Hàm logarit

Trong toán học, logarit (tiếng Anh: logarithm) của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10. Nói chung, nếu x = b, thì y được gọi là logarit cơ số b của x và được ký hiệu là log_b x.

Logarit được John Napier giới thiệu lần đầu vào năm 1614 như một phương pháp để đơn giản hóa việc tính toán. Sau đó, nó nhanh chóng được nhiều nhà khoa học áp dụng để hỗ trợ tính toán, đặc biệt là trong các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông qua thước loga và bảng logarit. Các công cụ này dựa vào tính chất rằng logarit của một tích bằng tổng của các logarit của các thừa số:

${\log }_b<!--\; \; -->\left(xy\right)={\log }_b<!--\; \; -->x+{\log }_b<!--\; \; -->y.$

Khái niệm về logarit hiện tại được phát triển bởi Leonhard Euler, người đã kết nối nó với hàm mũ vào thế kỷ 18.

Logarit với cơ số 10 (b = 10) được gọi là logarit thập phân và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Logarit tự nhiên có cơ số là hằng số e (b ≈ 2,718) và thường được sử dụng trong toán học và vật lý, đặc biệt là trong vi tích phân. Logarit nhị phân với cơ số 2 (b = 2) rất phổ biến trong khoa học máy tính.

Thang đo logarit giúp chuyển đổi các đại lượng lớn thành các phạm vi nhỏ hơn. Ví dụ, decibel (dB) là đơn vị logarit dùng để đo áp suất âm thanh và tỷ lệ hiệu điện thế. Trong hóa học, pH là đơn vị logarit để đo độ axit hay kiềm của dung dịch nước. Logarit cũng thường xuất hiện trong các công thức khoa học, trong việc nghiên cứu độ phức tạp tính toán hay phân loại. Nó giúp mô tả tỷ lệ tần số của các quãng trong âm nhạc, xuất hiện trong các công thức đếm số nguyên tố, tính gần đúng giai thừa, nghiên cứu các mô hình trong vật lý học, và ứng dụng trong kế toán điều tra.

Tương tự như cách logarit đảo ngược phép lũy thừa, logarit phức là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức. Một dạng khác của logarit là logarit rời rạc, hàm ngược đa trị của hàm mũ trong nhóm hữu hạn, với ứng dụng trong mã hóa khóa công khai.

Cơ sở và định nghĩa

Phép cộng, phép nhân và phép lũy thừa là ba phép toán cơ bản trong số học. Phép toán ngược với phép cộng là phép trừ, còn phép toán ngược với phép nhân là phép chia. Tương tự, logarit là phép toán ngược của lũy thừa. Lũy thừa xảy ra khi một số b, gọi là cơ số, được nâng lên lũy thừa y, gọi là số mũ, để đạt được giá trị x, ký hiệu là

$b^y=x.$

Ví dụ, khi nâng số 2 lên lũy thừa 3, ta được 8, vì 8 là tích của ba số 2 nhân với nhau: 2 = 2 × 2 × 2 = 8. Phép lũy thừa có thể được mở rộng cho mọi số thực y.

Logarit với cơ số b chính là phép toán ngược, tìm giá trị y từ một số x đã cho. Cụ thể, y = log_b x tương đương với x = b với b là số thực dương. (Nếu b không phải là số thực dương, phép lũy thừa và logarit vẫn có thể được định nghĩa nhưng có thể cho kết quả khác, dẫn đến các định nghĩa phức tạp hơn.)

Một trong những lý do lịch sử cho sự phát triển của logarit là công thức

${\log }_b<!--\; \; -->\left(xy\right)={\log }_b<!--\; \; -->x+{\log }_b<!--\; \; -->y,$

Điều này cho phép chuyển đổi các phép nhân và chia thành phép cộng và trừ, đồng thời giúp việc tra cứu bảng số logarit (trước khi máy tính ra đời) trở nên thuận tiện hơn.

Khái niệm

Logarit với cơ số b của một số thực dương x là số mũ mà b cần phải được nâng lên để đạt được x. Nói cách khác, logarit cơ số b của x chính là nghiệm y của phương trình

$b^y=x$

và được ký hiệu là log_b x. Để logarit có giá trị xác định, cơ số b cần phải là một số thực dương khác 1, và x phải là một số dương.

Ví dụ

Chẳng hạn, log₂ 16 = 4 vì 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Logarit cũng có thể mang giá trị âm:

${\log }_2\frac{1}{2}=-<!--\; -\; -->1$ vì $2^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}.$

Ví dụ khác: log₁₀150 gần bằng 2,176, nằm giữa 2 và 3, tương tự như việc 150 nằm giữa 10 = 100 và 10 = 1000. Cuối cùng, với mọi cơ số b, ta có log_b b = 1 và log_b 1 = 0 vì b = b và b = 1.

Các định lý logarit cơ bản

Dưới đây là các công thức quan trọng, được gọi là định lý logarit, mô tả sự liên kết giữa các logarit.

Tích, thương, lũy thừa và căn bậc

Logarit của một tích tương đương với tổng của các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số bằng hiệu của logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa p là p lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc p là logarit của số đó chia cho p. Bảng dưới đây tổng hợp các phép toán logarit cơ bản cùng với ví dụ cụ thể.

