Hằng số Planck

Hằng số Planck là một hằng số cơ bản trong vật lý, ký hiệu là $h$. Nó đóng vai trò then chốt trong cơ học lượng tử. Năng lượng của photon được tính bằng tần số của nó nhân với hằng số Planck. Do mối liên hệ giữa khối lượng và năng lượng, hằng số Planck cũng liên quan đến sự kết nối giữa khối lượng và tần số.

Trong lĩnh vực đo lường, hằng số Planck, cùng với các hằng số khác, được dùng để định nghĩa kilogram, một đơn vị trong hệ SI. Để định nghĩa các đơn vị SI, hằng số Planck được quy định sao cho giá trị của nó trong hệ đơn vị SI là h = 6,62607015×10 J⋅Hz

Vào cuối thế kỷ 19, phổ bức xạ của vật đen đã được đo với độ chính xác cao, nhưng các số liệu đo được ở tần số cao không khớp với các dự đoán lý thuyết đương thời. Năm 1900, Max Planck đã đề xuất một công thức thực nghiệm cho phổ quan sát được. Ông giả định rằng một hạt tích điện dao động trong môi trường bức xạ vật đen chỉ có thể thay đổi mức năng lượng của nó theo những bước nhỏ E tương ứng với tần số của sóng điện từ. Dựa trên kết quả thí nghiệm, ông đã tính toán được hằng số tỷ lệ này và đặt tên nó để vinh danh chính mình. Đến năm 1905, Albert Einstein đã xác định mức năng lượng tối thiểu hay còn gọi là 'lượng tử' của sóng điện từ. Lượng tử ánh sáng có tính chất như một hạt không mang điện, sau này được gọi là photon. Max Planck đã được trao Giải Nobel Vật lý năm 1918 vì những đóng góp của ông trong việc phát hiện ra lượng tử năng lượng.

Khái niệm

Liên hệ Planck cho thấy năng lượng của photon E tỉ lệ thuận với tần số f, và hằng số tỷ lệ này được gọi là hằng số Planck, ký hiệu bằng h:

$E=hf.$

Năng lượng của photon rất nhỏ so với mức năng lượng của các vật thể thông thường.

Vì tần số f, bước sóng λ, và tốc độ ánh sáng c có mối liên hệ $f=\frac{c}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$, ta có thể biểu diễn hệ thức trên dưới dạng

$E=\frac{hc}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$

Hằng số Planck đã được đơn giản hóa

Hằng số Planck thường được định nghĩa bằng đơn vị SI của tần số, tức là hertz, biểu thị số vòng, 360 độ hoặc 2π radian mỗi giây. Khi tần số góc (biểu thị bằng radian mỗi giây thay vì vòng mỗi giây, tức là hertz) được sử dụng, người ta thường đưa hệ số 2π vào hằng số Planck, từ đó tạo ra hằng số Planck đơn giản hóa. Hằng số Planck đơn giản hóa là hằng số Planck chia cho 2π và được ký hiệu bằng $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$ (đọc là 'h-bar'):

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=\frac{h}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}.$

Bước sóng de Broglie

Năm 1923, Louis de Broglie đã mở rộng liên hệ Planck–Einstein với giả thuyết rằng hằng số Planck là hệ số tỷ lệ giữa động lượng và bước sóng lượng tử không chỉ của photon mà của bất kỳ hạt nào. Giả thuyết này đã được xác nhận qua các thí nghiệm và trở thành một phần quan trọng của lý thuyết lượng tử, bao gồm cả điện động học. Bước sóng de Broglie λ của một hạt được xác định là

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\frac{h}{p}$

trong đó p là động lượng của một hạt, chẳng hạn như photon, hoặc bất kỳ hạt cơ bản nào khác.

Năng lượng của photon với tần số góc ω = 2πf được tính bằng

$E=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},$

và động lượng của nó được tính bằng

$p=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}k,$

trong đó k là số sóng góc.

