Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng $a{x}^2+bx+c=y$, với $a,b,c$ là các hệ số và $(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$. Các hệ số có thể bao gồm y, x và y, với các biến lần lượt.

Hàm số bậc hai yêu cầu 2 điều kiện: bậc cao nhất là 2 và ít nhất có một hệ số khác 0.

Khi có hai biến x và y, hàm số có dạng

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f$

Khi đó, cùng với hàm chuẩn mẫu, nó tạo ra các hình cônic trên hệ trục tọa độ (như parabol, elip, tròn hoặc hyperbol)

Nguồn gốc tên gọi

Thuật ngữ bậc hai bắt nguồn từ tiếng Latin quadrātum, có nghĩa là hình vuông. Trong đại số, một biểu thức như x được gọi là hình vuông vì nó đại diện cho diện tích của một hình vuông với cạnh dài x.

Chỉ số quadr thường biểu thị số 4. Ví dụ như trong các từ tứ giác và góc tọa độ. Quadratum là từ Latin có nghĩa là vuông, liên quan đến từ quadrilateral tức là tứ giác. [1]

Thuật ngữ liên quan

Các hệ số

Hệ số của một đa thức thường là số thực hoặc số phức. Số phức có thể được đề cập trong Giải tích phức và có thể được biểu diễn trên hệ trục tọa độ.

Bậc của đa thức

Thuật ngữ 'đa thức bậc hai' có thể được hiểu là 'đa thức có bậc bằng 2' hoặc 'đa thức có bậc cao nhất là 2'. Nếu bậc nhỏ hơn 2, nó thường được gọi là 'trường hợp suy biến'.

Thường thì ý nghĩa của thuật ngữ được xác định dựa trên ngữ cảnh sử dụng.

Biến số

Một đa thức bậc hai có thể có một biến duy nhất như x (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều biến như x, y, và z (trường hợp đa biến). Trong thực tế, các hàm nhiều biến thường được quy về các hàm hai biến để dễ phân tích.

Bất kỳ đa thức bậc hai với một biến nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:

$a{x}^2+bx+c$

Trong đó:

x là biến số

a, b, c là các hệ số của đa thức

Trong đại số cơ bản, đa thức này thường xuất hiện dưới dạng phương trình bậc hai. Các nghiệm của phương trình gọi là các gốc của đa thức bậc hai, có thể được xác định qua phân tích thành nhân tử, phần bù bình phương, đồ thị, phương pháp Newton, hoặc công thức bậc hai. Mỗi đa thức bậc hai tương ứng với một hàm bậc hai có đồ thị là hình parabol.

Biệt thức thường gặp là $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4ac$

Nếu b = 2b', biệt thức có thể được rút gọn thành: ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }=b^{\prime 2}-<!--\; -\; -->ac$. Khi đó $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=2{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }$

Bất kỳ đa thức bậc hai với hai biến đều có thể viết dưới dạng:

$f(x,y)=a{x}^2+by+cxy+dx+ey+f$

Trong đó, x và y là các biến, còn a, b, c, d, e, f là các hệ số. Các đa thức như thế này là cơ sở để nghiên cứu các hình conic, được thể hiện bằng cách mô tả hàm số f(x,y) với các tham số. Tương tự, đa thức bậc hai với 3 biến hoặc nhiều hơn tương ứng với mặt bậc hai và siêu mặt. Trong đại số tuyến tính, đa thức bậc hai có thể được mở rộng thành khái niệm dạng bậc hai trên không gian véc tơ.

Các dạng của hàm bậc hai đơn biến

Một hàm bậc hai đơn biến có thể được biểu diễn theo ba dạng khác nhau:

• Dạng chuẩn: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$
• Dạng thừa số: $f\left(x\right)=a(x-<!--\; -\; -->r_1)(x-<!--\; -\; -->r_2)$, trong đó r₁ và r₂ là nghiệm của hàm bậc hai.
• Dạng đỉnh: $f\left(x\right)=a(x-<!--\; -\; -->h{)}^2+k$, trong đó h và k lần lượt là tọa độ x và y của đỉnh hàm số.