Chuyển đổi cơ số

Logarit log_bx có thể được tính từ logarit của số trung gian k đối với x và b theo công thức sau:

${\log }_b<!--\; \; -->x=\frac{{\log }_k<!--\; \; -->x}{{\log }_k<!--\; \; -->b}.$

Các máy tính cầm tay phổ biến thường tính toán logarit cơ số 10 và e. Để tính logarit cơ số b, bạn có thể sử dụng một trong hai logarit này theo công thức sau:

${\log }_b<!--\; \; -->x=\frac{{\log }_{10}<!--\; \; -->x}{{\log }_{10}<!--\; \; -->b}=\frac{{\log }_e<!--\; \; -->x}{{\log }_e<!--\; \; -->b}.$

Để tìm cơ số b của logarit khi biết số x và logarit cơ số b của nó log_bx với b chưa xác định, ta có thể tính b bằng

$b=x^{\frac{1}{{\log }_b<!--\; \; -->x}},$

Bằng cách nâng biểu thức $x=b^{{\log }_b<!--\; \; -->x}$ lên số mũ $\frac{1}{{\log }_b<!--\; \; -->x}.$

Các cơ số nổi bật

Có ba cơ số đặc biệt trong các giá trị cơ số b. Chúng bao gồm b = 10, b = e (hằng số vô tỉ khoảng 2,71828) và b = 2. Trong toán học giải tích, logarit với cơ số e là phổ biến nhất nhờ vào các tính chất đặc biệt của nó. Trong khi đó, logarit cơ số 10 được tính toán dễ dàng trong hệ thập phân:

${\log }_{10}<!--\; \; -->\left(10x\right)={\log }_{10}<!--\; \; -->10+{\log }_{10}<!--\; \; -->x=1+{\log }_{10}<!--\; \; -->x.$

Do đó, log₁₀x liên quan đến số chữ số của một số nguyên dương x: đây là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn log₁₀x. Ví dụ, log₁₀1430 xấp xỉ 3,15. Số nguyên tiếp theo là 4, và đó chính là số chữ số trong 1430. Logarit cơ số e và cơ số 2 thường được sử dụng trong lý thuyết thông tin, liên quan đến hai đơn vị cơ bản là nat và bit. Logarit cơ số 2 cũng phổ biến trong khoa học máy tính (hệ nhị phân), lý thuyết âm nhạc (quãng tám, đơn vị cent), và nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.

Bảng dưới đây trình bày các ký hiệu logarit phổ biến và ứng dụng của chúng. Một số tài liệu sử dụng logx thay vì log_bx khi cơ số của logarit được xác định theo ngữ cảnh. Cột 'Ký hiệu ISO' liệt kê các ký hiệu được Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế (ISO 80000-2) khuyến nghị.

Lịch sử

Trước khi xuất hiện logarit

Từ thế kỷ 3 TCN, trong tác phẩm Người đếm cát, Archimedes đã giới thiệu khái niệm về 'bậc' của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số 10 = 100.000.000. Ông cũng đề cập đến quy tắc nhân hai số bằng cách cộng 'bậc' của chúng. Nguyên lý này sau đó đã dẫn đến sự phát triển khái niệm logarit. Khoảng 1000 năm sau, Virasena, một nhà toán học Kỳ Na người Ấn Độ, đã phát triển khái niệm ardhacheda: số lần một số có thể chia hết cho 2, tương đương với giá trị nguyên của logarit cơ số 2. Đối với các số khác, giá trị này không tương ứng với logarit của chúng. Ông cũng phát hiện và giới thiệu hai khái niệm tương tự là trakacheda (cơ số 3) và caturthacheda (cơ số 4). Năm 1544, Michael Stifel xuất bản cuốn Arithmetica Integra, chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2, mà khi đảo ngược các hàng lại thì giống như bảng logarit ban đầu. Vào thế kỷ 16–17, kỹ thuật prosthaphaeresis (tạm dịch: thuật nhân và chia số qua các công thức lượng giác) ra đời và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng qua các đẳng thức lượng giác.

Từ Napier đến Euler

Khái niệm logarit được John Napier công bố lần đầu vào năm 1614 trong cuốn sách có tên Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Napier đã tưởng tượng hai điểm chuyển động: điểm thứ nhất P di chuyển đến cuối đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, trong khi điểm thứ hai L di chuyển đều trên một nửa đường thẳng vô hạn. Ông liên hệ khoảng cách giữa P với điểm cuối của đoạn thẳng và giữa L với điểm đầu của nửa đường thẳng để đưa ra định nghĩa về logarit. Phát hiện này nhanh chóng được công nhận và lan rộng đến nhiều quốc gia khác, bao gồm Trung Quốc và một số nước châu Âu trong những năm sau đó. Jost Bürgi cũng phát hiện logarit độc lập nhưng công trình của ông được xuất bản sáu năm sau Napier. Từ logarithmorum của Napier trong tiếng Latinh có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, với λόγος (logos) có nghĩa là 'tỉ số' và ἀριθμός (arithmos) có nghĩa là 'số'.

Năm 1647, Grégoire de Saint-Vincent, một tu sĩ Dòng Tên người Bỉ sống tại Prague, xuất bản một công trình liên kết logarit với diện tích của một hyperbol. Ông chỉ ra rằng diện tích f(t) giới hạn bởi hyperbol từ x = 1 đến x = t thỏa mãn

$f\left(tu\right)=f\left(t\right)+f\left(u\right).$

Alphonse Antonio de Sarasa, một học trò và đồng nghiệp của ông, đã liên hệ tính chất này với logarit, dẫn đến khái niệm logarit hyperbol, tương đương với logarit tự nhiên. Logarit tự nhiên lần đầu tiên được mô tả trong cuốn Logarithmotechnia của Nicholas Mercator vào năm 1668. Khoảng năm 1730, Leonhard Euler đã định nghĩa hàm mũ và hàm logarit tự nhiên bằng

Euler cũng chứng minh rằng hai hàm số này là hai hàm số ngược của nhau. Cũng trong thời gian này, ông đã ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên bằng chữ e lần đầu tiên.

Trong chương 6, tập I của bộ Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler đã đề xuất một cách tiếp cận gần gũi với khái niệm logarit hiện nay. Ông nhận thấy hàm mũ y = a với a là một số thực dương không thay đổi không phải là một hàm số đại số, mà là một hàm số siêu việt; đồng thời, nó cũng là hàm số tăng khi a > 1. Mỗi số a sẽ tương ứng với một hàm ngược gọi là logarit cơ số a: z = log_ay.

Bảng logarit, thước loga và ứng dụng lịch sử

Trước khi có máy tính, logarit đã giúp đơn giản hóa các phép toán phức tạp và đóng góp to lớn vào sự phát triển của khoa học, đặc biệt là trong thiên văn học. Nó cũng hỗ trợ tiến bộ trong khảo sát xây dựng, hàng hải thiên văn và nhiều lĩnh vực khác. Pierre-Simon Laplace đã ca ngợi logarit vì

'...[một] công cụ tuyệt vời có thể rút ngắn thời gian làm việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó làm tăng gấp đôi tuổi thọ của nhà thiên văn, và loại bỏ những lỗi và sự chán nản không thể tránh khỏi trong các phép toán dài.'

