Hệ số tám

Hệ số tám, còn gọi là hệ cơ số 8 (Octal Number System), là hệ thống số dùng cơ số 8.

Hệ số tám bao gồm các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Giá trị của nó tăng lên theo các lũy thừa của 8.

Bảng chuyển đổi từ hệ số tám sang các hệ nhị phân, thập phân và thập lục phân

Trong bảng trên, bên phải hiển thị hệ nhị phân. Các số 0 được tô màu trắng, trong khi các số 1 được tô màu đỏ.

Đơn giản hóa hệ số tám

Để đơn giản hóa hệ số tám, chúng ta có thể chuyển sang hệ thập phân. Điều này có nghĩa là mỗi chữ số chỉ được biểu diễn bởi một trong các ký tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hoặc 9. Chúng ta đều quen thuộc với các ký tự này trong hệ thập phân. Khi đếm, chúng ta bắt đầu từ 0 và tiếp tục đến 9, gọi là 'một hàng'.

Với các con số trong một hàng, chúng ta có thể liên tưởng đến phép nhân. Số 5 có thể được hiểu là 5 × 10 (10=1), tương đương với 5 x 1, vì bất kỳ số nào có mũ 0 đều bằng 1 (trừ số 0). Khi dịch chuyển sang trái một vị trí, số mũ của 10 tăng lên một đơn vị. Vì vậy, để biểu diễn số 50, chúng ta sử dụng phương pháp tương tự và viết 5 x 10, hoặc đơn giản hơn là 5 x 10.

$500=(5\times <!--\; \times \; -->{10}^2)+(0\times <!--\; \times \; -->{10}^1)+(0\times <!--\; \times \; -->{10}^0)$

$5834=(5\times <!--\; \times \; -->{10}^3)+(8\times <!--\; \times \; -->{10}^2)+(3\times <!--\; \times \; -->{10}^1)+(4\times <!--\; \times \; -->{10}^0)$

Khi đã sử dụng hết các ký tự trong hệ thập phân, chúng ta di chuyển sang bên trái và bắt đầu với số 1, đại diện cho hàng chục. Sau đó, hàng 'đơn vị' sẽ trở về ký tự đầu tiên, số 0.

Hệ bát phân có cơ số 8 và hoạt động theo nguyên lý tương tự như hệ thập phân, nhưng chỉ sử dụng hai ký tự: 0 và 1. Chúng ta bắt đầu với hàng 'đơn vị', bắt đầu từ 0 và sau đó tăng lên 1. Khi đạt đến số 1, không còn ký tự nào để tiếp tục biểu thị giá trị cao hơn, nên chúng ta phải chuyển số 1 lên 'hàng hai' (tương tự như hàng chục trong hệ thập phân), vì không có ký tự '2' trong hệ nhị phân để biểu thị giá trị này như trong hệ thập phân.

Trong hệ bát phân, giá trị 10 được biểu diễn giống như (1 x 8) + (0 x 8). Giá trị này tương đương với 2 trong hệ thập phân. Chuyển đổi từ hệ bát phân sang thập phân có thể thực hiện như sau:

${43}_8=4\times <!--\; \times \; -->8^1+3\times <!--\; \times \; -->8^0={35}_{10}$

Để hiểu rõ cách chuyển đổi giữa các hệ số, hãy tham khảo phần Phương pháp chuyển đổi dưới đây.

Ngược lại, ta có thể nghĩ theo cách khác. Khi đã sử dụng hết tất cả các ký tự trong hệ số, như dãy số '77777', chúng ta thêm '1' vào phía bên trái và đặt tất cả các con số ở bên phải về 0, tạo thành 100000. Phương pháp này cũng áp dụng cho các ký tự ở giữa dãy số. Ví dụ, với dãy số 100777, nếu thêm 1 vào số này, ta phải dịch chuyển một vị trí sang trái, nâng số 0 ở vị trí thứ tư thành 1, và đặt tất cả các số 1 ở bên phải về 0, tạo thành 101000.

Phép toán trong hệ bát phân

Các phép toán trong hệ bát phân hoạt động tương tự như trong các hệ số khác. Bạn có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, và chia với các số trong hệ bát phân.

Phép cộng

Phép cộng trong hệ bát phân tương đồng với phép cộng trong hệ thập phân và các hệ số khác.

