Hệ thống tọa độ

Trong hình học, hệ tọa độ là một hệ thống sử dụng một hoặc nhiều số, gọi là tọa độ, để xác định vị trí của các điểm hoặc các đối tượng hình học trên một không gian, chẳng hạn như không gian Euclide. Thứ tự của các tọa độ rất quan trọng và có thể được xác định qua vị trí trong một danh sách hoặc bằng các ký hiệu như trong 'trục x'. Các tọa độ thường là số thực trong toán học cơ bản, nhưng có thể là số phức hoặc các phần tử trong các cấu trúc trừu tượng hơn như vành giao hoán. Việc áp dụng hệ tọa độ giúp chuyển đổi các bài toán hình học thành bài toán số học và ngược lại, cơ sở của hình học giải tích.

Các loại hệ tọa độ phổ biến

Trục số

Một ví dụ cơ bản về hệ tọa độ là việc xác định các điểm trên một đường bằng các số thực thông qua trục số. Trong hệ này, một điểm gốc O được chọn trên đường thẳng đã cho. Tọa độ của một điểm P được xác định bởi khoảng cách có dấu từ O đến P, với khoảng cách có dấu thể hiện hướng dương hoặc âm tùy vào vị trí của điểm trên đoạn thẳng. Mỗi điểm có một tọa độ duy nhất và mỗi số thực tương ứng với một điểm duy nhất.

Hệ tọa độ Descartes

Một hệ tọa độ tiêu biểu là hệ tọa độ Descartes. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc được chọn, và tọa độ của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến các đường thẳng. Trong không gian ba chiều, ba mặt phẳng trực giao được chọn, và tọa độ của một điểm là khoảng cách có dấu từ điểm đó đến từng mặt phẳng. Hệ này có thể được mở rộng để tạo ra n tọa độ cho bất kỳ điểm nào trong không gian Euclid n chiều.

Dựa vào hướng và thứ tự của các trục tọa độ, hệ thống ba chiều có thể là hệ tọa độ thuận tay phải hoặc thuận tay trái. Đây là một trong nhiều loại hệ tọa độ.

Hệ tọa độ cực

Một hệ tọa độ thông dụng khác cho mặt phẳng là hệ tọa độ cực. Trong hệ này, một điểm được chọn làm cực và một tia từ điểm đó xác định trục cực. Đối với một góc θ đã cho, sẽ có một đường thẳng qua cực tạo với trục cực một góc θ (đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục đến đường thẳng). Trên đường thẳng này, điểm duy nhất có khoảng cách có dấu từ điểm gốc là r tương ứng với giá trị r đã cho. Mỗi cặp tọa độ (r, θ) xác định một điểm duy nhất, nhưng một điểm có thể được biểu diễn bởi nhiều cặp tọa độ khác nhau. Ví dụ, các cặp (r, θ), (r, θ+2π) và (-r, θ+π) đều chỉ ra cùng một điểm. Cực được biểu diễn bằng (0, θ) cho bất kỳ giá trị nào của θ.

Hệ tọa độ trụ và cầu

Có hai cách phổ biến để mở rộng hệ tọa độ cực trong không gian ba chiều. Trong hệ tọa độ trụ, một tọa độ z tương tự như trong tọa độ Descartes được thêm vào hệ tọa độ cực r và θ, tạo thành bộ ba (r, θ, z). Hệ tọa độ cầu mở rộng thêm một bước bằng cách chuyển đổi cặp tọa độ trụ (r, z) thành tọa độ cực (ρ, φ) để tạo thành bộ ba (ρ, 

Hệ tọa độ đồng nhất

Trong mặt phẳng, một điểm có thể được diễn tả bằng các tọa độ đồng nhất dưới dạng bộ ba (x, y, z), trong đó x/z và y/z tương ứng với tọa độ Descartes của điểm đó. Hệ tọa độ này giới thiệu một tọa độ 'bổ sung' vì chỉ cần hai tọa độ để xác định một điểm trên mặt phẳng. Tuy nhiên, nó rất hữu ích vì có thể đại diện cho bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng xạ ảnh mà không cần dùng đến vô cực. Nói chung, hệ tọa độ đồng nhất là hệ mà chỉ các tỷ lệ của tọa độ là quan trọng, chứ không phải các giá trị thực cụ thể.

Các hệ tọa độ phổ biến khác

Một số hệ tọa độ thường gặp khác bao gồm:

• Tọa độ đường cong là sự mở rộng của các hệ tọa độ thông thường; hệ này dựa trên giao điểm của các đường cong.
  • Tọa độ trực giao: các mặt tọa độ vuông góc với nhau
  • Tọa độ xiên: các mặt tọa độ không vuông góc
• Hệ tọa độ cực log biểu diễn một điểm trong mặt phẳng bằng cách sử dụng logarit của khoảng cách từ gốc tọa độ và một góc đo từ đường tham chiếu qua gốc tọa độ.
• Tọa độ Plücker là phương pháp biểu diễn các đường trong không gian Euclid 3D bằng sáu số trong tọa độ đồng nhất.
• Tọa độ tổng quát được áp dụng trong xử lý cơ học Lagrange.
• Tọa độ hình nón được sử dụng trong xử lý cơ học Hamilton.
• Hệ tọa độ trung tâm được áp dụng trong đồ thị bậc ba và phân tích tam giác.
• Tọa độ tam giác được sử dụng trong ngữ cảnh hình tam giác.