Bảng logarit là một công cụ quan trọng giúp ứng dụng logarit vào thực tế. Bảng logarit đầu tiên được Henry Briggs biên soạn vào năm 1617 ngay sau khi Napier phát minh ra chúng, sau đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác cao hơn. Các bảng này liệt kê giá trị của log_bx và b cho mỗi số x trong một khoảng nhất định với độ chính xác cụ thể theo một cơ số b (thường là cơ số 10). Ví dụ, bảng đầu tiên của Briggs chứa logarit thập phân của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàm f(x) = b là hàm ngược của log_b x, nó còn được gọi là antilogarit. Tích và thương của hai số dương c và d thường được tính bằng tổng và hiệu của các logarit của chúng. Tích cd hoặc thương c/d được tìm bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu qua bảng logarit.

$cd=b^{{\log }_b<!--\; \; -->c}\cdot <!--\; \cdot \; -->b^{{\log }_b<!--\; \; -->d}=b^{{\log }_b<!--\; \; -->c+{\log }_b<!--\; \; -->d}$

và

$\frac{c}{d}=c{d}^{-<!--\; -\; -->1}=b^{{\log }_b<!--\; \; -->c-<!--\; -\; -->{\log }_b<!--\; \; -->d}.$

Đối với các phép toán yêu cầu độ chính xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hoặc hiệu của chúng rồi tìm antilogarit nhanh hơn nhiều so với việc sử dụng các công cụ cũ như prosthaphaeresis, vốn dựa vào các đẳng thức lượng giác. Phép tính lũy thừa và căn được chuyển thành phép nhân hoặc chia và tra cứu theo công thức

$c^d={(\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>b^{{\log }_b<!--\; \; -->c})}^d=b^{d{\log }_b<!--\; \; -->c}$

và

Nhiều bảng số còn liệt kê giá trị logarit bằng cách chỉ rõ phần đặc số và phần định trị của x, tức là phần nguyên và phần thập phân của log₁₀ x. Đặc số của 10 · x bằng 1 cộng với đặc số của x, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này giúp mở rộng khả năng của bảng logarit: với bảng liệt kê giá trị của log₁₀ x cho mọi số nguyên x từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 có thể được ước lượng gần đúng bằng

${\log }_{10}<!--\; \; -->3542={\log }_{10}<!--\; \; -->(10\cdot <!--\; \cdot \; -->354,2)=1+{\log }_{10}<!--\; \; -->354,2\approx <!--\; \approx \; -->1+{\log }_{10}<!--\; \; -->354.$

Một ứng dụng quan trọng khác của logarit là thước loga, một cặp thước chia độ theo logarit được sử dụng trong các phép tính, như được minh họa trong hình dưới đây:

Tiền thân của thước loga là thước Gunter, được phát minh ngay sau khi Napier công bố phương pháp của mình. William Oughtred đã phát triển nó thành thước loga, một cặp thước logarit có thể trượt qua lại. Các số được đánh dấu trên thước với khoảng cách tỷ lệ thuận với sự khác biệt của các logarit tương ứng. Khi trượt thước trên, ta thực hiện phép cộng các logarit cơ học. Ví dụ, cộng khoảng cách từ 1 đến 2 trên thước dưới với khoảng cách từ 1 đến 3 trên thước trên cho kết quả là 6, và giá trị này được đọc từ thước dưới. Thước loga từng là công cụ tính toán quan trọng của các nhà khoa học cho đến những năm 1970 vì nó cho phép tính toán nhanh hơn nhiều so với việc tra bảng số.

Tính chất trong phân tích

Khái niệm logarit đã được nghiên cứu sâu hơn qua hàm số. Hàm số là quy tắc ánh xạ một số bất kỳ sang một số duy nhất. Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc x của b với bất kỳ số thực x nào và cơ số b được viết là $f\left(x\right)=b^x.$

Hàm số logarit

Để làm rõ định nghĩa logarit, ta cần chứng minh rằng phương trình

$b^x=y$

có một nghiệm duy nhất x khi y và b là số dương và b khác 1. Để chứng minh điều này, chúng ta cần áp dụng định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp. Theo định lý này, một hàm số liên tục sẽ cho tất cả các giá trị nằm giữa hai giá trị cho trước. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể vẽ liên tục trên mặt phẳng tọa độ mà không cần rời bút.

Điều này có thể được chứng minh bằng hàm số f(x) = b. Vì hàm f có thể nhận giá trị dương tùy ý, mỗi số y > 0 đều nằm giữa các giá trị f(x₀) và f(x₁) với các x₀ và x₁ phù hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình f(x) = y có nghiệm duy nhất. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số f là hàm số tăng nếu b > 1 và là hàm số giảm nếu 0 < b < 1.

Nghiệm x chính là logarit cơ số b của y, được ký hiệu là log_by. Hàm số gán giá trị logarit cho y được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit y = log_b x xác định trên tập hợp các số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn f(b) = 1 và f(uv) = f(u) + f(v).

Hàm nghịch đảo

Công thức logarit cho một lũy thừa chỉ ra rằng với bất kỳ số x nào,

${\log }_b<!--\; \; -->\left(b^x\right)=x{\log }_b<!--\; \; -->b=x.$

Khi lấy lũy thừa bậc x của b rồi áp dụng logarit cơ số b, chúng ta thu lại được x. Ngược lại, với bất kỳ số dương y, biểu thức

$b^{{\log }_b<!--\; \; -->y}=y$

Điều này chứng minh rằng khi ta thực hiện phép logarit rồi lũy thừa, kết quả sẽ trở về giá trị y. Vì vậy, thực hiện cả hai phép toán lũy thừa và logarit với cùng một số sẽ cho kết quả là số ban đầu. Do đó, hàm logarit cơ số b chính là hàm nghịch đảo của f(x) = b.

