Hàm nguyên

Trong giải tích, một hàm nguyên của một hàm số thực f(x) là một hàm F(x) sao cho đạo hàm của nó bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm hàm nguyên được gọi là tích phân bất định. Công việc này thường khó hơn so với việc tính đạo hàm, và không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số nào liên tục trong đoạn hoặc khoảng từ giá trị a đến b đều có ít nhất một hàm nguyên trong đoạn/khoảng đó.

Hàm nguyên liên quan chặt chẽ đến tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, cung cấp một phương pháp tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

Định nghĩa

Xét một hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ví dụ:

(1) Hàm số f (x) = cos x có nguyên hàm là F (x) = sin x vì đạo hàm của sin x là cos x (tức là F '(x) = f (x)).

(2) Hàm số f (x) = a có nguyên hàm là F(x) = vì đạo hàm của = a.

Nếu hàm số F là nguyên hàm của hàm số f trên K, thì với bất kỳ hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K, tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó, nếu F là nguyên hàm của f trên K, thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vì vậy, F(x) + C với số thực C đại diện cho tập hợp tất cả các nguyên hàm của f trên K. Ký hiệu: $\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx.$

Người ta đã chứng minh rằng mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Những hàm số có nguyên hàm trên K được gọi là khả tích trên K.

Tính chất

1) Nguyên hàm có tính chất ánh xạ tuyến tính. Cụ thể, nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K, thì

• $\int <!--\; \int \; -->\left[f\right(x)+g(x\left)\right]dx=\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx+\int <!--\; \int \; -->g\left(x\right)dx$
• $\int <!--\; \int \; -->kf\left(x\right)dx=k\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx$ (với mọi số thực k khác 0).

Ví dụ:

.

2) Tích phân từng phần (dựa trên tính chất vi phân của tích): Nếu f = f(x) và g = g(x) là hai hàm số liên tục và khả vi trên K, thì:

$$

∫ f ( x ) d ( g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) d ( f ( x ) ) {displaystyle int f(x)d(g(x))=f(x)g(x)-int g(x)d(f(x))}

do:

$d\left(f\right(x\left)g\right(x\left)\right)=f\left(x\right)d\left(g\right(x\left)\right)+g\left(x\right)d\left(f\right(x\left)\right)$)

Tính chất này thường được áp dụng để chuyển việc tìm nguyên hàm của những hàm phức tạp hoặc khó xử lý (thường là tích của nhiều hàm khác nhau) thành việc tìm nguyên hàm của những hàm đơn giản hơn.

Ví dụ như sau:

• Tích của hàm lũy thừa và hàm mũ:

$\int <!--\; \int \; -->x^2{e}^{x}dx=\int <!--\; \int \; -->x^{2}d\left(e^x\right)=x^2{e}^x-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^{x}d\left(x^2\right)=x^2{e}^x-<!--\; -\; -->2\int <!--\; \int \; -->x{e}^{x}dx=x^2{e}^x-<!--\; -\; -->2\int <!--\; \int \; -->xd\left(e^x\right)=x^2{e}^x-<!--\; -\; -->2x{e}^x+2\int <!--\; \int \; -->e^{x}dx=x^2{e}^x-<!--\; -\; -->2x{e}^x+2e^x+C$

• Tích của hàm lũy thừa và hàm lượng giác:

$\int <!--\; \int \; -->x\cos <!--\; \; -->xdx=\int <!--\; \int \; -->xd(\sin <!--\; \; -->x)=x\sin <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\sin <!--\; \; -->xdx=x\sin <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->x+C$

• Tích giữa hàm mũ và hàm lượng giác:

