Hệ thống tuyến tính

Hệ thống tuyến tính là mô hình toán học dựa trên việc sử dụng toán tử tuyến tính. Các hệ thống này thường đơn giản hơn nhiều so với các hệ thống phi tuyến. Chúng rất quan trọng trong lý thuyết điều khiển tự động, xử lý tín hiệu và viễn thông. Ví dụ, trong viễn thông không dây, môi trường truyền thường được mô phỏng bằng các hệ thống tuyến tính.

Khái niệm 

Một hệ thống tổng quát có thể được mô tả bởi một toán tử, $H$, ánh xạ đầu vào, $x\left(t\right)$, là hàm của $t$ đến đầu ra, $y\left(t\right)$, mô tả kiểu hộp đen. Các hệ thống tuyến tính thỏa mãn tính chất chồng chập với hai đầu vào hợp lệ.

$x_1\left(t\right)$

$x_2\left(t\right)$

Cũng như các đầu ra tương ứng

$y_1\left(t\right)=H\left\{x_1\left(t\right)\right\}$

$y_2\left(t\right)=H\left\{x_2\left(t\right)\right\}$

Một hệ thống tuyến tính cần phải thỏa mãn

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{y}_1\left(t\right)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{y}_2\left(t\right)=H\left\{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{x}_1\left(t\right)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{x}_2\left(t\right)\right\}$

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ và $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$.

Vì vậy, hệ thống này được mô tả bởi phương trình $H\left(x\right(t\left)\right)=y\left(t\right)$, trong đó $y\left(t\right)$ là một hàm thời gian tùy ý, và $x\left(t\right)$ là trạng thái của hệ thống. Hàm $y\left(t\right)$ và $H$, $x\left(t\right)$ đã cho có thể giải được. Ví dụ, một bộ dao động sóng hài đơn giản theo phương trình vi phân:

$m$

d 2 ( x ) d t 2 = − k x {displaystyle m{rac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx} .

Nếu

,

thì $H$ là một toán tử tuyến tính. Với $y\left(t\right)=0$, ta có thể viết lại phương trình vi phân thành $H\left(x\right(t\left)\right)=y\left(t\right)$, cho thấy rằng bộ dao động sóng hài đơn giản là một hệ thống tuyến tính.

Hành vi của hệ thống chịu sự ảnh hưởng của đầu vào phức tạp có thể được phân tích thành các phản hồi đối với đầu vào đơn giản hơn. Điều này không xảy ra ở các hệ thống phi tuyến, khiến việc giải quyết các phương trình mô hình hóa dễ hơn nhiều so với hệ thống phi tuyến. Đối với các hệ thống không thay đổi theo thời gian, đây là nền tảng của các phương pháp đáp ứng xung hoặc đáp ứng tần số (xem lý thuyết hệ thống LTI), trong đó mô tả hàm đầu vào tổng quát $x\left(t\right)$ theo các thành phần xung đơn vị hoặc tần số.

Các phương trình vi phân của các hệ thống thời gian bất biến tuyến tính tương thích tốt với phân tích sử dụng biến đổi Laplace trong trường hợp liên tục và biến đổi Z trong trường hợp rời rạc, đặc biệt là khi thực thi trên máy tính.

Một cách nhìn khác là các giải pháp của hệ thống tuyến tính có thể được coi như các hàm đóng vai trò tương tự như các vectơ trong hình học.

Một ứng dụng phổ biến của mô hình tuyến tính là việc mô tả hệ thống phi tuyến bằng cách tuyến tính hóa chúng. Điều này thường được thực hiện vì sự thuận tiện trong toán học.

Đáp ứng xung với thay đổi theo thời gian

Đáp ứng xung theo thời gian biến đổi h(t₂,t₁) của một hệ thống tuyến tính được định nghĩa là phản ứng của hệ thống tại thời điểm t = t₂ đối với một xung đơn xuất hiện tại thời điểm t = t₁. Nói cách khác, nếu đầu vào x(t) được đưa vào một hệ thống tuyến tính thì

$x\left(t\right)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t_1)$

trong đó δ(t) biểu thị hàm delta Dirac, và phản ứng tương ứng y(t) của hệ thống là

$y\left(t\right){|}_{t=t_2}=h(t_2,t_1)$

thì hàm h(t₂,t₁) là đáp ứng xung thay đổi theo thời gian của hệ thống này. Vì hệ thống không thể đáp ứng trước khi đầu vào được cung cấp, nên điều kiện nhân quả phải được thỏa mãn:

Tích phân chập

Đầu ra của bất kỳ hệ thống tuyến tính liên tục theo thời gian thường được liên kết với đầu vào qua một tích phân, mà có thể được viết trên một khoảng vô hạn do điều kiện nhân quả:

$y\left(t\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{t}h(t,t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h(t,t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }$

Nếu các thuộc tính của hệ thống không thay đổi theo thời gian thì hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian, và hàm h() sẽ chỉ phụ thuộc vào chênh lệch thời gian τ = t-t' và bằng không đối với τ < 0 (tức là khi t < t'). Khi đó, ta có thể viết lại mối quan hệ đầu vào-đầu ra như sau:

$y\left(t\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{t}h(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })x\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)x(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)x(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$

Các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian thường được mô tả qua biến đổi Laplace của hàm đáp ứng xung, được gọi là hàm truyền , như sau:

$H\left(s\right)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt.$

Thông thường, hàm này là một hàm hữu tỷ theo s. Vì h(t) bằng không với t âm, tích phân có thể mở rộng từ âm vô cực đến dương vô cực và thay thế s bằng iω theo công thức của hàm đáp ứng tần số:

$H\left(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}h\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}dt$

Các hệ thống thời gian rời rạc

Đầu ra của một hệ thống thời gian tuyến tính rời rạc phụ thuộc vào đầu vào qua phép tổng chập theo thời gian:

$y\left[n\right]=\underset{m=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h[n,m]x\left[m\right]=\underset{m=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h[n,m]x\left[m\right]$

hoặc tương đương với một hệ thống không thay đổi theo thời gian với hàm được định nghĩa lại h()

$y\left[n\right]=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h\left[k\right]x[n-<!--\; -\; -->k]=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}h\left[k\right]x[n-<!--\; -\; -->k]$

trong đó

$k=n-<!--\; -\; -->m$

biểu thị độ trễ giữa thời điểm kích thích tại m và thời điểm phản hồi tại n.

• Hệ thống tuyến tính của hàm ước số

hình học đại số

• Hệ thống không thay đổi khi dịch chuyển
• Lý thuyết về hệ thống LTI
• Hệ thống phi tuyến tính
• Phân tích các hệ thống
• Hệ phương trình tuyến tính