Hàm nghịch đảo có sự kết nối chặt chẽ với hàm số gốc. Đồ thị của chúng phản xạ qua đường thẳng x = y như trong hình bên phải: một điểm (t, u = b) trên đồ thị của f(x) tương ứng với điểm (u, t = log_bu) trên đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Vì vậy, khi log_b(x) phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) khi x tiến đến vô hạn với b lớn hơn 1, hàm số này là tăng. Ngược lại, khi b < 1, hàm số log_b(x) dần về âm vô hạn. Khi x gần 0, giới hạn của log_bx là âm vô hạn nếu b > 1 và là dương vô hạn nếu b < 1.

Đạo hàm và tích phân

Các tính chất giải tích của hàm số cũng áp dụng cho hàm nghịch đảo của chúng. Hàm số f(x) = b là liên tục và có thể đạo hàm, và log_by cũng tương tự. Một hàm số được gọi là khả vi nếu đồ thị của nó không bị 'gãy' ở bất kỳ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của f(x) là ln(b)b theo định nghĩa của hàm mũ, đạo hàm của log_bx sẽ được tính bằng

Điều này có nghĩa rằng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (x, log_b(x)) trên đồ thị của hàm logarit cơ số b là 1/(x ln(b)). Đặc biệt, đạo hàm của ln(x) là 1/x, nghĩa là nguyên hàm của 1/x là ln(x) + C. Đạo hàm của hàm tổng quát f(x) được tính bằng

Tỉ số trên bên phải được gọi là đạo hàm logarit của f(x). Việc tính đạo hàm của ln(f(x)) bằng cách sử dụng đạo hàm của f là quá trình gọi là vi phân logarit. Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên ln(x) là:

$\int <!--\; \int \; -->\ln <!--\; \; -->\left(x\right)dx=x\ln <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->x+C.$

Từ phương trình này, chúng ta có thể rút ra các công thức khác, chẳng hạn như nguyên hàm của logarit với cơ số khác thông qua phép đổi cơ số.

Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên của t được tính bằng tích phân của 1/x dx từ 1 đến t:

Nói cách khác, ln(t) biểu thị diện tích dưới đường cong của hàm số 1/x, từ x = 1 đến x = t (như hình vẽ bên phải). Đây là hệ quả của định lý cơ bản trong giải tích và đạo hàm của ln(x) là 1/x. Phương trình này giúp hiểu khái niệm về logarit tự nhiên. Từ đây, chúng ta có thể suy ra các công thức logarit của tích và lũy thừa. Ví dụ, công thức cho tích là ln(tu) = ln(t) + ln(u) vì

Đẳng thức (1) cho thấy cách phân chia tích phân thành hai phần, trong khi đẳng thức (2) là kết quả của việc đổi biến số (w = x/t). Nhìn vào hình dưới, việc tách tích phân này tương ứng với việc chia vùng màu vàng và màu xanh. Khi thay đổi kích thước phần hình màu xanh bên trái theo tỷ lệ của biến t và thu nhỏ nó theo chiều ngang, diện tích của nó không bị thay đổi. Di chuyển phần hình màu xanh sao cho nó trùng khớp với đồ thị của hàm số f(x) = 1/x cho thấy tích phân từ t đến tu chính bằng tích phân từ 1 đến u. Điều này giải thích một cách trực quan cho đẳng thức (2).

Tương tự, chúng ta có công thức lũy thừa cho hàm logarit: ln(t) = r ln(t)

$\ln <!--\; \; -->\left(t^r\right)={\int <!--\; \int \; -->}_1^{t^r}\frac{1}{x}dx={\int <!--\; \int \; -->}_1^t\frac{1}{w^r}\left(r{w}^{r-<!--\; -\; -->1}dw\right)=r{\int <!--\; \int \; -->}_1^t\frac{1}{w}dw=r\ln <!--\; \; -->\left(t\right).$

Sự biến đổi thứ hai liên quan đến việc đổi biến số từ w = x.

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên được biểu diễn như sau:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k},$

Đây là chuỗi điều hòa, liên quan đến logarit tự nhiên: khi n trở nên rất lớn, hiệu quả sẽ

hội tụ đến một giá trị cụ thể, gọi là hằng số Euler–Mascheroni γ = 0,5772.... Sự liên hệ này rất quan trọng trong phân tích các thuật toán, như sắp xếp nhanh.

Hơn nữa, ln(x) còn có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân, dựa trên tích phân Frullani với f(x) = e và a = 1, được sử dụng trong vật lý và nhiều tình huống khác:

Khái niệm siêu việt

Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt. Ví dụ điển hình của số siêu việt là π và e, trong khi số $\sqrt{2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}$ không phải là số siêu việt. Hầu hết các số thực đều là siêu việt. Một ví dụ điển hình của hàm số siêu việt là logarit, và định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng giá trị của logarit thường là siêu việt.

Các phương pháp tính toán

Logarit có thể được tính toán một cách dễ dàng trong một số trường hợp, ví dụ như log₁₀(1000) = 3. Trong tổng quát, logarit có thể tính bằng chuỗi lũy thừa, trung bình hình học–đại số, hoặc tra cứu trong bảng số logarit đã được tính toán sẵn với độ chính xác nhất định. Phương pháp Newton, một kỹ thuật lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit nhờ vào hàm ngược của nó (hàm mũ) có thể tính toán hiệu quả. Các phương pháp như CORDIC có thể tính toán logarit chỉ bằng phép cộng và dịch bit thông qua bảng số. Thêm vào đó, thuật toán logarit nhị phân tính lb(x) một cách đệ quy dựa trên phép bình phương lặp lại của x và áp dụng biểu thức

${\log }_2<!--\; \; -->\left(x^2\right)=2{\log }_2<!--\; \; -->|x|.$

Chuỗi lũy thừa

Đối với mỗi số thực z trong khoảng 0 < z ≤ 2, ta có:

Nói một cách ngắn gọn, ln(z) có thể được tính gần đúng theo dãy biểu thức

Chẳng hạn, khi z = 1,5, kết quả của biểu thức thứ ba là 0,4167, lớn hơn khoảng 0,011 so với ln(1,5) = 0,405465. Chuỗi này cung cấp một ước lượng cho ln(z) với độ chính xác tùy ý, chỉ cần số hạng đủ lớn. Trong giải tích sơ cấp, ln(z) được gọi là giới hạn của chuỗi. Nó chính là chuỗi Taylor của logarit tự nhiên tại z = 1. Đặc biệt, nếu thay z = 1 + x, chuỗi trên sẽ được viết lại dưới dạng chuỗi Mercator.

