Hệ cơ số thập phân

Hệ thập phân (hệ đếm cơ số 10) là hệ đếm sử dụng số 10 làm cơ số. Đây là hệ đếm phổ biến nhất trong các nền văn minh hiện đại.

Ký tự của hệ thập phân

Hệ thống các ký tự số được sử dụng để biểu thị các giá trị trong một hệ đếm. Trong hệ thập phân, có 10 ký tự (còn được gọi là các số) khác nhau được sử dụng để biểu thị 10 giá trị riêng biệt (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9), tức là 10 số. Các số này cũng được sử dụng cùng với dấu thập phân - ví dụ như dấu 'phẩy' - để chỉ rõ vị trí phần thập phân sau phần nguyên. Các số cũng có thể được bắt đầu bằng các biểu tượng '+' hoặc '-' để chỉ số dương và số âm.

Hệ thập phân là hệ đếm sử dụng hệ thống số dựa trên vị trí, bao gồm hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm vv. Vị trí của mỗi số đại diện cho một bội số của 10, với mỗi vị trí có giá trị là bằng mười lần giá trị của vị trí bên phải nó.

Số mười là một đơn vị đếm, biểu tượng cho 10 ngón tay của hai bàn tay (hoặc chân). Thuật ngữ 'con số' trong nhiều ngôn ngữ trên thế giới đều ám chỉ đến cấu trúc sinh vật học của ngón tay hoặc chân. Trong tiếng Việt, thuật ngữ 'phần mười' chỉ đến một phần mười của một số lượng nào đó, và 'mười lần' chỉ đến một số lượng được nhân gấp 10 lần số lượng hiện tại.

Các ký tự đại diện cho các con số, đang được sử dụng phổ biến trên toàn thế giới ngày nay, được các quốc gia châu Âu gọi là bảng chữ số Ả Rập và các quốc gia ở vùng Ả Rập gọi là bảng chữ số Ấn Độ. Cả hai nhóm từ này đều ám chỉ đến một nền văn hóa mà họ tiếp cận và học hỏi về hệ thống số lần đầu tiên. Tuy nhiên, hình dạng của các ký tự cùng hệ số này ở các nơi khác nhau lại không hoàn toàn giống nhau. Ví dụ, trong hệ thống đếm của các khu vực Tây Ả Rập (nơi hệ thống ký tự châu Âu được áp dụng), chúng khác hoàn toàn so với những ký tự được sử dụng trong các nền văn minh Ả Rập khác.

Các hệ thống ký tự khác

Có nhiều nền văn hóa đã và đang sử dụng các hệ thống đếm khác với hệ thập phân. Ví dụ, người dân thổ dân ở các vùng cao nguyên của México Tzotzil sử dụng hệ nhị thập phân (20) (vigesimal) - do sử dụng cả 10 ngón tay và 10 ngón chân khi đếm - và một số dân tại Nigeria sử dụng hệ thập nhị phân (12) (duodecimal). Người dân ở thành phố Babylon sử dụng hệ lục thập phân (60), trong khi thổ dân châu Mỹ như người Yuki sử dụng hệ bát phân.

Hệ thống phần cứng và phần mềm của máy tính cũng sử dụng hệ thống riêng để biểu diễn các giá trị trong hệ thập phân, đồng thời lưu trữ chúng và sử dụng trong các phép tính số học. Thường thì các phép tính này được áp dụng trên các dữ liệu đã được mã hóa bằng hệ thập nhị phân để biểu diễn số thập phân (binary-coded decimal), mặc dù cũng có các hệ thống khác đang được sử dụng (xem IEEE 754r), đặc biệt trong việc xây dựng và quản lý cơ sở dữ liệu. Việc áp dụng các phép tính số học trong hệ thập phân rất quan trọng đối với các tính toán tài chính và trong các ngành khác.

Phân số thập phân

Phân số thập phân là một loại phân số có mẫu số là bội số của 10. Phân số thập phân thường được biểu diễn bằng cách không có mẫu số rõ ràng, sử dụng dấu thập phân để phân tách tử số (với số 0 dẫn đầu nếu cần), với con số ngay sau dấu thập phân tương đương với một phân số có mẫu số là 10, ví dụ như.

Phân số	Số thập phân (Số lẻ)
$\begin{array}{c}\frac{8}{10}\end{array}$=$\begin{array}{c}\frac{8}{{10}^1}\end{array}$	0,8
$\begin{array}{c}\frac{833}{100}\end{array}$ =$\begin{array}{c}\frac{833}{{10}^2}\end{array}$	8,33
$\begin{array}{c}\frac{83}{100}\end{array}$=$\begin{array}{c}\frac{83}{{10}^2}\end{array}$	0,83
$\begin{array}{c}\frac{8}{10000}\end{array}$=$\begin{array}{c}\frac{8}{{10}^4}\end{array}$	0,0008
$\begin{array}{c}\frac{80}{10000}\end{array}$=$\begin{array}{c}\frac{80}{{10}^4}\end{array}$	0,008

