Hệ phương trình tuyến tính

Trong toán học (đặc biệt là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính có cùng các biến số. Ví dụ:

là hệ bao gồm ba phương trình với ba biến số $x$, $y$, $z$. Một nghiệm của hệ là một giải pháp tuyến tính thỏa mãn các phương trình đã cho. Một nghiệm của hệ này là

Điều này làm cho ba phương trình ban đầu thỏa mãn.

Ví dụ cơ bản

Một dạng phương trình tuyến tính đơn giản nhất là hệ gồm hai phương trình với hai ẩn:

Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế. Đầu tiên, biến đổi phương trình đầu tiên để tính ẩn $x$ theo $y$:

$x=3-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}y.$

Sau đó, thế hệ thức này vào phương trình dưới:

$4\left(3-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}y\right)+9y=15.$

Ta được một phương trình bật nhất theo $y$. Giải ra, ta được $y=1$, và tính lại $x$ được $x=3/2$.

Phương trình dạng tổng quát

Hệ phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số a_{i, j} (a_{i, j} là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến x_j; b là vector chứa các hằng số b_i. Được biểu diễn như sau:

$$

[ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] [ x 1 x 2 ⋮ x k ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}

Nếu các biến của hệ phương trình tuyến tính thuộc trường số học vô hạn (ví dụ như số thực hoặc số phức), chỉ có ba trường hợp có thể xảy ra:

• Hệ phương trình không có nghiệm (vô nghiệm)
• Hệ phương trình có duy nhất một nghiệm
• Hệ phương trình có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học.

Điều kiện tồn tại nghiệm trong trường hợp chung

Trường hợp chung, chúng ta xem xét ma trận hệ số A và ma trận bổ sung cột các số hạng bên phải A' .

;

Do đó, hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

$rank\left(A\right)=rank\left(A^{\prime }\right)=r$.

Chi tiết hơn, chúng ta có:

1. Nếu thì hệ vô nghiệm
2. Nếu $ran\left(A\right)=ran\left(A^{\prime }\right)=r$ thì hệ có nghiệm và
   1. Nếu $rank\left(A\right)=rank\left(A^{\prime }\right)=r=k$ hệ có nghiệm duy nhất
   2. Nếu hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.

(Không có trường hợp $r=rank\left(A\right)>rank\left(A^{\prime }\right)$ hoặc $r=rank\left(A\right)>n$)

• Ví dụ:
  • Hệ

$\{\begin{array}{ccccc}x& +& y& =& 2\\ x& -<!--\; -\; -->& y& =& 0\\ x& -<!--\; -\; -->& 3y& =& -<!--\; -\; -->2\end{array}$ có nghiệm duy nhất $\{\begin{array}{ccc}x& =& 1\\ y& =& 1\end{array}$;

• • Hệ

$\{\begin{array}{ccccccc}x& +& y& +& 2z& =& 3\\ & & y& -<!--\; -\; -->& z& =& 5\end{array}$

có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:

$\{\begin{array}{ccccc}x& =& -<!--\; -\; -->2& -<!--\; -\; -->& 3z\\ y& =& 5& +& z\\ z& \in <!--\; \in \; -->& R\end{array}$

• • Hệ

vô nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt

• Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A b

với A là ma trận nghịch đảo của A.

• Nếu b=0 (mọi b_i bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của $R^n$, nó được gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

Các phương pháp giải

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

• Phép khử Gauss
• Phép phân rã Cholesky
• Phép đệ quy Levinson
• Phép đệ quy Schur
• Phép phân rã giá trị dị thường