$\ln <!--\; \; -->(1+x)=\frac{x^1}{1}-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-<!--\; -\; -->\frac{x^4}{4}+\cdots <!--\; \cdots \; -->,$

với −1 < x ≤ 1. Chuỗi này được phát hiện độc lập bởi Isaac Newton và Nicholas Mercator, và lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm Logarithmotechnia của Mercator vào năm 1668. Ví dụ, khi x = 0,1, xấp xỉ bậc nhất của chuỗi cho kết quả là 0,1 với sai số dưới 5% so với giá trị chính xác là ln(1,1) = 0,0953. Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor của ln(1 + x) và ln(1 − x) (bằng cách thay x bằng −x trong chuỗi Mercator), chúng ta có thể suy luận được

$\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+x}{1-<!--\; -\; -->x}\right)=2\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2k+1}\cdot <!--\; \cdot \; -->x^{2k+1}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)$

với −1 < x < 1. Chuỗi này được phát hiện bởi James Gregory vào năm 1668 và có thể được sử dụng để tính logarit tự nhiên của bất kỳ số dương nào.

Một chuỗi khác dựa trên hàm hyperbolic ngược là:

$\ln <!--\; \; -->\left(z\right)=2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{artanh}\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z+1}=2\left(\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z+1}\right)}^5+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right),$

đối với mỗi giá trị thực z > 0. Sử dụng ký hiệu sigma, chuỗi này có thể được biểu diễn lại như sau

$\ln <!--\; \; -->\left(z\right)=2\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z+1}\right)}^{2k+1}.$

Chuỗi trên được suy ra từ chuỗi Taylor của $\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+x}{1-<!--\; -\; -->x}\right)$ bằng cách đặt $x=\frac{z-<!--\; -\; -->1}{z+1}$. Nó hội tụ nhanh chóng hơn so với chuỗi Taylor, đặc biệt khi z gần bằng 1. Ví dụ, với z = 1,5, ba hạng tử đầu tiên của chuỗi cho kết quả gần đúng ln(1,5) với sai số xấp xỉ 3 × 10. Tính chất hội tụ nhanh này khi z gần 1 có thể được khai thác bằng cách sử dụng một xấp xỉ y ≈ ln(z) với độ chính xác thấp và sau đó áp dụng

$A=\frac{z}{\exp <!--\; \; -->\left(y\right)},$

logarit tự nhiên của z là:

$\ln <!--\; \; -->\left(z\right)=y+\ln <!--\; \; -->\left(A\right).$

Khi giá trị y càng chính xác, thì giá trị A càng gần 1, từ đó cho phép tính logarit một cách hiệu quả. Giá trị A có thể được tính bằng chuỗi lũy thừa, mà hội tụ nhanh chóng khi y không quá lớn. Để tính logarit của một số lớn z, có thể chuyển đổi vấn đề thành tính logarit của các số nhỏ hơn bằng cách viết z = a · 10, dẫn đến ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Một phương pháp khác có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của bất kỳ số nguyên dương nào. Khi thay vào chuỗi trên, ta có

Khi đã biết logarit tự nhiên của một số nguyên lớn n, chuỗi này hội tụ rất nhanh với tốc độ là .

Trung bình hình học–đại số

Phương pháp dựa trên trung bình hình học–đại số cho phép tính gần đúng logarit tự nhiên với độ chính xác rất cao. Theo Sasaki & Kanda (1982)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSasakiKanda1982 (trợ giúp), phương pháp này có tốc độ tính toán rất nhanh với độ chính xác từ 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp chuỗi Taylor thường nhanh hơn nếu không yêu cầu độ chính xác quá cao. Trong bài báo được trích dẫn, ln(x) được ước lượng với sai số 2 theo công thức sau (bởi Carl Friedrich Gauss):

$\ln <!--\; \; -->\left(x\right)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2M(1,2^{2-<!--\; -\; -->m}/x)}-<!--\; -\; -->m\ln <!--\; \; -->\left(2\right).$

Trong công thức này, M(x,y) là trung bình hình học–đại số của x và y, được tính bằng cách lặp đi lặp lại các phép tính $(x+y)/2$ (trung bình cộng) và $\sqrt{xy}$ (trung bình nhân) và sử dụng các kết quả này làm giá trị mới của x và y. Hai số này nhanh chóng hội tụ về một giới hạn, và giá trị đó chính là M(x,y). Giá trị m được lựa chọn sao cho

$x{2}^m>2^{p/2}$

Để đạt độ chính xác tối ưu, khi m lớn hơn, phép tính M(x,y) sẽ yêu cầu nhiều bước hơn nhưng cho kết quả chính xác hơn. Các hằng số π và ln(2) có thể được tính toán nhanh bằng các chuỗi hội tụ.

Thuật toán của Feynman

Theo Danny Hillis, một cộng sự của Richard Feynman, trong thời gian làm việc tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos cho Dự án Manhattan, Feynman đã phát triển một thuật toán tương tự như phép chia số lớn. Thuật toán này sau đó được áp dụng trên các máy tính song song (Connection Machine). Nó dựa trên nguyên tắc rằng mọi số thực có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số khác nhau như $1+2^{-<!--\; -\; -->k}$ với $k$ là số nguyên. Thuật toán sẽ liên tục nhân tích $P$ đó lại: nếu thì thuật toán sẽ thay $P$ bằng $P\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+2^{-<!--\; -\; -->k})$, và tăng giá trị $k$ lên 1 đơn vị dù đúng hay sai. Thuật toán sẽ kết thúc khi $k$ đủ lớn để đạt độ chính xác yêu cầu. Bởi vì $\log <!--\; \; -->\left(x\right)$ là tổng của các số hạng kiểu $\log <!--\; \; -->(1+2^{-<!--\; -\; -->k})$ ứng với giá trị $k$ để thừa số $1+2^{-<!--\; -\; -->k}$ thuộc tích $P$ nên $\log <!--\; \; -->\left(x\right)$ sẽ là tổng của tất cả các số hạng $\log <!--\; \; -->(1+2^{-<!--\; -\; -->k})$.