Hai liên hệ này thể hiện các thành phần thời gian và không gian trong biểu thức tương đối hẹp sử dụng 4-vectơ:

$P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left(\frac{E}{\mathrm{c\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}\right)=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{K}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{c},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\right).$

Cơ học thống kê

Cơ học thống kê cổ điển yêu cầu sự tồn tại của h (mặc dù không xác định giá trị cụ thể của nó). Sau khi Planck phát hiện, một giả thuyết mới được đưa ra, cho rằng các tác động vật lý không thể có giá trị tùy ý mà phải là bội số nguyên của một đại lượng rất nhỏ, gọi là 'lượng tử của tác động', hiện nay được biết đến là hằng số Planck. Đây là một ý tưởng quan trọng trong 'thuyết lượng tử cũ' phát triển bởi các nhà vật lý như Bohr, Sommerfeld và Ishiwara, trong đó các quỹ đạo của hạt tồn tại nhưng không thể quan sát, và chúng tuân theo các quy luật lượng tử. Quan điểm này đã được thay thế bởi thuyết lượng tử hiện đại, trong đó quỹ đạo chuyển động hoàn toàn không tồn tại; một hạt được mô tả bằng một hàm sóng trong không gian và thời gian. Cùng với đó, khái niệm lượng tử năng lượng xuất hiện, và cả chuyển động hạt lẫn lượng tử năng lượng đều không thể giải thích bằng vật lý cổ điển.

Giá trị

Hằng số Planck có đơn vị của mômen động lượng. Trong hệ đơn vị SI, hằng số Planck được thể hiện bằng joule trên hertz (J⋅Hz hoặc kg⋅m⋅s). Một điểm cần lưu ý về đơn vị của hằng số Planck là đơn vị SI của tần số, hertz, đại diện cho một chu kỳ đầy đủ, 360 độ hay 2π radian, trong một giây. Tần số góc, được tính bằng radian trên giây, thường được sử dụng trong toán học và vật lý, và nhiều công thức áp dụng hằng số Planck rút gọn.

$h=6.62607015\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->34}\text{J}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\text{Hz}}^{-<!--\; -\; -->1}$

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=\frac{h}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=1.054571\mathrm{817...}\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->34}\text{J}\cdot <!--\; \cdot \; -->\text{s}=6.582119\mathrm{569...}\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->16}\text{eV}\cdot <!--\; \cdot \; -->\text{s}$

Các giá trị trên được xác định chính xác và cố định sau khi đơn vị cơ bản SI được định nghĩa lại vào năm 2019.

Đã cố định giá trị của h

Kể từ năm 2019, giá trị của hằng số Planck đã được xác định cố định với giá trị thập phân hữu hạn. Theo định nghĩa hiện tại về kilogram, việc phát biểu rằng, 'Kilogram [...] được định nghĩa bằng cách cố định giá trị của h là 6,62607015×10 với đơn vị J⋅s, tương đương với kg⋅m⋅s, trong đó mét và giây được định nghĩa qua tốc độ ánh sáng c và tần số chuyển siêu tinh tế của trạng thái cơ bản của nguyên tử caesi-133 Δν_Cs.' Điều này có nghĩa là giá trị của kilogram, chứ không phải giá trị của hằng số Planck, phải được xác định bằng thực nghiệm, thông qua các phương pháp như cân Kibble và mật độ tinh thể tia X. Để minh họa rõ hơn, giả sử quyết định cố định giá trị của h được đưa ra vào năm 2010. Khi đó, giá trị của h là 6,62606957×10 J⋅s, và từ đó giá trị của kilogram cũng được tính từ con số này. Các thực nghiệm sau này sẽ cho thấy giá trị của kilogram lúc đó là 6,62607015/6,62606957 ≈ 1,0000001 lần so với giá trị của Nguyên mẫu Kilogram Quốc tế (IPK).

Khởi nguồn

Hằng số Planck ra đời từ nỗ lực của Max Planck trong việc phát triển một công thức toán học để dự đoán phổ bức xạ từ một nguồn nhiệt kín, hay bức xạ vật đen. Kết quả của nghiên cứu này là một công thức toán học được gọi là định luật Planck.