Có nhiều phương pháp để mô tả đường cong mà không cần tọa độ, sử dụng các phương trình nội tại và đại lượng bất biến như độ cong và độ dài cung. Dưới đây là một số hệ tọa độ liên quan:

• Phương trình Whewell kết nối độ dài cung với góc tiếp tuyến.
• Phương trình Cesàro liên hệ độ dài và độ cong của cung.

Tọa độ của các đối tượng hình học

Hệ tọa độ thường được dùng để xác định vị trí của điểm, nhưng cũng có thể áp dụng để mô tả vị trí của các hình phức tạp hơn như đường thẳng, mặt phẳng, hình tròn hoặc hình cầu. Ví dụ, tọa độ Plücker dùng để xác định vị trí của một đường trong không gian. Khi cần, kiểu hình được mô tả có thể xác định loại hệ tọa độ; chẳng hạn, thuật ngữ tọa độ đường chỉ các hệ tọa độ xác định vị trí của đường.

Các hệ tọa độ cho hai tập hợp hình học khác nhau có thể tương đương về mặt phân tích. Ví dụ, hệ tọa độ đồng nhất cho điểm và đường trong mặt phẳng xạ ảnh. Hai hệ tọa độ như vậy được gọi là nhị nguyên. Hệ nhị nguyên có tính chất là kết quả từ hệ này có thể chuyển đổi sang hệ khác, vì chúng chỉ là những cách diễn giải khác nhau của cùng một phân tích; điều này được gọi là nguyên tắc đối ngẫu.

Chuyển đổi

Vì có nhiều hệ tọa độ khác nhau để mô tả các hình hình học, việc hiểu mối quan hệ giữa chúng là rất quan trọng. Những mối quan hệ này được diễn đạt qua phép biến đổi tọa độ, cung cấp công thức cho tọa độ trong một hệ dưới dạng tọa độ trong hệ khác. Ví dụ, trong mặt phẳng, nếu tọa độ Descartes (x, y) và tọa độ cực (r, θ) có cùng gốc tọa độ và trục cực là trục x dương, thì phép biến đổi tọa độ từ cực sang Descartes được cho bởi x = r cosθ và y = r sinθ.

Với mỗi ánh xạ song ánh từ không gian đến chính nó, hai hệ tọa độ có thể liên kết với nhau như sau:

• sao cho tọa độ mới của ảnh của mỗi điểm giống với tọa độ cũ của điểm gốc (công thức ánh xạ là nghịch đảo của công thức biến đổi tọa độ)
• sao cho tọa độ cũ của ảnh của mỗi điểm giống với tọa độ mới của điểm gốc (công thức ánh xạ giống như công thức biến đổi tọa độ)

Ví dụ, trên trục số 1D, nếu ánh xạ là một phép tịnh tiến sang phải 3 đơn vị, thì ánh xạ đầu tiên di chuyển gốc tọa độ từ 0 đến 3, làm cho tọa độ của mỗi điểm giảm đi 3, trong khi ánh xạ thứ hai di chuyển gốc tọa độ từ 0 đến −3, làm cho tọa độ của mỗi điểm tăng thêm 3.

Đường/đường cong và mặt phẳng/bề mặt tọa độ

Trong không gian hai chiều, nếu một trong các tọa độ trong hệ tọa độ được giữ cố định và tọa độ còn lại thay đổi, thì đường cong kết quả được gọi là đường cong tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes, các đường cong tọa độ thực chất là các đường thẳng, do đó chúng được gọi là các trục tọa độ. Cụ thể, chúng là các đường song song với một trong các trục tọa độ. Trong các hệ tọa độ khác, đường cong tọa độ có thể là đường cong thực sự. Ví dụ, trong tọa độ cực, các đường cong tọa độ được tạo thành bằng cách giữ r cố định là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ. Hệ tọa độ mà một số đường cong tọa độ không phải là đường thẳng được gọi là hệ tọa độ cong. Quy trình này không phải lúc nào cũng hợp lý, chẳng hạn không có đường cong tọa độ nào trong hệ tọa độ đồng nhất.

Trong không gian ba chiều, nếu một tọa độ được giữ cố định và hai tọa độ còn lại thay đổi, thì bề mặt tạo thành được gọi là mặt tọa độ. Ví dụ, các mặt tọa độ tạo thành bằng cách giữ ρ cố định trong hệ tọa độ cầu là các mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ. Trong không gian ba chiều, giao điểm của hai mặt tọa độ là một đường cong tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes, có thể nói về các mặt phẳng tọa độ.

Tương tự, siêu bề mặt tọa độ là không gian (n − 1) chiều được tạo thành bằng cách cố định một tọa độ duy nhất trong hệ tọa độ n chiều.

