Hành Trình Hướng Dẫn Của Một Nhà Toán Học Qua Các Chiều Cao Hơn

Chiều không gian ban đầu dường như rất hiển nhiên. Nhìn qua cửa sổ, chúng ta có thể thấy một con quạ đang ngồi trên một cột cờ chật hẹp, trải nghiệm không gian không, một con robin trên dây điện bị ràng buộc trong không gian một chiều, một con bồ câu trên mặt đất có thể di chuyển trong không gian hai chiều và một con đại bàng ở trên không trung tận hưởng không gian ba chiều.

Nhưng như chúng ta sẽ thấy, việc tìm một định nghĩa rõ ràng cho khái niệm chiều và đẩy ranh giới của nó đã là một thách thức đặc biệt khó khăn đối với những nhà toán học. Đã mất hàng trăm năm thực nghiệm tư duy và so sánh sáng tạo để đến với hiểu biết chặt chẽ hiện tại của chúng ta về khái niệm này.

Người cổ đại đã biết rằng chúng ta sống trong ba chiều. Aristotle viết, “Về khối lượng, điều nào (mở rộng) một cách là đường, điều nào (mở rộng) hai cách là mặt phẳng, và điều nào (mở rộng) ba cách là một cơ thể. Và không có khối lượng nào ngoài những thứ này, vì các chiều là tất cả những gì có.”

Tuy nhiên, những nhà toán học, giữa những người khác, đã tận hưởng bài tập tư duy bằng cách tưởng tượng thêm các chiều. Một chiều thứ tư—nằm vuông góc với ba chiều của chúng ta—sẽ trông như thế nào?

Một phương pháp phổ biến: Giả sử vũ trụ có thể biết được của chúng ta là một mặt phẳng hai chiều trong không gian ba chiều. Một quả cầu rắn đang đậu phía trên mặt phẳng không thể nhìn thấy đối với chúng ta. Nhưng nếu nó rơi xuống và tiếp xúc với mặt phẳng, một điểm xuất hiện. Khi nó tiếp tục xuyên qua mặt phẳng, một đĩa tròn phát triển cho đến khi đạt đến kích thước tối đa. Sau đó, nó co lại và biến mất. Là qua những phần chéo này mà chúng ta thấy hình dạng ba chiều.

Tương tự, trong vũ trụ ba chiều quen thuộc của chúng ta, nếu một quả cầu bốn chiều đi qua, nó sẽ xuất hiện như một điểm, phát triển thành một quả cầu rắn, cuối cùng đạt đến bán kính đầy đủ, sau đó co lại và biến mất. Điều này đưa cho chúng ta cảm nhận về hình dạng bốn chiều, nhưng cũng có những cách khác nhau để nghĩ về những hình ảnh như vậy.

Ví dụ, hãy thử hình dung phiên bản bốn chiều của một hình lập phương, được biết đến là một tesseract, bằng cách xây dựng lên nó. Nếu chúng ta bắt đầu từ một điểm, chúng ta có thể kéo nó theo một hướng để có được một đoạn thẳng. Khi chúng ta kéo đoạn thẳng theo một hướng vuông góc, chúng ta có được một hình vuông. Kéo hình vuông này theo một hướng vuông góc thứ ba sẽ cho chúng ta một khối lập phương. Tương tự, chúng ta có được một tesseract bằng cách kéo khối lập phương theo hướng thứ tư.

Hoặc nếu như chúng ta có thể mở ra các mặt của một khối lập phương thành sáu hình vuông, chúng ta cũng có thể mở ra ranh giới ba chiều của một tesseract để có được tám khối lập phương, như Salvador Dalí đã trình bày trong bức tranh của ông năm 1954 Thánh Thập Tự (Corpus Hypercubus).

Tất cả điều này dẫn đến một hiểu biết trực quan rằng không gian trừu tượng là n-chiều nếu có n độ tự do bên trong nó (như những chú chim kia), hoặc nếu nó yêu cầu n tọa độ để mô tả vị trí của một điểm. Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy, nhà toán học đã phát hiện ra rằng chiều không gian là phức tạp hơn những mô tả đơn giản này gợi ý.