Vào cuối thế kỷ 19, Max Planck xem xét vấn đề bức xạ vật đen, một vấn đề đã được Kirchhoff nêu ra khoảng 40 năm trước. Mọi vật thể vật lý đều phát ra bức xạ điện từ liên tục. Tuy nhiên, không có công thức hay giải thích nào cho hình dạng của phổ bức xạ quan sát được. Lúc đó, định luật Wien phù hợp với dữ liệu ở bước sóng ngắn và nhiệt độ cao, nhưng không đúng ở bước sóng dài. Cùng thời điểm đó, Lord Rayleigh phát hiện một công thức, ngày nay gọi là định luật Rayleigh–Jeans, có thể dự đoán chính xác bước sóng dài nhưng lại không giải thích được bước sóng ngắn.

Planck tiếp cận vấn đề bằng cách giả thuyết rằng ánh sáng có thể được mô tả bằng một tập hợp các dao động điều hòa, mỗi tần số tương ứng với một dao động. Ông nghiên cứu sự thay đổi entropy của các hạt dao động theo nhiệt độ của vật thể, làm cho nó phù hợp với định luật Wien, và cuối cùng đưa ra một hàm số để xấp xỉ phổ vật đen, dẫn đến một công thức thực nghiệm cho bước sóng dài.

Planck đã phát triển một công thức phù hợp với định luật Wien ở bước sóng ngắn và một công thức thực nghiệm ở bước sóng dài. Công thức này bao gồm một hằng số h, được gọi là Hilfsgrösse (biến phụ) trước đây và sau này được biết đến là hằng số Planck. Công thức này mô tả độ rọi phổ chiếu xạ của một vật đen với tần số ν tại nhiệt độ tuyệt đối T.

$B_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},T)=\frac{2h{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{k_{B}T}}-<!--\; -\; -->1}$

Trong đó, k_B là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, và c là tốc độ ánh sáng trong môi trường, có thể là vật liệu hoặc chân không.

Độ rọi phổ chiếu xạ (tiếng Anh: 'spectral radiance') B_ν của một vật cho biết lượng năng lượng phát ra ở các tần số bức xạ khác nhau. Đại lượng này bằng công suất phát xạ trên một đơn vị diện tích bề mặt, trên một đơn vị góc khối, và trên một đơn vị tần số. Độ rọi phổ chiếu xạ cũng có thể được tính theo bước sóng λ thay vì tần số. Trong trường hợp này, công thức sẽ trở thành

$B_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},T)=\frac{2h{c}^2}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{k}_{B}T}}-<!--\; -\; -->1},$

công thức này cho thấy rằng năng lượng bức xạ ở bước sóng ngắn tăng nhanh hơn theo nhiệt độ so với năng lượng bức xạ ở bước sóng dài.

Định luật Planck có thể được diễn đạt qua các đại lượng khác, chẳng hạn như số lượng photon phát ra tại một bước sóng cụ thể, hoặc mật độ năng lượng trong một thể tích bức xạ. Đơn vị SI của B_ν là W·sr·m·Hz, trong khi của B_λ là W·sr·m.

Planck sớm nhận ra rằng phương pháp của ông không phải là duy nhất. Có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách tương ứng với giá trị entropy của các hạt dao động khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, Planck đã áp dụng cơ học thống kê, một lĩnh vực còn gây tranh cãi thời đó, mà ông gọi là 'một hành động tuyệt vọng … tôi sẵn sàng từ bỏ tất cả những niềm tin của mình trong vật lý.' Một trong các điều kiện của phương pháp này là

coi U_N [năng lượng dao động của N hạt] không phải là một đại lượng liên tục có thể chia nhỏ tùy ý, mà là một đại lượng rời rạc gồm các phần tử hữu hạn. Mỗi phần tử năng lượng như vậy được gọi là ε;

— Planck, On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum

Với điều kiện mới này, Planck đã lượng tử hóa năng lượng của các hạt dao động, mà theo ông là 'một giả thuyết hoàn toàn hình thức … thực ra tôi không suy nghĩ nhiều về nó ...'. Khi áp dụng điều kiện này vào định luật Wien, ông chỉ ra rằng 'phần tử năng lượng' phải tỷ lệ với tần số dao động, điều này sau này được gọi là 'liên hệ Planck–Einstein':

$E=hf.$

Sử dụng dữ liệu từ các thí nghiệm về bức xạ vật đen, Planck đã tính toán giá trị của h vào khoảng 655×10 J⋅s, sai lệch 1,2% so với giá trị chính thức hiện tại. Ông cũng là người đầu tiên xác định giá trị của hằng số Boltzmann k_B theo công thức này.