Bản đồ tọa độ

Khái niệm về bản đồ tọa độ hay biểu đồ tọa độ là trung tâm của lý thuyết đa tạp. Bản đồ tọa độ về cơ bản là một hệ tọa độ cho một phần của không gian cụ thể, đảm bảo mỗi điểm có duy nhất một tập tọa độ. Cụ thể hơn, bản đồ tọa độ là một phép đồng phôi từ một tập con mở của không gian X đến tập con mở của R. Thường thì không thể cung cấp một hệ tọa độ nhất quán cho toàn bộ không gian, khi đó một tập hợp các bản đồ tọa độ kết hợp lại thành một atlas bao phủ toàn bộ không gian. Một không gian được trang bị tập bản đồ như vậy gọi là đa tạp. Cấu trúc bổ sung có thể được xác định trên một đa tạp nếu chúng nhất quán nơi các bản đồ tọa độ chồng lên nhau. Ví dụ, một đa tạp khả vi là một đa tạp mà sự thay đổi tọa độ từ bản đồ này sang bản đồ khác luôn là một hàm khả vi.

Tọa độ dựa trên định hướng

Trong hình học và động học, hệ tọa độ được dùng để mô tả vị trí (tuyến tính) của các điểm và vị trí góc của các trục, mặt phẳng và vật thể rắn. Đối với trường hợp thứ hai, hướng của hệ tọa độ thứ hai (thường gọi là 'cục bộ'), cố định với nút, được xác định dựa trên hệ tọa độ thứ nhất (thường gọi là hệ tọa độ 'toàn cầu' hoặc 'thế giới'). Ví dụ, hướng của một phần cứng có thể được biểu diễn bằng một ma trận định hướng, chứa trong 3 cột của nó là tọa độ Descartes của 3 điểm. Những điểm này được dùng để xác định hướng của các trục của hệ cục bộ; chúng là các đầu của ba vectơ đơn vị thẳng hàng với các trục đó.

Tọa độ trong địa lý

Hệ tọa độ địa lý giúp xác định vị trí mọi điểm trên Trái Đất bằng hai tọa độ của hệ tọa độ cầu liên quan đến trục quay của Trái Đất, gồm kinh độ và vĩ độ.

Tọa độ toán học

Một hệ tọa độ (hay bản đồ) trên một tập mở U của một đa tạp M là một tập hợp n hàm số thực x^1, … , x^n: U → R thỏa mãn một số điều kiện nhất định (ví dụ như hàm ϕ: U → R^n phải là phép đồng phôi hoặc phép vi phôi bậc k, hay phép vi phôi trơn lên ảnh của nó). Có nhiều hệ tọa độ được sử dụng trong toán học.

Không gian 2 chiều

• Hệ tọa độ Descartes: xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng bằng một cặp số tọa độ (x, y) ứng với các phép chiếu vuông góc lên hai đường thẳng vuông góc, gọi là các trục tọa độ.
• Hệ tọa độ cực: là hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M trên mặt phẳng được xác định bởi bán kính và góc phương vị của nó. Nó chỉ mô tả được một phần của mặt phẳng hai chiều (xem tính duy nhất của tọa độ cực).

Không gian 3 chiều

• Hệ tọa độ Descartes.
• Hệ tọa độ cầu: hệ tọa độ không gian 3 chiều xác định vị trí một điểm bằng khoảng cách, góc nâng và góc kinh độ.
• Hệ tọa độ đồng nhất trong không gian ba chiều là kết quả của phép nhúng R^3 → PR^3.

Không gian xạ ảnh

• Tọa độ đồng nhất

Hệ tọa độ trắc địa

Trên một đa tạp Riemann, hệ tọa độ trắc địa tại điểm p được xác định bởi ánh xạ bản đồ E ∘ exp_p^{-1}: U → R^n với bất kỳ đẳng cấu nào E: T_p M → R^n. Điều này cũng được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn.

Hệ tọa độ trong trắc địa và bản đồ

Trong lĩnh vực trắc địa và bản đồ, các hệ tọa độ bao gồm:

• Hệ tọa độ địa lý: Kinh độ và vĩ độ
• Hệ tọa độ trắc địa: (B, L, H)
• Hệ tọa độ phẳng: (XYH) theo Việt Nam hoặc (NEH) theo các nước châu Âu và châu Mỹ

Hệ tọa độ thiên văn

Trong thiên văn học, hệ tọa độ thiên văn là một hệ tọa độ mặt cầu dùng để xác định vị trí biểu kiến của các thiên thể trên thiên cầu. Có nhiều loại hệ tọa độ khác nhau được sử dụng trong thiên văn.

• Hệ tọa độ chân trời với mặt phẳng tham chiếu là mặt phẳng chân trời tại vị trí người quan sát.
• Hệ tọa độ xích đạo với mặt phẳng tham chiếu là mặt phẳng xích đạo của Trái Đất.
• Hệ tọa độ hoàng đạo dùng mặt phẳng hoàng đạo làm mặt phẳng tham chiếu.
• Hệ tọa độ thiên hà dùng mặt phẳng Ngân Hà làm mặt phẳng tham chiếu.
• Hệ tọa độ siêu thiên hà.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., 'Coordinate System' từ MathWorld.