Phần nguyên và phần phân số của các số được phân tách bởi dấu thập phân. Trong tiếng Anh, thay vì dùng dấu phẩy, người ta sử dụng dấu chấm (.) để phân tách phần phân số ra khỏi phần nguyên, trong khi tiếng Việt và nhiều ngôn ngữ khác sử dụng dấu phẩy. Thường những số nhỏ hơn 1 được biểu diễn bằng một phân số thập phân với số 0 dẫn đầu, ví dụ như 0,25 (thay vì $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}$). Các số 0 thừa phía sau có thể cần thiết để đảm bảo độ chính xác yêu cầu trong khoa học, kỹ thuật và kế toán, ví dụ như 0,080 và 0,08 có giá trị tương đương, nhưng 0,080 ám chỉ đến một đơn vị đo với sai số $\begin{array}{c}\frac{1}{2000}\end{array}$ = ±0,0005, trong khi 0,08 ám chỉ đến một đơn vị đo với sai số $\begin{array}{c}\frac{1}{200}\end{array}$ = ±0,005.

Nhóm số

Các số có nhiều chữ số, trước hoặc sau dấu thập phân, có thể được nhóm lại thành các nhóm chữ số, bắt đầu từ dấu thập phân và chạy theo cả hai hướng, trái và phải. Việc nhóm số thường được thực hiện bằng cách sử dụng dấu phẩy, dấu chấm hoặc khoảng trắng. Sử dụng khoảng trắng đã được đề xuất trong tài liệu SI/ISO 31-0. Việc sử dụng dấu chấm thay cho dấu phẩy để phân tách phần thập phân cũng có thể được cân nhắc. Để biết thêm chi tiết, xin xem bài viết về dấu thập phân. Các phương pháp biểu diễn như '12,345', '12.345', '12,345.678', và '12.345,678' có thể gây hiểu nhầm nếu không có một hệ thống ký hiệu nhất định.

Các số hữu tỷ khác

Mọi số hữu tỷ không thể biểu diễn bằng một phân số thập phân đều có một số đặc tính đặc biệt trong phần thập phân, tạo thành một chuỗi số thập phân lặp đi lặp lại.

Số mười là tổng của hai số nguyên tố, thứ hai và thứ tư (3 + 7 = 10), và là số lớn hơn bình phương của số nguyên tố thứ hai (3 = 9), và nhỏ hơn số nguyên tố thứ năm (số 11). Điều này chỉ ra rằng có nhiều phân số thập phân đơn thuần, như sau:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.333333... (với số 3 lặp lại)

1/4 = 0.25

1/5 = 0.2

1/6 = 0.166666... (với số 6 lặp lại)

1/8 = 0.125

1/9 = 0.111111... (với số 1 lặp lại)

1/10 = 0.1

1/11 = 0.090909... (với số 09 lặp lại)

1/12 = 0.083333... (với số 3 lặp lại)

1/81 = 0.012345679012... (với chuỗi số 012345679 lặp lại)

Khi mẫu số là các số nguyên tố, cho phép tồn tại các chuỗi số lặp lại lâu hơn, ví dụ như trong trường hợp của 7 và 13.

Mỗi số hữu tỷ, khi tạo ra một dãy số thập phân lặp đi lặp lại hữu hạn hoặc vô hạn, đều là kết quả của một phép chia dài, trong đó số dư chỉ là (q-1) khác không, khi số bị chia là q, tạo ra một mô hình lặp lại chỉ nhắc lại q-1 lần. Ví dụ, phép chia dài $\begin{array}{c}\frac{3}{7}\end{array}$ có thể được miêu tả như sau:

3,0 0 0 0 0 0 0 0 |7                                  
- 2 8               |0,4 2 8 5 7 1 4...
    2 0             |
  - 1 4             |
      6 0           |
    - 5 6           |
        4 0         |
      - 3 5         |
          5 0       |
        - 4 9       |
            1 0     |
          -   7     |
              3 0   |
            - 2 8   |
                2 0 |
 vân vân.

Quan điểm ngược lại với quan sát trên là mỗi số thập phân lặp lại (recurring decimal) biểu thị một phân số hữu tỷ $\begin{array}{c}\frac{p}{q}\end{array}$. Đây là kết quả của việc dãy số thập phân lặp lại là một chuỗi số hình học hữu hạn, với tổng của chúng là một số hữu tỷ. Ví dụ:

$0.0123123123\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{123}{10000}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{0.001}^k=\frac{123}{10000}\frac{1}{1-<!--\; -\; -->0.001}=\frac{123}{9990}=\frac{41}{3330}$

Số thực

Mỗi số thực (real number) có một biểu diễn thập phân tương ứng (có thể là vô hạn). Có thể được biểu diễn theo công thức sau đây:

$x=sign<!--\; \; -->\left(x\right)\underset{i\in <!--\; \in \; -->Z}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_i{10}^i$

ghi chú:

• sign() là hàm signum,
• ai ∈ { 0,1,...,9 } đối với tất cả các giá trị i ∈ Z, là số trong phần thập phân, bằng 0 đối với tất cả các giá trị i lớn hơn một số nào đó (và số đó là lôgarít tự nhiên của |x|).

