Hàm lượng giác

Trong toán học, lượng giác (tiếng Anh: trigonometry, từ tiếng Hy Lạp cổ đại: τρίγωνον nghĩa là 'tam giác' và μέτρον nghĩa là 'đo lường') là lĩnh vực nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác. Lĩnh vực này bắt đầu từ thế kỷ 3 trước Công nguyên và được phát triển từ hình học cổ đại với mục đích phục vụ nghiên cứu thiên văn. Các nhà toán học Hy Lạp tập trung vào việc tính toán độ dài các dây cung, trong khi các học giả Ấn Độ phát triển bảng giá trị lượng giác sớm nhất.

Trong suốt lịch sử, lượng giác đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như trắc địa, khảo sát xây dựng, cơ học thiên thể và định hướng.

Lượng giác cũng nổi tiếng với nhiều đẳng thức lượng giác, thường được sử dụng để viết lại hoặc đơn giản hóa các biểu thức lượng giác, cũng như để giải các phương trình lượng giác.

Quá trình phát triển

Nguồn gốc của lượng giác có thể được truy nguyên về các nền văn minh cổ đại như Ai Cập, Babylon và lưu vực sông Ấn từ hơn 3000 năm trước. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc áp dụng tính toán đại số vào thiên văn học bằng lượng giác. Lagadha là nhà toán học duy nhất được biết đến hiện nay với việc sử dụng hình học và lượng giác trong thiên văn học qua cuốn sách Vedanga Jyotisha, mặc dù nhiều công trình của ông đã bị phá hủy trong các cuộc xâm lược.

Khoảng năm 150 TCN, nhà toán học Hy Lạp Hipparchus đã biên soạn các bảng lượng giác để hỗ trợ việc giải quyết các bài toán tam giác.

Vào khoảng năm 100, nhà toán học Hy Lạp Ptolemy đã mở rộng và phát triển các phương pháp tính toán lượng giác.

Nhà toán học người Silesia Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản một công trình quan trọng về lượng giác vào năm 1595, đồng thời giới thiệu thuật ngữ lượng giác sang tiếng Anh và tiếng Pháp.

Một số ý kiến cho rằng lượng giác nguyên thủy được phát triển để hỗ trợ việc tính toán đồng hồ mặt trời, một chủ đề phổ biến trong các tài liệu toán học cổ đại. Nó cũng đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực đo đạc.

Lượng giác hiện đại

Lượng giác hiện nay có rất nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, kỹ thuật đo đạc tam giác được dùng trong thiên văn để xác định khoảng cách đến các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới, và trong các hệ thống dẫn đường vệ tinh. Các lĩnh vực khác như thiên văn học (bao gồm cả dẫn đường trên đại dương, hàng không và không gian), lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (như chụp cắt lớp và siêu âm), dược học, hóa học, lý thuyết số (bao gồm mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, kỹ thuật điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học, v.v. cũng áp dụng lượng giác.

Mô hình lượng giác hiện đại, được gọi là lượng giác hữu tỷ, trừu tượng hóa các khái niệm như 'bình phương sin của góc' và 'bình phương khoảng cách' thay vì sử dụng góc và độ dài. Mô hình này được tiến sĩ Norman Wildberger từ Đại học New South Wales phát triển.

Giới thiệu về lượng giác

Hai tam giác được coi là đồng dạng khi một tam giác có thể được tạo ra từ tam giác còn lại bằng cách mở rộng hoặc thu hẹp tất cả các cạnh theo cùng một tỷ lệ. Điều này chỉ xảy ra khi các góc tương ứng của chúng bằng nhau; tức là, khi hai tam giác xếp lên nhau, một góc của chúng phải bằng nhau và cạnh đối diện với góc đó phải song song với nhau. Yếu tố quyết định sự đồng dạng là tỷ lệ các cạnh và các góc tương ứng phải giống nhau. Ví dụ, nếu cạnh dài nhất của một tam giác gấp đôi cạnh dài nhất của tam giác kia, thì cạnh ngắn nhất của tam giác thứ nhất cũng phải gấp đôi cạnh ngắn nhất của tam giác thứ hai, và điều tương tự áp dụng cho các cặp cạnh còn lại. Tỷ lệ độ dài của các cặp cạnh trong một tam giác sẽ bằng tỷ lệ của các cặp cạnh tương ứng trong tam giác còn lại. Cạnh dài nhất trong bất kỳ tam giác nào luôn là cạnh đối diện với góc lớn nhất.

Dựa vào các yếu tố đã thảo luận, các hàm lượng giác được định nghĩa dựa trên tam giác vuông, đó là tam giác có một góc bằng 90 độ hoặc π/2 radian, tức là tam giác có góc vuông.