Nghiên cứu chính thức về chiều không gian cao nổi lên vào thế kỷ 19 và trở nên rất phức tạp trong vài thập kỷ: Một danh mục thư mục năm 1911 chứa 1.832 tài liệu tham khảo về hình học n chiều. Có lẽ là một hậu quả, vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, công chúng trở nên mê mải với chiều thứ tư. Năm 1884, Edwin Abbott viết cuốn tiểu thuyết châm biếm phổ biến Flatland, sử dụng những sinh vật hai chiều gặp một nhân vật từ chiều thứ ba như một phương trình để giúp độc giả hiểu chiều thứ tư. Cuộc thi tiểu luận Scientific American năm 1909 có tựa đề “Chiều thứ Tư Là Gì?” đã nhận được 245 bài tham gia tranh giải thưởng 500 đô la. Và nhiều nghệ sĩ, như Pablo Picasso và Marcel Duchamp, đã tích hợp ý tưởng về chiều thứ tư vào công việc của họ.

Nhưng trong khoảng thời gian này, nhà toán học nhận ra rằng việc thiếu một định nghĩa chính thức cho chiều không gian thực sự là một vấn đề.

Georg Cantor nổi tiếng với phát hiện của ông rằng vô cực có kích thước khác nhau, hoặc cardinalities. Ban đầu, Cantor tin rằng tập hợp các điểm trên một đoạn thẳng, một hình vuông và một khối lập phương phải có cardinalities khác nhau, giống như một dãy 10 điểm, một lưới 10 × 10 điểm và một khối lập phương 10 × 10 × 10 của các điểm có số lượng điểm khác nhau. Tuy nhiên, vào năm 1877, ông phát hiện ra một mối tương quan một-một giữa các điểm trên một đoạn thẳng và các điểm trên một hình vuông (và tương tự khối lập phương của mọi chiều), chỉ ra rằng chúng có cùng cardinality. Một cách trực giác, ông chứng minh rằng các đoạn thẳng, hình vuông và khối lập phương đều có cùng một số lượng điểm vô cùng nhỏ, mặc dù chiều không gian khác nhau. Cantor viết cho Richard Dedekind, “Tôi nhìn thấy nó, nhưng tôi không tin nó.”

Cantor nhận ra rằng phát hiện này đe dọa ý tưởng trực giác rằng không gian n-chiều yêu cầu n tọa độ, vì mỗi điểm trong một khối lập phương n-chiều có thể được định danh duy nhất bởi một số từ một khoảng, để, theo một cách nào đó, những khối lập phương chiều cao này tương đương với một đoạn thẳng một chiều. Tuy nhiên, như Dedekind chỉ ra, hàm của Cantor có tính liên tục rất cao — nó về cơ bản là phá vỡ một đoạn thẳng thành vô số phần và tự lắp ráp chúng để tạo thành một khối lập phương. Điều này không phải là hành vi chúng ta muốn cho một hệ tọa độ; nó sẽ quá không tự chủ để giúp ích, giống như việc gán địa chỉ duy nhất cho các tòa nhà ở Manhattan nhưng lại gán chúng ngẫu nhiên.

Sau đó, vào năm 1890, Giuseppe Peano phát hiện rằng có thể bọc một đường cong một chiều một cách chặt chẽ — và liên tục — sao cho nó lấp đầy mọi điểm trong một hình vuông hai chiều. Đây là đường cong lấp đầy không gian đầu tiên. Nhưng ví dụ của Peano cũng không phải là một cơ sở tốt cho một hệ tọa độ vì đường cong cắt nhau với nó vô số lần; quay lại với ví dụ về Manhattan, nó giống như việc gán một số địa chỉ cho một số tòa nhà.

Những ví dụ bất ngờ này và những ví dụ khác làm rõ rằng những nhà toán học cần phải chứng minh rằng chiều không gian là một khái niệm thực sự và rằng, ví dụ, không gian Euclidean n- và m-chiều khác nhau một cách cơ bản khi n ≠ m. Mục tiêu này trở thành vấn đề “bất biến của chiều không gian”.