Hệ số a giữ cùng giá trị trong cả ba dạng. Để chuyển từ dạng chuẩn sang dạng thừa số, ta dùng công thức nghiệm bậc hai để xác định hai nghiệm r₁ và r₂. Để chuyển từ dạng thừa số sang dạng đỉnh, ta sử dụng phương pháp bù bình phương. Để chuyển từ dạng thừa số (hoặc dạng đỉnh) sang dạng chuẩn, chỉ cần nhân phân phối các thừa số.

Các nghiệm của hàm số đơn biến

Các nghiệm

Giống như phương trình bậc hai, hàm số bậc hai mẫu chuẩn: $y=a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm.

$r_1=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }-<!--\; -\; -->\sqrt{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }}}{a};r_2=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }}}{a}$ (nghiệm thực).

hoặc

(nghiệm phức)

với b = 2b' và Δ = 4Δ'

Giá trị lớn nhất của các nghiệm

Cũng có thể chứng minh rằng giá trị tuyệt đối của nghiệm bậc hai không vượt quá với (tỉ lệ vàng)

Đồ thị của hàm số một biến

Xem xét hàm số bậc hai ở dạng chuẩn: $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Đồ thị của hàm bậc hai dạng chuẩn luôn là một đường parabol trên mặt phẳng tọa độ.

Điểm đỉnh của đồ thị

Điểm đỉnh của một parabol là điểm mà nó thay đổi hướng. Vì vậy, điểm này còn được gọi là bước ngoặt của đồ thị.

Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, thì đỉnh sẽ có tọa độ là (h,k). Thông qua phương pháp phần bù bình phương, có thể chuyển đổi từ dạng chuẩn sang dạng đỉnh với công thức

Do đó, h là trục đối xứng của parabol.

Khi ở dạng dạng thừa số $y=a(x-<!--\; -\; -->r_1)(x-<!--\; -\; -->r_2)$, ta tính trung bình của hai nghiệm, tức là , từ đó tọa độ đỉnh là

Đồ thị hàm bậc hai dạng đơn thức

Một dạng cơ bản của hàm số này trong sách giáo khoa Toán lớp 9 có dạng: $y=a{x}^2$

Tập xác định là: R

Đồ thị hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có

Đỉnh: $O(0;0)$

Trục đối xứng: Oy

Khi a>0, đồ thị nằm trên trục hoành và O là điểm thấp nhất. Điều này có thể chứng minh được: vì a>0 và $x^2\ge <!--\; \ge \; -->0$, nên y luôn không âm, tức là parabol luôn nằm trên trục hoành.

Khi a<0, đồ thị nằm dưới trục hoành và O là điểm cao nhất. Có thể chứng minh điều này bằng lý luận tương tự như đã nêu.

Dựa vào một hàm số cụ thể, có thể sử dụng các phương pháp sau để vẽ đồ thị:

Phương pháp 1: Giả sử hàm số là , ta nên chọn ít nhất 3 điểm có giá trị x dương để xác định đường parabol chính xác hơn. Sau đó, vẽ thêm 3 điểm với giá trị x âm tương ứng qua trục tung.

Phương pháp 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu đã biết điểm $M(x_0;y_0)$ nằm trên parabol khác gốc tọa độ. Đặt P là hình chiếu của M lên Ox, chia đoạn OP và PM thành n phần đều nhau. Vẽ các đường thẳng song song với Oy qua những điểm này và nối chúng với O. Đánh số thứ tự các đường thẳng và đoạn thẳng, rồi lấy giao điểm của các cặp đoạn thẳng cùng thứ tự để vẽ nửa parabol. Cuối cùng, đối xứng nửa parabol này qua trục Oy để hoàn tất.

Phương pháp 3: Phương pháp này áp dụng cho hàm số

Trên giấy kẻ ô, chọn khoảng cách giữa các dòng là 1 đơn vị độ dài, vẽ các đường tròn đồng tâm và các đường thẳng song song cắt các đường tròn này. Đánh dấu các điểm giao giữa đường tròn và đường thẳng, tập hợp các điểm này tạo thành trục tung Oy. Sau khi xóa các đường tròn và đường thẳng, nối các điểm giao, ta sẽ có được một đường parabol.

