )$.

Tính chất

• Cho $(X,d)$ là không gian metric, $A$ là tập con của $X$ thì $f_A:X\to R$ với $f_A\left(x\right)=d\left(\right\{x\},A)$ là liên tục.

Liên tục Lipschitz

Cho hai không gian metric $(X,d_X)$ và $(Y,d_Y)$ với $d_X$ là metric trên $X$ và $d_Y$ là metric trên $Y$.

$f:X\to <!--\; \to \; -->Y$ được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số $K\ge <!--\; \ge \; -->0$ sao cho với mọi $x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->X$

$d_Y\left(f\right(x_1),f(x_2\left)\right)\le <!--\; \le \; -->K{d}_X(x_1,x_2)$

Ví dụ

Hàm f(x) = căn bậc hai của x^2 + 5 liên tục Lipchitz với K = 1.

Liên tục Holder.

Cho hai không gian metric (X, d_X) và (Y, d_Y) với d_X là metric trên X và d_Y là metric trên Y, với α là số thực.

f: X → Y là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 sao cho với mọi x₁, x₂ ∈ X.

d_Y(f(x₁), f(x₂)) ≤ K * (d_X(x₁, x₂))^α.

Ví dụ

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ là hàm liên tục Holder với $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}$, nhưng không phải là hàm liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy

Cho $X$ và $Y$ là hai không gian metric, $f$ là một hàm từ $X$ vào $Y$.

Hàm $f$ được gọi là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy $(x_1,x_2,...)$ trong không gian $X$, dãy $\left(f\right(x_1),f(x_2),...)$ là một dãy Cauchy trong không gian $Y$.

Mọi hàm liên tục đều liên tục Cauchy và hàm liên tục Cauchy là liên tục. Nếu $X$ là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên $X$ cũng liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực $R$ thì liên tục cũng là liên tục Cauchy.

Hàm $f\left(x\right)=0$ khi và $f\left(x\right)=1$ khi $x^2>2$ với mọi số hữu tỉ $x$. Hàm này liên tục trên $Q$ nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô

Trong nghiên cứu không gian Tô pô, chúng ta thấy nhiều định nghĩa về mối quan hệ giữa các không gian Tô pô và giữa các không gian con của chúng. Chúng ta quan tâm đến việc xem xét ánh xạ đưa một không gian Tô pô vào không gian Tô pô khác, tính liên tục là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian Tô pô, được mô tả sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa

Cho X và Y là hai không gian Tô pô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là liên tục tại điểm x nếu mọi tập mở V trong Y chứa f(x), thì có tập mở U của X chứa x sao cho f(U) chứa trong V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X.

Định lý

• Ánh xạ liên tục khi và chỉ khi ảnh ngược của tập mở là tập mở. Nói cách khác, ánh xạ f từ X đến Y là liên tục nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong Y, tập ngược f^{-1}(V) cũng là tập mở trong X.

Chứng minh

(⇒) Giả sử f từ X đến Y là liên tục. Cho U là tập mở trong Y. Với mọi x thuộc f^{-1}(U), do f liên tục tại x và U là lân cận mở của f(x), tồn tại mở V_x chứa x sao cho f^{-1}(U) = \cup_{x \in f^{-1}(U)} V_x. Do đó f^{-1}(U) là tập mở.

(⇐) Giả sử ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho x thuộc X, U là lân cận mở của f(x). Khi đó V = f^{-1}(U) là tập mở chứa x, và f(V) chứa trong U. Vậy f liên tục tại x.

Một số tính chất và mệnh đề

• Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
• Cho $...$ và $...$ là hai không gian tô pô và $...$ là cơ sở của tô pô trên $...$. Khi đó $...$ liên tục nếu và chỉ nếu $...$ là mở trong $...$ với mọi $...$.

Cho $...$ với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức $...$ là liên tục.

Giả sử $...$ là liên tục. Nếu dãy $...$ trong $...$ hội tụ về $...$ khi đó dãy $...$ trong $...$ hội tụ về $...$.

• Cho $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$ liên tục, nếu $X$ liên thông thì $f\left(X\right)$ liên thông.

Liên tục trong không gian tô pô compact

• Cho $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$ liên tục, nếu $X$ compact thì $f\left(X\right)$ compact.
• Cho $X$ compact và $f:X\to <!--\; \to \; -->R$ là liên tục, khi đó $f$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $X$, hay tồn tại $a,b\in <!--\; \in \; -->X$ sao cho $f\left(a\right)\le <!--\; \le \; -->f\left(x\right)\le <!--\; \le \; -->f\left(b\right)$ với mọi $x\in <!--\; \in \; -->X$.

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho không gian $X=\{a,b,c,d\}$ và không gian mục tiêu $Y=\{1,2,3\}$, trong đó $f,g,h:X\to <!--\; \to \; -->Y$ được xác định như sau:

$f\left(a\right)=1,f\left(b\right)=1,f\left(c\right)=2,f\left(d\right)=2$

$g\left(a\right)=2,g\left(b\right)=2,g\left(c\right)=1,g\left(d\right)=3$

$h\left(a\right)=1,h\left(b\right)=2,h\left(c\right)=2,h\left(d\right)=3$

Có liên tục $f,g$ và $h$ không liên tục.

Ví dụ 2: Xét $(a,b)$ với và $a,b\in <!--\; \in \; -->R$, có $B=\left\{\right(x,b)|x\in <!--\; \in \; -->(a,b\}$ và $B^{{}^{\prime }}=\left\{\right(a,y)|y\in <!--\; \in \; -->(a,b\left)\right\}$ là hai cơ sở. Ánh xạ

$f:z\to <!--\; \to \; -->b-<!--\; -\; -->z+a$ với $z\in <!--\; \in \; -->(a,x),x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$biến mỗi phần tử trong $B^{{}^{\prime }}$ thành một phần tử trong $B$ là ánh xạ ngược của ánh xạ

$g:z^{{}^{\prime }}\to <!--\; \to \; -->b-<!--\; -\; -->z^{{}^{\prime }}+a$ với $z\in <!--\; \in \; -->(a,x),x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ biến mỗi phần tử trong $B^{{}^{\prime }}$ thành một phần tử trong $B$ là ánh xạ ngược của ánh xạ

$h:z\to <!--\; \to \; -->b-<!--\; -\; -->z+a$ với $z\in <!--\; \in \; -->(a,x),x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ biến mỗi phần tử trong $B^{{}^{\prime }}$ thành một phần tử trong $B$ là ánh xạ ngược của ánh xạ