Phát triển và ứng dụng

Vấn đề về bức xạ vật đen được xem xét lại vào năm 1905, khi Rayleigh cùng với Jeans, và độc lập với Einstein, chứng minh rằng lý thuyết điện từ cổ điển không thể giải thích phổ bức xạ quan sát được. Các chứng minh này, được Paul Ehrenfest đặt tên là 'thảm họa cực tím' vào năm 1911, cùng với nghiên cứu của Einstein về hiệu ứng quang điện, đã khiến các nhà vật lý dần dần tin rằng việc lượng tử hóa năng lượng của Planck không chỉ là một công cụ toán học đơn thuần. Hội nghị Solvay đầu tiên năm 1911 đã tập trung vào chủ đề 'lý thuyết bức xạ và lượng tử'.

Hiệu ứng quang điện

Hiệu ứng quang điện là hiện tượng phát xạ electron (được gọi là 'quang điện tử') từ một bề mặt khi có ánh sáng chiếu vào. Hiện tượng này lần đầu tiên được Alexandre Edmond Becquerel quan sát vào năm 1839, mặc dù Heinrich Hertz là người công bố nghiên cứu chi tiết đầu tiên vào năm 1887. Philipp Lenard (Lénárd Fülöp) cũng đã công bố một nghiên cứu vào năm 1902. Vào năm 1905, Einstein đã viết một bài báo giải thích hiện tượng này bằng lý thuyết lượng tử ánh sáng, và thành tựu này đã giúp ông giành giải Nobel Vật lý vào năm 1921, sau khi các tiên đoán của ông được Robert Andrews Millikan xác nhận.

Trước khi Einstein công bố bài báo của mình, bức xạ điện từ như ánh sáng được hiểu theo cách sóng, và từ đó các thuật ngữ như 'tần số' và 'bước sóng' được dùng để mô tả các dạng bức xạ khác nhau. Cường độ của một sóng biểu thị năng lượng của nó trong một đơn vị thời gian. Ánh sáng từ đèn pha sân khấu có cường độ cao hơn ánh sáng từ bóng đèn dân dụng, tức là đèn pha phát ra nhiều năng lượng hơn trong một đơn vị thời gian và không gian, mặc dù màu sắc của chúng tương tự. Những loại sóng khác như âm thanh hay sóng biển cũng có cường độ riêng. Tuy nhiên, năng lượng liên quan đến hiệu ứng quang điện không hành xử như sóng ánh sáng.

Các quang điện tử phát ra có động năng nhất định, và động năng của chúng không bị ảnh hưởng bởi cường độ ánh sáng, mà chỉ phụ thuộc vào tần số. Nếu tần số thấp quá mức, sẽ không có quang điện tử nào được phát ra. Khi tần số đủ cao để kích hoạt hiệu ứng quang điện, việc tăng cường độ ánh sáng sẽ dẫn đến sự phát ra nhiều quang điện tử với cùng động năng, thay vì tăng động năng của từng quang điện tử.

Einstein giải thích các quan sát này bằng cách lượng tử hóa ánh sáng: năng lượng ánh sáng không được truyền liên tục dưới dạng sóng, mà chỉ dưới dạng những 'gói' nhỏ hay lượng tử. Những 'gói' năng lượng này, sau này được gọi là photon, có kích thước bằng các 'phần tử năng lượng' của Planck, dẫn đến mối liên hệ Planck–Einstein:

$E=hf.$

Giả thuyết của Einstein đã được kiểm chứng thực nghiệm: hằng số tỷ lệ giữa tần số ánh sáng f và động năng của các quang điện tử E chính là hằng số Planck h.

Cấu trúc nguyên tử

Năm 1912, John William Nicholson đã giới thiệu h-bar vào lý thuyết nguyên tử và là người đầu tiên áp dụng việc lượng tử hóa tần số góc với giá trị h/2π. Niels Bohr đã trích dẫn công trình của Nicholson trong bài báo về mô hình nguyên tử Bohr năm 1913. Sự ảnh hưởng của mô hình nguyên tử Nicholson đối với mô hình của Bohr đã được các nhà sử học nghiên cứu sâu rộng.