Khi kết thúc, giá trị $P$ là giá trị gần đúng của $x$, và $\log <!--\; \; -->\left(x\right)$ sẽ được tính từ giá trị của $P$ bằng cách lấy giá trị logarit của $P$.

Logarit không chỉ quan trọng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Ví dụ, các buồng trong vỏ ốc anh vũ đều giảm kích thước theo một tỷ lệ nhất định, tạo thành một dạng xoắn ốc logarit. Luật Benford, liên quan đến tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên, cũng có thể được giải thích thông qua tỷ lệ bất biến. Logarit còn liên quan đến tính chất tự đồng dạng; chẳng hạn, khi chia một vấn đề lớn thành các vấn đề nhỏ tương tự và gộp kết quả lại, logarit đóng vai trò quan trọng. Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, nơi mỗi phần đều giống như toàn thể hình, cũng được xác định nhờ logarit. Đặc biệt, vì hàm số logarit log(x) tăng rất chậm khi x lớn, logarit giúp 'nén' dữ liệu khoa học quy mô lớn. Nhiều phương trình khoa học như phương trình Tsiolkovsky, Fenske hay Fernst cũng sử dụng logarit.

Thang đo logarit

Trong khoa học, nhiều đại lượng được thể hiện dưới dạng logarit của các giá trị khác qua thang đo logarit. Ví dụ, đơn vị decibel sử dụng logarit thập phân để đo lường; nó thể hiện 10 lần logarit thập phân của tỷ lệ công suất hoặc 20 lần logarit thập phân của tỷ lệ hiệu điện thế. Decibel được dùng để đo sự hao hụt điện áp trong truyền tải tín hiệu, độ lớn âm thanh trong âm học và khả năng hấp thụ ánh sáng trong quang học. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu, đo lường sự khác biệt giữa âm thanh không mong muốn và tín hiệu, cũng sử dụng đơn vị decibel. Tương tự, tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và nén ảnh thông qua logarit.

Độ lớn của một trận động đất được đo bằng logarit thập phân của năng lượng sinh ra, qua thang độ lớn mô men hoặc thang Richter. Ví dụ, một trận động đất có độ lớn 5,0 giải phóng năng lượng gấp 32 lần (10), trong khi trận động đất 6,0 giải phóng năng lượng gấp 1000 lần (10) so với trận động đất 4,0. Cấp sao biểu kiến, một thang đo logarit phổ biến khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao. Trong hóa học, pH là logarit thập phân của hoạt độ ion hydroni H₃O trong dung dịch. Hoạt độ của ion hydroni trong nước cất là 10 mol·L, nên pH của nước cất là 7. Giấm có pH khoảng 3. Sự chênh lệch 4 đơn vị tương đương với tỷ lệ hoạt độ của H₃O trong một chất lớn hơn so với chất khác 10 lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10 mol·L.

Đồ thị bán logarit (logarit-tuyến tính) cho phép chúng ta trực quan hóa sự thay đổi theo cách đặc biệt: một trục (thường là trục tung) được chia theo tỷ lệ logarit. Ví dụ, đồ thị ở bên phải thể hiện sự thu hẹp của mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ sao cho nó có cùng độ dài (trên trục tung) như mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Trong các loại đồ thị này, các hàm mũ dạng f(x) = a · b sẽ trở thành các đường thẳng, với hệ số góc tương ứng với logarit của b. Đối với đồ thị logarit, khi cả hai trục được chia theo logarit, hàm mũ dạng f(x) = a · x sẽ là một đường thẳng với hệ số góc bằng số mũ k. Điều này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các quy tắc lũy thừa.

Tâm lý học

Logarit có mặt trong nhiều quy luật liên quan đến cách con người cảm nhận thế giới. Định luật Hick cho thấy mối liên hệ logarit giữa thời gian cần để lựa chọn một phương án và số lượng lựa chọn. Định luật Fitts dự đoán rằng thời gian cần thiết để di chuyển nhanh đến một mục tiêu là một hàm logarit của khoảng cách đến mục tiêu và kích thước của nó. Trong tâm lý học, định luật Weber–Fechner mô tả mối liên hệ logarit giữa kích thích và cảm giác, chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật. (Tuy nhiên, định luật này đã trở nên ít được sử dụng hơn so với các mô hình mới hơn như định luật lũy thừa của Stevens.)

Nghiên cứu tâm lý học cho thấy những người ít học toán thường ước lượng các giá trị theo logarit, tức là họ đánh giá các số trên một trục không được đánh dấu theo cách sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo nhiều hơn, họ có xu hướng ước lượng tuyến tính hơn (ví dụ, 1000 xa hơn 10 lần), nhưng logarit vẫn được dùng để ước lượng khi các số quá lớn.

Lý thuyết xác suất và thống kê

Logarit có vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất: theo định lý số lớn, khi số lần tung đồng tiền hai mặt tiến về vô cực, tỷ lệ xuất hiện mặt ngửa sẽ tiệm cận một nửa. Sự biến động của tỷ lệ này có thể được giải thích bằng luật logarit lặp.

Logarit cũng xuất hiện trong phân phối loga chuẩn. Khi logarit của một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn, biến đó có phân phối loga chuẩn. Phân phối loga chuẩn thường thấy trong các lĩnh vực khác nhau khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.

Logarit được áp dụng trong phương pháp hợp lý cực đại của các mô hình thống kê tham số. Đối với một mô hình như vậy, hàm khả năng phụ thuộc vào ít nhất một tham số cần được tối ưu hóa. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng đạt được tại giá trị tham số tương ứng với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ('logarit hợp lý'), vì logarit là hàm số tăng. Tìm giá trị lớn nhất của logarit hợp lý thường dễ hơn, đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến độc lập ngẫu nhiên.