Cuối cùng, vào năm 1912, gần một nửa thế kỷ sau phát hiện của Cantor, và sau nhiều cố gắng thất bại để chứng minh tính bất biến của chiều, L.E.J. Brouwer đã thành công bằng cách sử dụng một số phương pháp do chính ông tạo ra. Theo bản chất, ông chứng minh rằng không thể đặt một đối tượng chiều cao hơn vào bên trong một chiều thấp hơn, hoặc đặt một chiều thấp hơn vào bên trong một chiều cao hơn và lấp đầy toàn bộ không gian, mà không làm vỡ đối tượng thành nhiều mảnh, như Cantor làm, hoặc cho phép nó cắt ngang chính nó, như Peano làm. Hơn nữa, vào thời điểm này, Brouwer và những người khác đã đưa ra nhiều định nghĩa chặt chẽ khác nhau, có thể gán chiều một cách đệ quy dựa trên việc rằng ranh giới của các quả cầu trong không gian n-chiều có chiều (n − 1)-chiều.

Mặc dù công việc của Brouwer đặt khái niệm về chiều không gian trên nền toán học mạnh mẽ, nhưng nó không giúp ích cho trực giác của chúng ta về không gian chiều cao: Sự quen thuộc của chúng ta với không gian ba chiều quá dễ dàng làm chúng ta lạc lõng. Như Thomas Banchoff viết, “Tất cả chúng ta đều là nô lệ của định kiến của chiều của chúng ta.”

Giả sử, ví dụ, chúng ta đặt 2^*n* quả cầu bán kính 1 bên trong một hình lập phương n-chiều có cạnh dài 4, và sau đó đặt thêm một quả cầu vào trung tâm chúng sao cho nó chạm vào tất cả. Khi n tăng, kích thước của quả cầu trung tâm cũng tăng — nó có bán kính là n‾√ − 1. Do đó, làm cho ngạc nhiên, khi n ≥ 10, quả cầu này trông ra khỏi các cạnh của hình lập phương.

Những hiện thực đầy ngạc nhiên của không gian chiều cao tạo ra vấn đề trong thống kê và phân tích dữ liệu, được gọi chung là “lời nguyền của chiều không gian.” Số lượng điểm mẫu cần thiết cho nhiều kỹ thuật thống kê tăng lên một cách mũ với chiều không gian. Ngoài ra, khi chiều tăng lên, các điểm sẽ gom nhóm ít hơn với nhau. Do đó, thường quan trọng để tìm cách giảm chiều của dữ liệu chiều cao.

Chuyện về chiều không gian không kết thúc với Brouwer. Chỉ vài năm sau đó, Felix Hausdorff phát triển một định nghĩa về chiều không gian mà — nhiều thế hệ sau — đã chứng minh là quan trọng cho toán học hiện đại. Một cách cảm nhận về chiều không gian của Hausdorff là nếu chúng ta co dãn, hoặc phóng đại, một đối tượng d-chiều một cách đồng đều bởi một hệ số k, kích thước của đối tượng tăng lên theo hệ số k^d. Giả sử chúng ta co dãn một điểm, một đoạn thẳng, một hình vuông và một hình lập phương bởi một hệ số 3. Điểm không thay đổi kích thước (3⁰ = 1), đoạn thẳng trở nên lớn gấp ba lần (3¹ = 3), hình vuông trở nên lớn gấp chín lần (3² = 9) và hình lập phương trở nên lớn gấp 27 lần (3³ = 27).

Một hậu quả đầy ngạc nhiên của định nghĩa của Hausdorff là đối tượng có thể có chiều không phải là số nguyên. Thập kỷ sau đó, điều này được chứng minh là đúng khi Benoit B. Mandelbrot đặt câu hỏi, “Độ dài của bờ biển của Anh là bao nhiêu?” Một bờ biển có thể rất xóc ngắn đến mức không thể đo đạc chính xác bằng bất kỳ cái thước đo nào — càng ngắn thước, đo đạc càng lớn và chính xác. Mandelbrot lập luận rằng chiều không gian của Hausdorff cung cấp một cách để đo lường sự xóc ngắn này, và vào năm 1975, ông đặt ra thuật ngữ “fractal” để mô tả những hình dạng vô cùng phức tạp như vậy.