Khi cộng hai số '4' trong hệ bát phân, kết quả là '10', tương đương với số 2 trong hệ thập phân. Tương tự như hệ thập phân, khi tổng các số đơn vị đạt hoặc vượt qua giá trị cơ bản (10), con số ở hàng tiếp theo sẽ được tăng lên:

5 + 5 = 10

7 + 9 = 16

Hiện tượng này được gọi là 'nhớ' hoặc 'mang sang', thường gặp trong hầu hết các hệ thống số khi thực hiện tính toán. Khi tổng vượt quá giá trị cơ bản của hệ, chúng ta sẽ 'nhớ' một đơn vị sang hàng bên trái và thêm một hàng mới. Phương pháp 'nhớ' cũng được áp dụng tương tự trong hệ bát phân:

2 3 4   (nhớ)
+  3 6 2
  """-
=  6 1 6

Trong ví dụ trên, chúng ta cộng hai số: 234₈ (tương đương 156 trong hệ thập phân) và 362₈ (tương đương 242 trong hệ thập phân). Hàng đầu tiên biểu thị các số 'nhớ' hoặc 'mang sang'. Bắt đầu từ cột bên phải nhất, 4 + 2 = 6₈. Cột tiếp theo, 3 + 6 = 9₈; do hệ cơ số 8 nên ta lấy 9 - 8 = 1, viết 1 và nhớ 1. Số 1 được cộng vào cột tiếp theo. Cuối cùng, 2 + 3 = 5 cộng thêm 1 nhớ thành 6. Kết quả là 616 trong hệ bát phân.

Phép trừ

Phép trừ trong hệ bát phân cũng theo quy tắc tương tự. Một số bát phân sẽ được trừ đi một số bát phân khác như sau:

*  (hình sao đánh dấu các cột cần mượn)
     1 7 6 2
−      4 7 0
""""
=    1 2 7 2

Khi trừ hai số dương, tương đương với việc 'cộng' một số âm với giá trị tuyệt đối tương ứng; máy tính thường sử dụng ký hiệu Bù 8 để biểu diễn số âm. Ký hiệu này giúp loại bỏ việc cần một phương pháp trừ riêng biệt. Tham khảo thêm chi tiết trong phần Bù 8.

Bắt đầu từ cột cuối cùng bên phải, 2 - 0 = 2₈. Tiếp theo, cột thứ hai từ bên phải, 6 - 7, do 6 nhỏ hơn 7 nên cần mượn 1 từ cột bên trái, làm cho 7 giảm còn 6 và thêm 8 vào cột này, trở thành 6 + 8 = 14. Do đó, 14 - 7 = 7₈. Cột thứ ba, vì đã mượn 1 từ cột trước, nên 7 trở thành 6, do đó 6 - 4 = 2₈. Cuối cùng, cột đầu tiên bên trái, 1 - 0 = 1₈. Kết quả cuối cùng là 1272₈.

Phép nhân

Phép nhân trong hệ bát phân tương tự như cách thực hiện trong hệ thập phân. Hai số A và B được nhân bằng cách tính các tích cục bộ: với mỗi chữ số trong B, ta nhân nó với từng chữ số của A và viết kết quả vào một hàng mới, mỗi hàng mới dịch chuyển sang bên trái, sao cho chữ số cuối cùng nằm cùng cột với chữ số hiện tại trong B. Tổng của tất cả các tích này sẽ cho ra kết quả cuối cùng của phép nhân.

Ví dụ, hai số bát phân 573 và 464 được nhân như sau:

5 7 3  (A)
      ×  4 6 4  (B)
      ""-
       2 7 5 4  
 +   4 3 4 2   
 + 2 7 5 4  
  """---
=  3 4 3 7 7 4

Ở cột đầu tiên bên phải, ta có 3 × 4 = 12, tức là 1 × 8 + 4, nên ghi 4 và nhớ 1. Cột tiếp theo, 7 × 4 = 28, cộng thêm 1 nhớ thành 29, tức là 3 × 8 + 5, ghi 5 và nhớ 3. Tiếp tục như vậy cho các cột còn lại và cộng các hàng như trong phép cộng bát phân.

Phép chia

Phép chia trong hệ bát phân thực hiện tương tự như phép chia trong hệ thập phân.

________
1 1 4 7 |1 1

Ta có số bị chia là 1147₈, tương đương với 615 trong hệ thập phân, và số chia là 11₈, tương đương với 9 trong hệ thập phân. Quy trình chia tương tự như trong hệ thập phân. Lấy hai chữ số đầu của số bị chia 11₈ để chia cho số chia, kết quả là 1, ghi lên trên. Nhân kết quả này với số chia và trừ nó từ ba chữ số đầu của số bị chia. Hạ một chữ số tiếp theo xuống để tạo thành một dãy ba chữ số, tương tự số chữ số của số chia:

1
    ________
    1 1 4 7 | 1 1
  − 1 1
    ---
      0 4

Lặp lại quy trình trên với các hàng số mới, tiếp tục cho đến khi tất cả các chữ số của số bị chia đã được xử lý xong:

1 0 4
    ________
    1 1 4 7 | 1 1
  − 1 1
    ---
      0 4
    − 0 0 
      ---
        4 7 
      − 4 4 
        ---
          3

Kết quả của phép chia 1147₈ cho 11₈ là 104₈, như được trình bày trên bảng chia, với số dư còn lại là 3₈. Trong hệ thập phân, 615 chia cho 9 cho kết quả là 68, dư 3.

