Hàm phân số

Trong toán học, hàm phân số là một loại hàm số có thể được biểu diễn dưới dạng tỷ lệ giữa hai hàm đa thức.

Định nghĩa

Một hàm với một biến $$ được coi là hàm phân số nếu nó có thể viết dưới dạng

$f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

Trong đó $P$ và $Q$ là các đa thức với $x$ và $Q$ không phải là đa thức không. Tập xác định của $f$ là tập hợp các điểm $x$ tại đó mẫu thức $Q\left(x\right)$ khác 0.

Tất cả các đa thức đều có thể coi là phân số với $Q\left(x\right)=1$. Những hàm số không thể viết dưới dạng này thì không phải là phân số (ví dụ, $f\left(x\right)=\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$).

Một biểu thức có dạng $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ gọi là biểu thức phân số. Trong đại số trừu tượng, $x$ không nhất thiết phải là biến số.

Một phương trình phân số là phương trình trong đó hai biểu thức phân số bằng nhau. Những biểu thức này phải tuân theo quy tắc phân số. Phương trình này có thể giải bằng phương pháp ba.

Các ví dụ

Hàm phân thức $f\left(x\right)=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$ không xác định tại $x^2=5\iff x=\pm \sqrt{5}$.

Hàm phân thức $f\left(x\right)=\frac{x^2+2}{x^2+1}$ có giá trị với mọi số thực, nhưng không phải với tất cả các số phức. Nếu x là căn bậc hai của $-1$ (như đơn vị ảo), sẽ dẫn đến việc chia cho 0: $f\left(i\right)=\frac{i^2+2}{i^2+1}=\frac{-1+2}{-1+1}=\frac{1}{0}$.

Hàm phân thức luôn bằng 1 khi x khác 0, với x = 0 là điểm kì dị có thể bỏ qua.

Tổng, tích, hoặc thương (trừ khi chia cho đa thức không) của hai hàm phân thức cũng sẽ là một hàm phân thức.

Chuỗi Taylor

Các hệ số trong chuỗi Taylor của một hàm phân thức bất kỳ đều thỏa mãn phương trình hồi quy tuyến tính, phương trình này được xác định bằng cách so sánh hàm phân thức với chuỗi Taylor và nhóm các số hạng tương tự.

Ví dụ

Nhân cả hai vế với mẫu thức và phân phối để đơn giản hóa.

$1=(x^2-<!--\; -\; -->x+2)\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^k$

$1=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^{k+2}-<!--\; -\; -->\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^{k+1}+2\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^k.$

Điều chỉnh chỉ số của tổng để các số hạng có cùng số mũ, ta có

$1=\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k-<!--\; -\; -->2}{x}^k-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k-<!--\; -\; -->1}{x}^k+2\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^k.$

Gộp các số hạng tương tự với nhau

$1=2a_0+(2a_1-<!--\; -\; -->a_0)x+\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_{k-<!--\; -\; -->2}-<!--\; -\; -->a_{k-<!--\; -\; -->1}+2a_k)x^k.$

Vì đẳng thức trên đúng với mọi giá trị x nằm trong bán kính hội tụ của chuỗi Taylor gốc, ta so sánh các hệ số tương ứng. Do số hạng không đổi của vế trái phải bằng số hạng không đổi của vế phải, ta có

Vì không có các số hạng với mũ ở phía bên trái, tất cả các hệ số ở phía bên phải đều là 0, nên

Ngược lại, bất kỳ dãy số nào thỏa mãn một phương trình hồi quy tuyến tính sẽ định nghĩa một hàm phân thức khi các số hạng đó được sử dụng làm hệ số trong chuỗi Taylor. Phương pháp này rất tiện lợi trong việc giải phương trình hồi quy, vì bằng cách phân thức đơn giản, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ hàm phân thức nào dưới dạng tổng của các số hạng có dạng 1 / (ax + b).

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), “Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ấn bản 3), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Liên kết bên ngoài

• Trực quan hóa động các hàm phân thức với JSXGraph