$I=\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->xdx=\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->xd\left(e^x\right)=e^x\cos <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^{x}d(\cos <!--\; \; -->x)=e^x\cos <!--\; \; -->x+\int <!--\; \int \; -->e^x\sin <!--\; \; -->xdx=e^x\cos <!--\; \; -->x+\int <!--\; \int \; -->\sin <!--\; \; -->xd\left(e^x\right)=e^x\cos <!--\; \; -->x+e^x\sin <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^{x}d(\sin <!--\; \; -->x)=e^x(\sin <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->x)-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->e^x\cos <!--\; \; -->xdx=e^x(\sin <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->x)-<!--\; -\; -->I$

Do đó:

$2I=e^x(\sin <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->x)$

hay

$I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin <!--\; \; -->x+\cos <!--\; \; -->x)+C$

3) Nguyên hàm của hàm số hợp: Nếu F = F(g) là nguyên hàm của f = f(g) và g = g(x) là một hàm liên tục và khả vi trên K, thì:

$\int <!--\; \int \; -->f\left(g\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=\int <!--\; \int \; -->f\left(g\right)dg=F\left(g\right(x\left)\right)+C$

Ví dụ:

$\int <!--\; \int \; -->\tan <!--\; \; -->xdx=\int <!--\; \int \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->x}{\cos <!--\; \; -->x}dx=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\frac{(\cos <!--\; \; -->x{)}^{\prime }}{\cos <!--\; \; -->x}dx=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\frac{d(\cos <!--\; \; -->x)}{\cos <!--\; \; -->x}=-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->|\cos <!--\; \; -->x|+C$

Ý nghĩa

Các nguyên hàm rất quan trọng vì chúng giúp tính toán các tích phân, dựa trên định lý cơ bản của giải tích: nếu F là nguyên hàm của f, thì:

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-<!--\; -\; -->F\left(a\right).$

Do đó, tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân mà không có các giới hạn:

$\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx.$

Nếu F là nguyên hàm của f và hàm f xác định trên một khoảng nào đó, thì bất kỳ nguyên hàm khác G của f đều khác F chỉ bởi một hằng số: tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x. Nếu tập xác định của F có nhiều khoảng, bạn có thể chọn những hằng số khác nhau cho từng khoảng. Ví dụ

là nguyên hàm tổng quát nhất của $f\left(x\right)=1/x^2$ trong khoảng $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},0)\cup <!--\; \cup \; -->(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$ của nó.

Mọi hàm liên tục f đều có nguyên hàm.

Có nhiều hàm số có nguyên hàm nhưng không thể biểu diễn bằng các hàm cơ bản. Ví dụ như:$\int <!--\; \int \; -->e^{-<!--\; -\; -->x^2}dx,\int <!--\; \int \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\left(x\right)}{x}dx,\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{\ln <!--\; \; -->x}dx.$

Công thức nguyên hàm của một số hàm cơ bản

Hàm hằng và hàm luỹ thừa:

• $\int <!--\; \int \; -->0dx=C$
• $\int <!--\; \int \; -->dx=x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ với $a\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$

Hàm mũ và hàm logarit:

• $\int <!--\; \int \; -->e^{x}dx=e^x+C$

Hàm lượng giác:

• $\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->xdx=\sin <!--\; \; -->x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->\sin <!--\; \; -->xdx=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{{\cos }^2<!--\; \; -->x}=\int <!--\; \int \; -->(1+{\tan }^2<!--\; \; -->x)dx=\tan <!--\; \; -->x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{{\sin }^2<!--\; \; -->x}=\int <!--\; \int \; -->(1+{\cot }^2<!--\; \; -->x)dx=-<!--\; -\; -->\cot <!--\; \; -->x+C$

Hàm lượng giác ngược:

• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}=\arcsin <!--\; \; -->x+C=-<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{x^2+1}=\arctan <!--\; \; -->x+C=-<!--\; -\; -->\mathrm{arccot}<!--\; \; -->x+C$

Các công thức trên vẫn áp dụng nếu ta thay thế $x$ bằng $u=u\left(x\right)$, với điều kiện hàm này liên tục và khả vi trong miền xác định.