Buzz
Trong lĩnh vực vật lý và các ngành khoa học khác, một hệ thống không tuyến tính khác biệt với một hệ thống tuyến tính ở chỗ không tuân theo nguyên tắc xếp chồng - nghĩa là đầu ra của hệ thống không tuyến tính không đơn giản là tổng của đầu vào.
Trong toán học, một hệ phương trình không tuyến tính là một tập hợp các phương trình đồng thời trong đó các biến số (hoặc các hàm chưa biết trong trường hợp phương trình vi phân) xuất hiện dưới dạng các đa thức bậc cao hơn hoặc trong các hàm không phải là đa thức bậc một. Nói cách khác, trong hệ phương trình không tuyến tính, các phương trình không thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các biến hoặc hàm chưa biết. Việc xuất hiện của các hàm phi tuyến trong các phương trình không phải là vấn đề. Đặc biệt, một phương trình vi phân được coi là tuyến tính nếu nó tuyến tính trong các hàm chưa biết và các đạo hàm của chúng, ngay cả khi có sự xuất hiện của các biến số khác.
Thường thì hành vi của một hệ thống không tuyến tính được mô tả thông qua một hệ phương trình không tuyến tính.
Các bài toán không tuyến tính là mối quan tâm của các kỹ sư, nhà vật lý, nhà toán học và nhiều nhà khoa học khác bởi vì hầu hết các hệ thống tự nhiên là không tuyến tính. Vì việc giải các phương trình không tuyến tính rất phức tạp, nên các hệ thống không tuyến tính thường được xấp xỉ bằng các phương trình tuyến tính (tuyến tính hóa). Điều này hoạt động tốt trong một khoảng chính xác nhất định và cho một số giá trị đầu vào cụ thể, nhưng một số hiện tượng thú vị như hỗn loạn và kỳ dị có thể bị che khuất bởi sự tuyến tính hóa. Do đó, một số đặc điểm của hành vi hệ thống không tuyến tính thường là hỗn loạn, không thể đoán trước hoặc trái ngược với dự đoán thông thường. Dù hành vi hỗn loạn có thể giống như hành vi ngẫu nhiên, nhưng nó hoàn toàn không phải là ngẫu nhiên.
Ví dụ, một số yếu tố của thời tiết có thể gây ra sự hỗn loạn, trong đó những thay đổi nhỏ ở một phần của hệ thống có thể dẫn đến các hiệu ứng phức tạp. Sự phi tuyến tính này là một trong những nguyên nhân khiến dự đoán dài hạn chính xác vẫn chưa thể thực hiện được với công nghệ hiện tại.
Định nghĩa
Trong toán học, hàm tuyến tính (hoặc ánh xạ) là một hàm thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau đây:
- Tính cộng hoặc tính xếp chồng:
- Tính đồng nhất:
Tính cộng bao gồm tính đồng nhất đối với bất kỳ số hữu tỉ α nào, và đối với hàm liên tục, đối với bất kỳ số thực α nào. Tuy nhiên, đối với số phức α, tính đồng nhất không nhất thiết phải đồng với tính cộng. Ví dụ, một ánh xạ phản tuyến tính có thể có tính cộng nhưng không có tính đồng nhất. Các điều kiện về tính cộng và đồng nhất thường được kết hợp trong nguyên lý xếp chồng.
Một phương trình có dạng: f(x) = C
được gọi là tuyến tính nếu là một ánh xạ tuyến tính (như đã định nghĩa ở trên), ngược lại được gọi là phi tuyến. Phương trình này được gọi là đồng nhất nếu .
Định nghĩa rất tổng quát, trong đó có thể là bất kỳ đối tượng toán học nào (số, vector, hàm,...) và hàm có thể là bất kỳ ánh xạ nào, bao gồm cả tích phân hoặc vi phân với những giới hạn liên quan (như các giá trị ranh giới). Nếu có chứa đạo hàm theo , kết quả sẽ là một phương trình vi phân.
Phương trình đại số phi tuyến
Phương trình đại số phi tuyến là những phương trình được xác định bằng cách thiết lập đa thức bằng không. Ví dụ:
Đối với phương trình đại số đơn thức, có thể sử dụng thuật toán để tìm nghiệm của phương trình (như bộ giá trị cho các biến làm thỏa mãn phương trình). Tuy nhiên, các hệ phương trình đại số phức tạp hơn nhiều; việc nghiên cứu chúng là động lực chính cho lĩnh vực hình học đại số, một nhánh khó của toán học hiện đại. Việc xác định liệu một hệ đại số có lời giải phức tạp hay không vẫn là một thách thức (xem Nullstellensatz của Hilbert). Dù vậy, các hệ phương trình đa thức với số lượng hữu hạn lời giải phức tạp hiện đã được hiểu rõ hơn và có các phương pháp hiệu quả để giải quyết chúng.