Luật Benford giải thích cách các chữ số xuất hiện trong nhiều loại dữ liệu, chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này, xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong tập hợp là d (từ 1 đến 9) được tính bằng log₁₀(d + 1) − log₁₀(d), không phụ thuộc vào đơn vị đo. Do đó, khoảng 30% dữ liệu bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2, và như vậy. Các kiểm toán viên thường dùng luật Benford để phát hiện hành vi gian lận trong kế toán.

Độ phức tạp tính toán

Phân tích thuật toán là một lĩnh vực trong khoa học máy tính tập trung vào cách hoạt động của các thuật toán (chương trình máy tính giải quyết vấn đề cụ thể). Logarit giúp mô tả các thuật toán chia nhỏ vấn đề thành nhiều phần nhỏ hơn và sau đó kết hợp các kết quả lại với nhau.

Ví dụ, để tìm một số trong một mảng đã được sắp xếp, thuật toán tìm kiếm nhị phân kiểm tra phần tử giữa mảng và sau đó kiểm tra nửa mảng nằm trước hoặc sau phần tử đó nếu không tìm thấy số. Thuật toán này yêu cầu trung bình log₂(N) bước so sánh, với N là số phần tử của mảng. Tương tự, thuật toán sắp xếp trộn chia mảng thành hai phần nhỏ hơn, sắp xếp từng phần và sau đó gộp kết quả lại. Thời gian tính toán của thuật toán sắp xếp trộn thường tỉ lệ với N · log(N). Cơ số của logarit không quan trọng, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số khi sử dụng cơ số khác. Trong phân tích thuật toán theo mô hình chi phí tiêu chuẩn, hằng số này không được quan tâm.

Một hàm số f(x) được gọi là hàm số tăng logarit nếu f(x) tỉ lệ thuận với logarit của x. (Lưu ý rằng trong một số tài liệu sinh học, thuật ngữ này cũng được dùng cho hàm mũ khi thảo luận về sự sinh trưởng của sinh vật.) Ví dụ, bất kỳ số tự nhiên N nào cũng có thể được biểu diễn bằng nhị phân với không quá log₂(N) + 1 bit. Điều này có nghĩa là lượng bộ nhớ cần thiết để lưu trữ N tăng theo logarit của N.

Entropy và sự hỗn loạn

Entropy là thước đo mức độ hỗn loạn của một hệ thống. Trong cơ học thống kê, entropy S của một hệ vật lý được xác định bằng công thức

$S=-<!--\; -\; -->k\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_i\ln <!--\; \; -->\left(p_i\right).$

Tổng này được tính trên tất cả các trạng thái i của hệ, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong một bình, với p_i là xác suất hệ ở trạng thái i và k là hằng số Boltzmann. Tương tự, entropy thông tin đo lường mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu một người nhận một thông điệp và có thể nhận bất kỳ trong số N thông điệp với khả năng giống nhau, thì lượng thông tin của một thông điệp như vậy là log₂(N) bit.

Lũy thừa Lyapunov dùng logarit để đo lường mức độ hỗn loạn trong một hệ thống động lực học. Ví dụ, khi một hạt di chuyển trên bàn bida, chỉ cần thay đổi nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của hạt. Những hệ thống như vậy được xem là hỗn loạn tất định, vì sự thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu có thể dẫn đến kết quả rất khác nhau. Ít nhất một lũy thừa Lyapunov trong hệ thống hỗn loạn tất định sẽ có giá trị dương.

Phân dạng

Logarit được sử dụng trong việc xác định số chiều phân dạng. Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc tự đồng dạng: mỗi phần nhỏ hơn trông giống như toàn bộ hình. Tam giác Sierpinski (hình bên) được tạo thành từ ba bản sao của chính nó, mỗi bản sao có cạnh bằng một nửa cạnh của hình ban đầu. Do đó, số chiều Hausdorff của cấu trúc này là ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit là việc đếm số lượng hình vuông đơn vị cần thiết để bao phủ hoàn toàn bề mặt phân dạng.

Âm nhạc

Logarit liên quan đến cung và quãng trong âm nhạc. Trong hệ thống âm tự nhiên, tỷ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào khoảng cách quãng giữa hai nốt, không phụ thuộc vào tần số hay cao độ của từng nốt cụ thể. Ví dụ, nốt A có tần số 440 Hz và nốt B♭ có tần số 466 Hz. Quãng giữa nốt A và B♭ là nửa cung, giống như quãng giữa nốt B♭ và nốt B (tần số 493 Hz), vì tỷ lệ tần số của hai quãng này gần bằng nhau:

Vì vậy, logarit có thể dùng để mô tả các quãng: quãng được đo bằng nửa cung qua logarit cơ số 2 của tỷ lệ tần số, trong khi logarit cơ số 2 của tỷ lệ này đo quãng theo cent, bằng một phần trăm so với nửa cung.

Lý thuyết số

Logarit tự nhiên có mối liên hệ chặt chẽ với việc đếm các số nguyên tố (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ đề quan trọng trong lý thuyết số. Với mỗi số nguyên x, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x được ký hiệu là π(x). Theo định lý số nguyên tố, giá trị gần đúng của π(x) được xác định bởi công thức

Ở đây, 'gần đúng' có nghĩa là tỷ số giữa π(x) và x/ln(x) tiến dần về 1 khi x ngày càng lớn. Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ 1 đến x là số nguyên tố tỷ lệ nghịch với số chữ số của x. Một xấp xỉ chính xác hơn cho π(x) được cung cấp bởi hàm tích phân logarit bù Li(x), được định nghĩa là

Giả thuyết Riemann, một trong những vấn đề toán học lâu đời nhất chưa được giải quyết, có thể được phát biểu bằng cách so sánh π(x) với Li(x). Định lý Erdős–Kac liên quan đến số lượng các thừa số nguyên tố khác nhau cũng có sự liên hệ với logarit tự nhiên.

Logarit của giai thừa n, ký hiệu là n! = 1 · 2 ·... · n, được tính bằng

$\ln <!--\; \; -->(n!)=\ln <!--\; \; -->\left(1\right)+\ln <!--\; \; -->\left(2\right)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\ln <!--\; \; -->\left(n\right).$

Biểu thức này được sử dụng để suy ra phép xấp xỉ Stirling, một công thức gần đúng cho giá trị của n! khi n lớn.