Phương pháp chuyển đổi giữa hệ bát phân và các hệ khác

Hệ thập phân

Phương pháp này có thể áp dụng để chuyển đổi giữa các hệ cơ số. Trong các hệ thống số, giá trị của con số được xác định bởi vị trí của nó trong dãy các ký hiệu. Những con số ở vị trí thấp hơn (ít quan trọng hơn) thường có số mũ nhỏ hơn theo cơ số gốc (2 < 2). Số mũ đầu tiên là số lượng chữ số trừ 1. Ví dụ, một số có 5 chữ số có số mũ đầu tiên là 4. Trong hệ thập phân, cơ số là 10, nên số cuối cùng bên trái của số có 5 chữ số có số mũ là 4, tương ứng với vị trí 10 (chục nghìn). Xem ví dụ sau:

97352 tương đương với:

9 × 10 (9 ×	10000 =	90000)	cộng
7 × 10 (7 ×	1000 =	7000)	cộng
3 × 10 (3 ×	100 =	300)	cộng
5 × 10 (5 ×	10 =	50)	cộng
2 × 10 (2 ×	1 =	2)

Phép nhân với cơ số hệ thống biến thành một phép toán đơn giản. Vị trí các chữ số được dịch sang trái một chỗ, và số 0 được thêm vào phía cuối dãy. Ví dụ, 9735 nhân với 10 cho kết quả là 97350. Để xác định giá trị của một dãy số, khi thêm một chữ số vào cuối, ta nhân tất cả các chữ số trước với cơ số hệ, trừ số cuối cùng, rồi cộng thêm số cuối cùng. Ví dụ, 97352 = 9735 × 10 + 2. Trong hệ bát phân, 264217₈ = 26421₈ × 8 + 7. Đây là cách thức chuyển đổi cơ số, trong đó mỗi bước đều tính toán theo công thức 8 × k + 0 hoặc 8 × k + 1 với số nguyên k, và kết quả là số mới cần chuyển đổi.

128 tương đương:

16 × 8 +		0
(2 × 8 +	0) × 8 +	0

2 × 10₈ × 10₈

200₈

Vì vậy, để chuyển đổi một số nguyên từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, ta thực hiện phép chia số đó cho 2, và ghi số dư vào hàng (đơn vị) của nó. Kết quả chia tiếp tục được chia cho 2, và số dư được ghi vào hàng (chục). Quá trình này lặp lại cho đến khi thương số của phép chia là 0.

Chẳng hạn, số 128 trong hệ thập phân được biểu thị như sau:

Phép tính	Số dư
128 ÷ 8 = 16	0
16 ÷ 8 = 2	0

Khi xếp các số dư theo thứ tự từ dưới lên, ta thu được số nhị phân 1110110₂.

Để chuyển đổi từ hệ bát phân sang hệ thập phân, ta thực hiện ngược lại. Bắt đầu từ bên trái, nhân đôi kết quả rồi cộng thêm từng chữ số cho đến khi không còn chữ số nào. Ví dụ, chuyển đổi số 5617₈ sang hệ thập phân như sau:

Kết quả	Số còn lại
0	5617
0 x 8 + 5 = 5	617
5 x 8 + 6 = 46	17
46 x 8 + 1 = 369	7
369 x 8 + 7 = 2959

Kết quả cuối cùng là 2959.

Phần phân số của một số tự nhiên được chuyển đổi bằng cách sử dụng cùng phương pháp, dựa trên quy tắc chuyển đổi hệ bát phân để nhân hoặc chia giá trị của số đó với 8.

Hệ thống nhị phân

Ví dụ: số 123402₈ chuyển đổi sang hệ nhị phân là 1010011100000010₂

và số 101101010011001₂ tương đương với

Phân tách số:

101 101 010 011 001₂ tương đương với 55231₈

Danh sách các hệ số a có thể áp dụng phương pháp này ($a=b^x$) như sau:

• a có thể nhận giá trị như sau:
  • 9 = 3
  • 16 = 2
  • 4 = 2
  • 32 = 2
  • 36 = 6

Do máy tính thường sử dụng hệ nhị phân, quy trình chuyển đổi của máy tính thường bắt đầu bằng việc chuyển đổi qua hệ nhị phân, rồi từ đó sử dụng sự kết nối trực tiếp giữa hệ bát phân và nhị phân để chuyển đổi sang hệ bát phân.

• Hệ nhị phân
• Hệ thập lục phân
• Hệ thập phân
• Số Hex

Các liên kết bên ngoài

• Trình chuyển đổi từ Nhị phân sang Thập phân và Hexadecimal