Quan hệ hồi quy phi tuyến
Quan hệ hồi quy phi tuyến mô tả các điều kiện tiếp theo của một dãy dưới dạng hàm phi tuyến của các điều kiện trước đó. Ví dụ về quan hệ hồi quy phi tuyến bao gồm ánh xạ logistic và các quan hệ xác định các dãy Hofstadter khác nhau. Các mô hình phi tuyến rời rạc đại diện cho một lớp rộng các quan hệ hồi quy phi tuyến bao gồm mô hình NARMAX (Nonlinear Autoregressive Moving Average with eXogenous inputs - hồi quy phi tuyến dịch chuyển đến trung bình với các đầu vào ngoại sinh) và các quy trình xác định và phân tích hệ thống phi tuyến liên quan. Những phương pháp này giúp nghiên cứu các hành vi phi tuyến phức tạp trong thời gian, tần số, và các miền không-thời gian.
Các phương trình vi phân phi tuyến
Một hệ phương trình vi phân được coi là phi tuyến nếu nó không phải là tuyến tính. Các bài toán liên quan đến phương trình vi phân phi tuyến rất đa dạng và các phương pháp giải hoặc phân tích tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Ví dụ về phương trình vi phân phi tuyến bao gồm các phương trình Navier-Stokes trong động lực học chất lỏng và các phương trình Lotka-Volterra trong sinh học.
Một trong những thách thức lớn nhất với các bài toán phi tuyến là khó khăn trong việc áp dụng các lời giải đã biết để tìm ra lời giải mới. Ngược lại, trong các bài toán tuyến tính, các lời giải độc lập tuyến tính có thể kết hợp với nhau để xây dựng các lời giải tổng quát nhờ nguyên lý xếp chồng. Ví dụ điển hình là bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Dirichlet, nơi các lời giải có thể được diễn tả dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm hình sin với các tần số khác nhau, làm cho các lời giải rất linh hoạt. Mặc dù có thể tìm thấy nhiều lời giải cụ thể cho các phương trình phi tuyến, việc thiếu nguyên lý xếp chồng khiến cho việc xây dựng các lời giải mới trở nên khó khăn.
Các phương trình vi phân thông thường
Các phương trình vi phân bậc một thường có thể được giải chính xác bằng phương pháp tách biến, đặc biệt là trong trường hợp các phương trình độc lập. Ví dụ, phương trình phi tuyến
có là lời giải tổng quát (và u = 0 có thể là một lời giải riêng, tùy thuộc vào giới hạn của lời giải tổng quát khi C tiến tới vô cực). Phương trình này không phải là tuyến tính vì nó có thể được viết dưới dạng
và phía bên trái của phương trình trên không phải là một hàm tuyến tính của u và các đạo hàm của nó. Nếu u được thay bằng u, bài toán sẽ trở thành tuyến tính (bài toán phân rã dạng hàm mũ).
Các phương trình vi phân bậc hai hoặc cao hơn, bao gồm cả các hệ phương trình phi tuyến, thường không có lời giải dạng đóng. Dù vậy, các giải pháp tiềm ẩn và những giải pháp liên quan đến tích phân không cơ bản vẫn có thể gặp.
Các phương pháp phổ biến để phân tích định lượng các phương trình vi phân phi tuyến bao gồm:
- Ví dụ trong bất kỳ lượng bảo toàn nào, đặc biệt trong các hệ thống Hamilton.
- Kiểm tra lượng phân tán (xem hàm Lyapunov) tương tự như lượng bảo toàn.
- Tuyến tính hóa thông qua chuỗi Taylor.
- Biến đổi các biến thành các biến mới để dễ nghiên cứu hơn.
- Lý thuyết rẽ nhánh.
- Phương pháp nhiễu loạn (cũng có thể áp dụng cho các phương trình đại số).
Các phương trình vi phân từng phần
Phương pháp cơ bản phổ biến để nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần phi tuyến là biến đổi các biến hoặc bài toán thành một dạng mới đơn giản hơn (có thể là tuyến tính). Đôi khi, phương trình này có thể được chuyển đổi thành một hoặc nhiều phương trình vi phân thường, như phương pháp tách biến, phương pháp này luôn hữu ích dù các phương trình vi phân thường mới có thể giải được hay không.
Một chiến thuật phổ biến, mặc dù không hoàn toàn mang tính toán học, thường thấy trong cơ lưu chất và nhiệt, là sử dụng phân tích bậc thang để đơn giản hóa phương trình tổng quát trong một bài toán giá trị biên cụ thể. Ví dụ, các phương trình Navier-Stokes rất phi tuyến có thể được đơn giản hóa thành một phương trình vi phân tuyến tính từng phần trong các trường hợp quá độ, phân lớp, và dòng chảy một chiều trong ống tròn. Phân tích bậc thang giúp xác định điều kiện dòng chảy phân lớp và một chiều, đồng thời cung cấp các phương trình đơn giản hóa.