Tổng quát hóa

Logarit trong mặt phẳng phức

Tất cả các nghiệm phức a của phương trình

$e^a=z$

Được gọi là logarit phức của z, trong đó z là một số phức. Một số phức thường có dạng z = x + iy, với x và y là các số thực và i là đơn vị ảo (căn bậc hai của −1). Số này có thể được biểu diễn như một điểm trong mặt phẳng phức, như trong hình bên. Mặt phẳng phức thường biểu thị một số phức z bằng giá trị tuyệt đối của nó, tức là khoảng cách r từ điểm gốc, cùng với một góc tạo bởi trục hoành thực Re và đường thẳng đi qua gốc tọa độ và z. Góc này được gọi là argumen của z.

Giá trị tuyệt đối r của z được tính như sau

$r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Áp dụng biểu diễn hình học của $\sin$ và $\cos$ cùng với tính tuần hoàn của chúng với chu kỳ $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$, mỗi số phức z cũng có thể được biểu diễn dưới dạng

với k là một số nguyên. Thực tế, giá trị của argumen z không chỉ có một khả năng duy nhất: cả φ và φ' = φ + 2kπ đều có thể là argumen của z với mọi số nguyên k, vì việc thêm 2kπ radian hay k⋅360° vào φ thực chất là quay góc φ quanh gốc tọa độ k vòng. Số phức cuối cùng sẽ là z, như minh họa trong hình bên phải với k = 1. Ta có thể chọn một trong số các argumen của z làm argumen chính, ký hiệu là Arg(z) với chữ cái A in hoa, bằng cách giới hạn φ trong một khoảng nhất định, chẳng hạn như hoặc Các khoảng này gọi là nhánh chính của hàm argumen.

Công thức Euler kết nối các hàm lượng giác sin và cos với hàm mũ phức:

$e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$

Sử dụng công thức trên và đặc tính tuần hoàn, ta có:

Với ln(r) là logarit tự nhiên thực duy nhất, a_k đại diện cho logarit phức của z, và k là một số nguyên bất kỳ. Do đó, tập hợp tất cả các giá trị logarit phức của z, với a_k là lũy thừa bậc a_k của e, là vô hạn.

$a_k=\ln <!--\; \; -->\left(r\right)+i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}),$ Trong đó, k là một số nguyên.

Chọn k sao cho $a_k=\ln <!--\; \; -->\left(r\right)+i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}),$ có thể được viết dưới dạng a_k. Để đơn giản hóa các phép tính, chúng ta chọn giá trị k sao cho a_k có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 2π.

Hàm ngược của các hàm mũ khác

Lũy thừa xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học, và hàm ngược của nó thường được gọi là logarit. Ví dụ, logarit của một ma trận là hàm ngược (đa trị) của hàm mũ ma trận. Một ví dụ khác là hàm logarit p-adic, là hàm ngược của hàm mũ p-adic. Cả hai loại hàm này đều được xác định qua chuỗi Taylor, tương tự như với số thực. Tuy nhiên, khác với số thực, logarit p-adic có thể mở rộng cho mọi số p-adic khác 0. Trong hình học vi phân, ánh xạ mũ ánh xạ không gian tiếp tuyến tại một điểm của đa tạp đến một lân cận của điểm đó, và ánh xạ ngược của nó được gọi là ánh xạ logarit.

Trong nhóm hữu hạn, lũy thừa là phép nhân lặp đi lặp lại của một phần tử b với chính nó. Logarit rời rạc là nghiệm nguyên n của phương trình

$b^n=x,$

với x là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể thực hiện dễ dàng, nhưng việc tính toán logarit rời rạc lại được cho là khó khăn trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trong mật mã hóa khóa công khai, chẳng hạn như trong trao đổi khóa Diffie–Hellman, một phương pháp cho phép trao đổi khóa mật mã một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn. Logarit Zech có liên quan đến logarit rời rạc trong nhóm nhân của các phần tử khác không trong một trường hữu hạn.

Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gồm logarit kép ln(ln(x)), siêu logarit (có dạng tương tự logarit lặp trong khoa học máy tính), hàm Lambert W và logit. Chúng lần lượt là hàm ngược của hàm mũ kép, tetration, f(w) = we, và hàm logistic.

Các khái niệm liên quan

Trong lý thuyết nhóm, đồng nhất thức log(cd) = log(c) + log(d) biểu thị sự đẳng cấu giữa các số thực dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là sự đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này. Theo đẳng cấu đó, độ đo Haar (độ đo Lebesgue) dx trên các số thực tương ứng với độ đo Haar dx/x trên các số thực dương. Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một bán vành gọi là bán vành xác suất; do đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và phép cộng thành phép cộng log (LogSumExp), tạo ra một phép đẳng cấu giữa bán vành xác suất và bán vành log. Trong giải tích phức và hình học đại số, 1-dạng logarit df/f là một dạng vi phân với cực điểm logarit.

Hàm đa loga là một hàm số được xác định bởi

${\mathrm{Li}}_s<!--\; \; -->\left(z\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^k}{k^s}.$

Hàm này có mối liên hệ với logarit tự nhiên qua đồng nhất thức Li₁(z) = −ln(1 − z). Hơn nữa, giá trị của Li_s(1) chính là hàm zeta Riemann ζ(s).

• Căn bậc n
• Lũy thừa
• Giới hạn
• Tích phân

Ghi chú

Liên kết ngoài

• Logarithm (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Lôga tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Hàm lôga tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Weisstein, Eric W., 'Logarithm' từ MathWorld.
• Khan Academy: Logarithms, bài giảng trực tuyến miễn phí
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Logarithmic function”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Edward Wright, Phiên dịch tác phẩm của Napier về logarit, Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 12 năm 2002, truy cập ngày 19 tháng 6 năm 2020
• Glaisher, James Whitbread Lee (1911). “Logarithm” . Trong Chisholm, Hugh (biên tập). Encyclopædia Britannica. 16 (ấn bản 11). Cambridge University Press. tr. 868–77.