Đồ thị hàm số bậc 2 chuẩn mẫu

Dạng chuẩn mẫu được trình bày chi tiết trong chương trình Đại số lớp 10

Dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

Tập xác định: R, ($a\ne <!--\; \ne \; -->0$)

Tiến hành các phép biến đổi tương đương:

$y=a{x}^2+bx+c$

Nếu ta coi và , ta có $y=a{u}^2+v\iff <!--\; \iff \; -->y-<!--\; -\; -->v=a{u}^2$

Vì vậy, chúng ta có thể rút gọn hàm số bậc hai.

Do đó, thuộc đồ thị của hàm số, và do đó, hàm số bậc hai rút gọn là:

Nếu , thì $I$ là điểm thấp nhất trên đồ thị.

Nếu do đó $I$ là đỉnh cao nhất của đồ thị.

Vậy điểm đóng vai trò như điểm $O(0;0)$ trên parabol của đồ thị hàm $y=a{x}^2$

Biểu đồ của hàm chuẩn chỉ là kết quả sau khi thực hiện các phép biến đổi hình học trên đồ thị hàm bậc hai cơ bản.

Đỉnh: I($x_I;y_I$) với $x_I$==và $y_I$==

Trục đối xứng:

Trục này nghiêng lên nếu a>0 và nghiêng xuống nếu a<0.

Chứng minh: Để chứng minh đồ thị hàm số này, ta sẽ thực hiện qua 3 bước từ đồ thị hàm số cơ bản.

Bước 1: Chứng minh đồ thị của hàm $y=a{x}^2+y_0$

Xét hai hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2,g\left(x\right)=a{x}^2+y_0$

Tại điểm $X\in <!--\; \in \; -->R$, ta có $Y=f\left(X\right)=a{X}^2,g\left(X\right)=a{X}^2+y_0=Y+y_0$

Nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị của hàm $y=a{x}^2$, thì điểm đó cũng thuộc đồ thị của hàm $y=a{x}^2+y_0$.

Nếu di chuyển điểm M song song với trục tung một đoạn đơn vị (lên trên nếu $y_0>0$, xuống dưới nếu ) thì điểm đó sẽ là N.

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh.

Bước 2: Đồ thị của hàm số $y=a(x+x_0{)}^2$

Xét hai hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2,g\left(x\right)=a(x+x_0{)}^2$

Với bất kỳ giá trị X nào, ta có $f\left(X\right)=a{X}^2,g(X-<!--\; -\; -->x_0)=a{\left[(X-<!--\; -\; -->x_0)+x_0\right]}^2=a{X}^2$

Điều này có nghĩa là giá trị của hàm f(X) tại X bằng giá trị của hàm g(X) tại $X-<!--\; -\; -->x_0$. Vì vậy, nếu điểm $M(X;Y)$ nằm trên đồ thị của hàm số $y=a{x}^2$ thì điểm $N(X-<!--\; -\; -->x_0;Y)$ sẽ nằm trên đồ thị của hàm số $y=a(x+x_0{)}^2$.

Nếu ta dịch chuyển điểm M song song với trục hoành đơn vị về bên trái nếu $x_0>0$ thì ta có điểm $M\text{'}(X-<!--\; -\; -->d;Y)$ nằm trên đồ thị của hàm số $y=a(x+x_0{)}^2$

Khi đó, điểm $M\text{'}(X-<!--\; -\; -->d;Y)$ nằm trên đồ thị của hàm số $y=a(x+x_0{)}^2$.

Bước 3: Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2+bx+c$

Ta thực hiện các biến đổi theo phần Giới thiệu:

Áp dụng kết quả từ Bước 1 và 2 với ta nhận thấy đồ thị dịch chuyển sang trái hoặc phải song song với trục hoành một khoảng và di chuyển lên trên hoặc xuống dưới song song với trục tung một khoảng .

Vậy ta đã chứng minh xong điều cần chứng minh.

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol, được tính bằng $I(\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a};\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{4a})$ hoặc $I(\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }}{a};\frac{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }}{a})$ hoặc $I(\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a};f\left(\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}\right))$

Bước 2: Vẽ trục đối xứng của parabol tại $x=\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}$ ($x=\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}$)

Bước 3: Tìm tọa độ các điểm mà parabol cắt trục tung $(0;c)$ và trục hoành nếu có, sau đó vẽ thêm một số điểm để hoàn thiện đồ thị.

Bước 4: Vẽ đồ thị parabol và xác định hướng của nó dựa vào dấu của hệ số a.