Các phương pháp khác bao gồm kiểm tra các đặc tính và áp dụng các phương pháp đã nêu cho phương trình vi phân thường.
Dao động của quả lắc
Một bài toán phi tuyến cổ điển được nghiên cứu sâu là động năng của một con lắc dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫn. Sử dụng cơ học Lagrange, chuyển động của con lắc có thể được mô tả bằng phương trình phi tuyến như sau
Trong đó hướng trọng lực là 'đi xuống' và θ là góc của quả lắc so với vị trí cân bằng của nó, như thể hiện trong hình bên phải. Một phương pháp để giải phương trình này là sử dụng dθ/dt, đây là một hệ số tích phân, cuối cùng dẫn đến
đây là một giải pháp tiềm ẩn bao gồm một tích phân elliptic. 'Giải pháp' này thường ít hữu ích vì hầu hết các thuộc tính của giải pháp đều ẩn trong tích phân không cơ bản (dù C₀=0).
Một cách khác để tiếp cận vấn đề là tuyến tính hóa hàm phi tuyến (như hàm sin trong trường hợp này) tại các điểm quan tâm khác nhau thông qua mở rộng Taylor. Ví dụ, tuyến tính hóa tại θ=0, gọi là xấp xỉ góc nhỏ, là
do sin(θ) ≈ θ đối với θ ≈ 0. Đây là một dao động điều hòa đơn giản tương ứng với dao động của con lắc gần cuối đáy của quỹ đạo. Một tuyến tính khác là ở θ=π, tương ứng với con lắc thẳng đứng:
do sin(θ) ≈ π−θ đối với θ ≈ π. Phương pháp này sử dụng hàm hyperbolic và không giống như xấp xỉ góc nhỏ, xấp xỉ này không ổn định, tức là |θ| sẽ thường tăng không giới hạn, dù các giải pháp chặn có thể được tìm thấy. Điều này tương ứng với sự khó khăn trong việc cân bằng một con lắc thẳng đứng, nghĩa là trạng thái không ổn định.
Một phương pháp tuyến tính hóa thú vị khác là xung quanh θ=π/2, và xung quanh điểm sin(θ) ≈ 1.
Điều này tương ứng với bài toán rơi tự do. Một cách tiếp cận hữu ích để hiểu động lực học của con lắc ly tâm là kết hợp các tuyến tính hóa như vậy, như thể hiện trong hình bên phải. Các kỹ thuật khác có thể được áp dụng để tìm miêu tả pha chính xác và xấp xỉ thời gian.
Các dạng hành vi phi tuyến
- Hỗn độn cổ điển - hành vi của hệ thống không thể dự đoán chính xác.
- Đa ổn định - hệ thống chuyển đổi giữa hai hoặc nhiều trạng thái khác nhau.
- Dao động không tuần hoàn - các hàm không lặp lại giá trị sau một khoảng thời gian, còn gọi là dao động hỗn loạn.
- Biên độ chết - dao động trong hệ thống dừng lại do các tương tác hoặc phản hồi từ hệ thống.
- Soliton - sóng đơn tự duy trì.
Các ví dụ về phương trình phi tuyến
Phần mềm giải hệ phương trình phi tuyến
- interalg – Phần mềm giải phương trình phi tuyến sử dụng nền tảng OpenOpt / FuncDesigner, hỗ trợ tìm kiếm một hoặc tất cả các nghiệm của hệ phương trình đại số phi tuyến
- Bộ sưu tập các mô hình phi tuyến và ứng dụng mẫu Lưu trữ ngày 2008-03-05 tại Wayback Machine (Phòng thí nghiệm Ảo Đại học Monash)
- FyDiK – Phần mềm mô phỏng các hệ thống động học phi tuyến
Xem thêm
Các liên kết bên ngoài
- Chương trình Nghiên cứu Điều khiển và Điều phối (CCRP)
- Viện Hệ thống Phức tạp New England: Khái niệm về Hệ thống Phức tạp
- Động lực học Phi tuyến I: Chaos tại OpenCourseWare của MIT
- Mô hình Phi tuyến Lưu trữ ngày 2008-12-19 tại Wayback Machine - Cơ sở dữ liệu mô hình phi tuyến cho các hệ thống vật lý (MATLAB)
- Trung tâm Nghiên cứu Phi tuyến tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos
- YAN Kun (2011). Nonlinstor - Một yếu tố mạch điện dựa trên dạng phương trình vi phân phi tuyến (Ghi chú ngắn gọn về phương trình kết nối (R)), Xi'an: Viện Khoa học Phi tuyến Hiện đại Xi'an.