Để hiểu xem chiều không phải số nguyên có thể nhìn như thế nào, hãy xem xét đường cong Koch, được tạo ra theo cách lặp. Chúng ta bắt đầu với một đoạn thẳng. Ở mỗi giai đoạn, chúng ta loại bỏ một phần ba giữa của mỗi đoạn và thay thế nó bằng hai đoạn có độ dài bằng với phần đã bị loại bỏ. Lặp lại quy trình này vô hạn để có được đường cong Koch. Nghiên cứu nó một cách kỹ lưỡng, và bạn sẽ thấy nó chứa bốn phần giống nhau với toàn bộ đường cong nhưng có kích thước là một phần ba. Vì vậy, nếu chúng ta co dãn đường cong này bởi một hệ số 3, chúng ta sẽ có bốn bản sao của ban đầu. Điều này có nghĩa là chiều không gian của nó, d, thỏa mãn 3^*d* = 4. Vì vậy, d = log₃(4) ≈ 1.26. Đường cong này không phải làm đầy không gian hoàn toàn, giống như của Peano, nên nó không phải là hai chiều hoàn toàn, nhưng nó là hơn một đường thẳng chiều một.

Cuối cùng, một số độc giả có thể nghĩ, “Thế không gian không phải là chiều thứ tư sao?” Quả đúng, như người phát minh nói trong tiểu thuyết năm 1895 của H.G. Wells The Time Machine, “Không có sự khác biệt giữa Thời gian và ba chiều không gian ngoại trừ tình thức của chúng ta di chuyển theo nó.” Thời gian như chiều thứ tư bùng nổ trong tưởng tượng công chúng vào năm 1919, khi một sự kiện nhật quang mặt trời cho phép các nhà khoa học xác nhận lý thuyết tổng quát của Albert Einstein và độ cong của không gian thời gian bốn chiều phẳng của Hermann Minkowski. Như Minkowski dự đoán trong bài giảng năm 1908, “Từ nay về sau, không gian một mình và thời gian một mình đều chết chóc thành những bóng tối, và chỉ có một loại liên kết giữa hai chiều đó sẽ giữ nguyên hiện thực độc lập.”

Ngày nay, các nhà toán học và những người khác thường xuyên rời xa ba chiều thoải mái của chúng ta. Đôi khi công việc này liên quan đến chiều không gian vật lý bổ sung, như những chiều cần thiết theo lý thuyết dây, nhưng thường chúng ta làm việc trừu tượng và không hình dung không gian thực sự. Một số nghiên cứu có tính hình học, như phát hiện của Maryna Viazovska năm 2016 về cách đóng gói hiệu quả nhất của các quả cầu trong tám và 24 chiều. Đôi khi chúng đòi hỏi chiều không phải là số nguyên khi nghiên cứu về fractals trong các lĩnh vực đa dạng như vật lý, sinh học, kỹ thuật, tài chính và xử lý hình ảnh. Và trong thời đại của “dữ liệu lớn,” các nhà khoa học, chính phủ và doanh nghiệp xây dựng các hồ sơ chiều cao của người, nơi và đồ vật.

May mắn thay, chiều không cần phải được hiểu đầy đủ để được thưởng thức, cả đối với chim và nhà toán học.

Chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập biên tập của Simons Foundation, được thiết lập với sứ mệnh là nâng cao sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa ra các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và đời sống.

Những điều tuyệt vời khác của MYTOUR

• 📩 Tin tức mới nhất về công nghệ, khoa học và nhiều hơn nữa: Nhận bản tin của chúng tôi!
• Robots có thể tiến hóa thành máy móc của tình yêu?
• 3D printing giúp thí nghiệm lượng tử cực lạnh trở nên nhỏ gọn hơn
• Cộng đồng nhà thuốc đã nỗ lực trong thời Covid
• The Artful Escape là sự hoàn hảo của tâm trạng thức thần
• Cách gửi những tin nhắn tự động biến mất
• 👁️ Khám phá trí tuệ nhân tạo như chưa bao giờ có với cơ sở dữ liệu mới của chúng tôi
• 🎮 MYTOUR Games: Nhận những mẹo mới nhất, đánh giá và nhiều hơn nữa
• 📱 Lưỡng lự giữa những chiếc điện thoại mới nhất? Đừng lo—kiểm tra hướng dẫn mua iPhone của chúng tôi và những chiếc điện thoại Android yêu thích