Chiều biến thiên

Dưới đây là bảng biểu diễn:

• Khi a>0

Hàm số giảm trên và tăng trên .

• Khi a<0

Hàm số giảm trên và tăng trên .

Tất cả kiến thức liên quan đến cách vẽ, bảng biến thiên, đồ thị, cấu trúc, và ứng dụng của hàm số bậc hai dưới dạng chuẩn và dạng thu gọn đều được trình bày trong SGK Toán 9 tập 2 và SGK Đại số 10.

Biến thể của hàm bậc hai (với hai biến)

Trên đây, chúng ta đã thảo luận về dạng chuẩn, còn với hai biến x và y, chúng ta có:

$f(x,y)=A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+Exy+F$

Khi A, B, C, D, và E được cố định và chỉ F thay đổi, hàm số $f(x,y)$ cho thấy sự thay đổi mô tả giao điểm của mặt phẳng với mặt phẳng z=0 khác. Nó có thể được coi như giao điểm của một mặt nón khi cắt bằng thiết diện.

Cực đại và cực tiểu của hàm số

Nếu , hàm số không có giá trị cực đại hoặc cực tiểu mà biểu hiện như một mặt parabol hyperbolic.

Nếu $4AB-<!--\; -\; -->E^2>0$, hàm số có cực đại khi A<0 và cực tiểu khi A>0, xảy ra tại (

Nếu $4AB-<!--\; -\; -->E^2=0$ và $DE-<!--\; -\; -->2CB=2AD-<!--\; -\; -->CE\ne <!--\; \ne \; -->0$, hàm số không có cực đại hay cực tiểu và tương tự như một xilanh parabol.

Nếu $4AB-<!--\; -\; -->E^2=0$ và $DE-<!--\; -\; -->2CB=2AD-<!--\; -\; -->CE\ne <!--\; \ne \; -->0$, hàm số có cực đại và cực tiểu nằm trên một đường với cực tiểu khi A>0 và cực đại khi A<0.

Ứng dụng

Biểu hiện của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai với $x$ có dạng $a{x}^2+bx+c$, với a,b,c là các hệ số và $a\ne <!--\; \ne \; -->0$.

Do đó, hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai, nên ta có:

thì $f\left(x\right)$ luôn có cùng dấu với $a$, $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->R$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0$ thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với $a$, ngoại trừ khi $x=-<!--\; -\; -->\frac{b}{2a}$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}>0$ thì $f\left(x\right)$:

• Cùng dấu với $a$ khi hoặc $x>x_2$
• Trái dấu với $a$ khi

với là 2 nghiệm của $f\left(x\right)$

Phương pháp xác định dấu này cũng áp dụng cho biệt thức Δ'

Các bài toán có thể quy về phương trình bậc hai

Dưới đây là một số công thức liên quan đến phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức trong Vật lý:

Công thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều: $s=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$

Phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều: $x=x_0+v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$

Công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều: $v^2-<!--\; -\; -->v_0^2=2as$

Quãng đường của vật rơi tự do - chuyển động theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ tọa độ: $s=\frac{g{t}^2}{2}\approx <!--\; \approx \; -->5t^2$ (trên Trái Đất) $/y=\frac{g{t}^2}{2}$

Gia tốc hướng tâm: $a=\frac{v^2}{r}=r{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2$

Lực hướng tâm: $F=\frac{m{v}^2}{r}=mr{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2$

Tầm ném xa: $L^2=(v-<!--\; -\; -->0t{)}^2=v_0^2\frac{2h}{g}$

Định luật vạn vật hấp dẫn: $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=G\frac{m_1{m}_2}{(R+r{)}^2}$

Năng lượng động học của vật: $W_d=\frac{m{v}^2}{2}$

Năng lượng đàn hồi: $W_t=\frac{k(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l{)}^2}{2}$

Trong đó $v_0$ là tốc độ tại thời điểm $t_0$, và các tọa độ của vật, $G$ là hằng số hấp dẫn, $g$ là gia tốc trọng trường, $v$ là vận tốc, $t$ là thời gian, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l$ là độ biến dạng của lò xo, $a$ là gia tốc, $L$ là tầm ném xa, $W$ là năng lượng động học, $F$ là lực, và $k$ là hằng số đàn hồi.