Tổng này tăng dần khi i giảm, và có thể là các dãy số của các số khác không ai, lặp lại theo tiến trình vô hạn.

Số hữu tỷ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số, với mẫu số là các thừa số nguyên tố khác nhau ngoài số 2 và 5. Khi được đơn giản hóa, chúng có thể tạo ra dãy số thập phân lặp lại đặc biệt.

Các số hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng phân số với mẫu số là các thừa số nguyên tố như 2 và 5 có thể cho chúng ta một dãy số thập phân hữu hạn. Ví dụ như:

1 = 1, 1/2 = 0,5, 3/5 = 0,6, 3/25 = 0,12, và 1306/1250 = 1,0448.

Có những số thực không thể biểu diễn bằng một dãy số thập phân cụ thể do chúng có thể được biểu thị bằng các biểu thức khác nhau. Ví dụ như 1 = 0,99999... hoặc 1/2 = 0,499999... và còn nhiều biểu thức khác.

Các số này gọi là số vô tỷ. Chúng có thể có biểu diễn thập phân đặc thù hữu hạn nhưng đồng thời mang tính chất vô hạn.

Nhìn chung, phần biểu thị thập phân trở nên đặc thù khi không xét đến các phần thập phân kết thúc bằng số 9 lặp đi lặp lại.

Tất nhiên, cùng một nguyên tắc tam phân áp dụng cho các hệ đếm vị trí khác nhau trong các hệ thống đếm số:

• Biểu thị hữu hạn: số hữu tỷ với mẫu số chia hết cho một số n nào đó.
• Biểu thị tái diễn: một dạng khác của số hữu tỷ.
• Biểu thị vô hạn, không tái diễn: số vô tỷ.

Một ví dụ điển hình của điều này cũng được thấy trong các hệ đếm vô tỷ, như là hệ đếm golden mean base (???)

Lịch sử

Những nhà nghiên cứu viết về hệ thập phân

• Khoảng 3500 - 2500 TCN, Đế chế Elam của Iran sử dụng hệ thống số nhị phân đơn giản. [1] [2]
• Khoảng 2900 TCN, trong các bản chữ tượng hình của người Ai Cập, đã có sử dụng tính toán với cơ số 10 (1 triệu + 400,000 con dê ví dụ).
• Khoảng 2600 TCN, nền văn minh sông Ấn (Bắc Ấn Độ và Pakistan) đã sử dụng hệ thập phân trong hệ cân đo ngược dùng trọng lượng cân có giá trị: $\begin{array}{c}\frac{1}{20}\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{1}{10}\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{1}{5}\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$. Vui lòng xem thêm trong phần Cân bằng và đo lường trong nền văn minh sông Ấn cổ.
• Khoảng 1400 TCN, nhà giáo dục ở Trung Quốc đã thông hiểu về khái niệm số thập phân, chẳng hạn số 547 được viết là 'Năm trăm, cộng với bốn mươi, cộng với bảy ngày' trong một số bản viết tay.
• Khoảng 1200 TCN, Ấn Độ cổ, kinh Vệ Đà nghi thức tế tự (Yajur-Veda) đã liệt kê các con số có cơ số 10, bao gồm số 1055.
• Khoảng 450 TCN, ngôn ngữ học Phạn của Ấn Độ - sử dụng toán tử vô định (null operator) trong ngữ pháp tiếng Phạn.
• Khoảng 400 TCN, Pingala (em trai của Panini) - sáng tạo ra hệ nhị phân trong việc sáng tác thơ tiếng Phạn, với sự sắp xếp tương ứng rõ ràng hệ thập phân.

Cách biểu đạt trong ngôn ngữ

Một số ngôn ngữ biểu thị số thập phân trực tiếp, ví dụ số 11 được gọi là 'mười-một' (10+1) và số 23 được gọi là 'hai-mươi-ba' (2x10+3); cách biểu thị này có trong tiếng Trung Quốc - ngoại trừ tiếng Ngô (吳語) - và cũng có trong tiếng Việt, với một số biến âm (euphony) ('mười' thành 'mươi', 'năm' thành 'lăm', 'một' thành 'mốt'...) hoặc nuốt âm (elision) ('hai mươi mốt' thành 'hăm mốt'). Nhật Bản, Hàn Quốc và Thái Lan đã nhập khẩu hệ thập phân từ tiếng Trung Quốc. Nhiều ngôn ngữ khác, có hệ thống số thập phân tích hợp sẵn, có các chữ số đặc biệt cho 'mươi' và 'thập niên'.

Trong các ngôn ngữ bản địa của châu Mỹ như tiếng Quechua và tiếng Aymara, các từ đếm của hệ thập phân được sử dụng gần như nguyên gốc, ví dụ 11 được nói là 'mười một', hoặc 23 được gọi là 'hai mươi ba'.

Một số nhà tâm lý học cho rằng những sai khác về số học trong một ngôn ngữ có thể gây ra sự thiếu nhất quán trong khả năng tính toán của trẻ em, dẫn đến giảm hiệu quả tính toán của chúng.