Năm 1913, Niels Bohr đề xuất mô hình lượng tử của nguyên tử, nhằm khắc phục những thiếu sót của mô hình Rutherford cổ điển. Mô hình nguyên tử lượng tử đầu tiên được Arthur Erich Haas đưa ra năm 1910 và đã được thảo luận chi tiết tại Hội nghị Solvay năm 1911. Theo lý thuyết điện từ cổ điển, một điện tích đang quay quanh hạt nhân sẽ phát ra bức xạ điện từ và dần mất năng lượng, dẫn đến việc electron sẽ rơi vào hạt nhân. Bohr đã giải quyết nghịch lý này bằng cách lấy cảm hứng từ công trình của Planck: electron trong mô hình Bohr chỉ có thể có những mức năng lượng cụ thể E_n, trong đó

$E_n=-<!--\; -\; -->\frac{hc{R}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}{n^2},$

với c là tốc độ ánh sáng trong chân không, R_∞ là hằng số thực nghiệm (hằng số Rydberg), và n ∈ {1, 2, 3, ...}. Khi electron đạt mức năng lượng thấp nhất (n = 1), nó không thể tiến gần hơn đến hạt nhân. Phương pháp này cho phép Bohr áp dụng công thức Rydberg, một mô tả thực nghiệm của phổ nguyên tử hydro, và giải thích giá trị của hằng số Rydberg R_∞ bằng các hằng số cơ bản khác.

Bohr cũng đề xuất đại lượng ħ = h / (2π), hiện được gọi là hằng số Planck rút gọn, dùng để lượng tử hóa mô men động lượng. Ban đầu, Bohr nghĩ rằng đại lượng này là mômen động lượng của từng electron trong nguyên tử, nhưng giả thuyết này không chính xác. Mặc dù Arnold Sommerfeld và nhiều người khác đã nỗ lực, mô hình Bohr vẫn không thể mô tả chính xác mômen động lượng của electron. Quy luật lượng tử hóa tổng quát cho electron – với mô hình Bohr là trường hợp đặc biệt cho nguyên tử hydro – được mô tả bởi cơ học ma trận của Heisenberg năm 1925 và phương trình sóng Schrödinger năm 1926, và hằng số Planck rút gọn vẫn là lượng tử cơ bản cho mômen động lượng. Cụ thể, nếu J là tổng mômen động lượng của hệ có bất biến quay và J_z là mômen động lượng theo một trục cụ thể, chúng chỉ có thể nhận các giá trị

Nguyên lý bất định

Hằng số Planck cũng xuất hiện trong công thức của nguyên lý bất định do Werner Heisenberg phát triển. Đối với nhiều hạt ở cùng trạng thái, sự bất định về vị trí Δx và sự bất định về động lượng Δp_x tuân theo điều kiện

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{p}_x\ge <!--\; \ge \; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2},$

Sự bất định được định nghĩa là độ lệch chuẩn của các giá trị đo được so với giá trị kỳ vọng. Nhiều cặp biến liên hợp khác như thời gian và năng lượng cũng tuân theo nguyên lý tương tự. Mối liên hệ nghịch đảo giữa hai độ bất định này tạo ra một sự đánh đổi trong thí nghiệm lượng tử, nơi việc đo lường chính xác một đại lượng sẽ làm gia tăng sai số của đại lượng còn lại.

Một trong những nền tảng của cơ học lượng tử là quan hệ giao hoán giữa toán tử vị trí $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}$ và toán tử động lượng $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}$:

$[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_i,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}}_j]=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},$

trong đó δ_ij là ký hiệu delta Kronecker.

• CODATA 2018
• Hệ thống đo lường quốc tế
• Hệ thống đo lường Planck
• Hiện tượng lưỡng tính sóng-hạt

Ghi chú

Chú giải

Nguồn gốc

Liên kết tham khảo

• 'Vai trò của hằng số Planck trong vật lý' – bài thuyết trình tại cuộc họp CGPM lần thứ 26 ở Versailles, Pháp, tháng 11 năm 2018 khi việc bỏ phiếu được thực hiện.