Vì tổng các góc trong một tam giác là 180 độ hoặc π radian, nên trong tam giác vuông, góc lớn nhất là góc vuông. Cạnh dài nhất của tam giác này, đối diện góc vuông, được gọi là cạnh huyền.

Xét hai tam giác vuông có cùng một góc thứ hai A. Hai tam giác này đồng dạng, vì vậy tỷ lệ giữa cạnh đối diện góc A, ký hiệu a, và cạnh huyền, ký hiệu h, là giống nhau ở cả hai tam giác. Tỷ lệ này nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và chỉ phụ thuộc vào góc A; nó được gọi là sin của góc A và được ký hiệu là sin(A) hoặc sin A. Tương tự, cosin của góc A được định nghĩa là tỷ lệ giữa cạnh kề, ký hiệu b, và cạnh huyền, ký hiệu h, và được ký hiệu là cos(A) hoặc cos A.

$\sin <!--\; \; -->A=\frac{\text{a}}{\text{h}}\cos <!--\; \; -->A=\frac{\text{b}}{\text{h}}$

Đây là những hàm số quan trọng nhất trong lượng giác; các hàm số khác có thể được định nghĩa dựa trên tỷ lệ các cạnh còn lại của tam giác vuông, nhưng chúng có thể được biểu diễn bằng sin và cosin. Các hàm số này bao gồm tang, sec, cotang và cosec.

$\tan <!--\; \; -->A=\frac{\sin <!--\; \; -->A}{\cos <!--\; \; -->A}=\frac{\text{a}}{\text{b}}\sec <!--\; \; -->A=\frac{1}{\cos <!--\; \; -->A}=\frac{\text{h}}{\text{b}}$

$\cot <!--\; \; -->A=\frac{\cos <!--\; \; -->A}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{\text{b}}{\text{a}}\csc <!--\; \; -->A=\frac{1}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{\text{h}}{\text{a}}$

Các hàm lượng giác đã được định nghĩa ở trên áp dụng cho các góc từ 0 đến 90 độ (0 đến π/2 radian). Bằng cách sử dụng khái niệm vectơ trong đường tròn đơn vị, có thể mở rộng định nghĩa này cho các góc âm và dương (xem thêm về hàm lượng giác).

Khi các hàm sin và cosin đã được tính toán và lập bảng (hoặc sử dụng máy tính), người ta có thể giải quyết hầu hết các bài toán về tam giác bất kỳ bằng cách áp dụng các quy tắc sin hoặc quy tắc cosin. Những quy tắc này giúp tính toán các góc và cạnh còn lại của tam giác khi biết một trong ba yếu tố sau đây:

1. Các góc kề với hai cạnh và độ dài của chúng
2. Độ dài của một cạnh cùng với hai góc
3. Độ dài của ba cạnh của tam giác.

Các định lý phổ biến

Trong các công thức dưới đây, A, B, C là các góc của tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh đối diện với các góc tương ứng (tham khảo hình minh họa).

Định lý về sin

Định lý về sin áp dụng cho bất kỳ tam giác nào:

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->C}=2R$

với R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác:

$R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+c-<!--\; -\; -->b)(a+b-<!--\; -\; -->c)(b+c-<!--\; -\; -->a)}}.$

Một định lý khác về hàm sin có thể được sử dụng để tính diện tích của tam giác. Với hai cạnh có độ dài a và b, cùng với góc giữa hai cạnh này là C, diện tích tam giác được tính như sau:

$\text{Diện tích}=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->C.$

Định lý cosin

Định lý cosin là một mở rộng của định lý Pythagoras cho mọi loại tam giác:

$c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->C$

hoặc là:

$\cos <!--\; \; -->C=\frac{a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2}{2ab}.$

Định lý cosin có thể dùng để chứng minh công thức tính diện tích theo Heron. Với tam giác có các cạnh dài a, b, và c, nếu nửa chu vi của tam giác là

$p=\frac{1}{2}(a+b+c),$

thì diện tích của tam giác sẽ được tính bằng:

$\text{S}=\sqrt{p(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)}.$

Định lý tang

Định lý tang được biểu diễn qua công thức như sau:

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b}=\frac{\tan <!--\; \; -->\frac{A-<!--\; -\; -->B}{2}}{\tan <!--\; \; -->\frac{A+B}{2}}$

Công thức Euler

Công thức Euler, $e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x$, có thể được biểu diễn bằng các hàm sin, cos và tang với số e và đơn vị ảo i như sau:

$\sin <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2i},\cos <!--\; \; -->x=\frac{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2},\tan <!--\; \; -->x=\frac{i(e^{-<!--\; -\; -->ix}-<!--\; -\; -->e^{ix})}{e^{ix}+e^{-<!--\; -\; -->ix}}.$