Hệ tọa độ Cartesian

Hệ tọa độ Cartesian (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) dùng để xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng bằng cách sử dụng một cặp tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là các giá trị được đo trên hai trục vuông góc với nhau, gọi là trục tọa độ. Trục nằm ngang được gọi là trục hoành, trục đứng là trục tung; điểm giao nhau của hai trục được gọi là gốc tọa độ, với giá trị (0, 0).

Ý tưởng về hệ tọa độ Cartesian thuộc về nhà toán học và triết gia người Pháp René Descartes, được trình bày lần đầu vào năm 1637 trong các tác phẩm của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã đề xuất việc xác định vị trí của điểm bằng cách sử dụng hai trục giao nhau. Trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm này.

Descartes đã kết hợp thành công đại số và hình học Euclide, tạo nền tảng cho sự phát triển của hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Hệ tọa độ có thể mở rộng ra không gian ba chiều bằng cách thêm một trục nữa vào hệ tọa độ Cartesian, tạo thành hệ tọa độ ba chiều. Một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n trục tọa độ Cartesian.

Hệ tọa độ trên mặt phẳng 2 chiều

Gồm hai trục vuông góc x'Ox và y'Oy, trên đó đã chọn hai vectơ đơn vị , sao cho hai vectơ này có độ dài bằng nhau

Trục x'Ox (hoặc trục Ox) được gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hoặc trục Oy) được gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Tọa độ của vectơ

Nếu thì cặp số (x;y) là tọa độ của vectơ . Trong đó, x là hoành độ và y là tung độ của .

Ký hiệu

Tọa độ của điểm

Một điểm M được xác định bằng cặp số M(x,y), gọi là tọa độ của điểm M, trong đó x là hoành độ và y là tung độ của điểm M.

Các đặc tính:

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\ne <!--\; \ne \; -->0,M(x;0)\in <!--\; \in \; -->Ox$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\ne <!--\; \ne \; -->0,M(0;y)\in <!--\; \in \; -->Oy$
• Tọa độ của điểm là tọa độ của vectơ bắt đầu từ điểm O đến điểm đó. Ta có $M\left(x,y\right)\iff <!--\; \iff \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OM}=(x;y)$

Xác định tọa độ của vectơ từ tọa độ của điểm đầu và điểm cuối

Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$, ta có $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}=\left(x_B-<!--\; -\; -->x_A;y_B-<!--\; -\; -->y_A\right)$

Cự ly của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm

Khi ta có vectơ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2)$, độ dài của vectơ này được tính bằng $\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

Khi có hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$, độ dài đoạn thẳng AB hoặc khoảng cách giữa hai điểm này được tính bằng $AB=\sqrt{{\left(x_B-<!--\; -\; -->x_A\right)}^2+{\left(y_B-<!--\; -\; -->y_A\right)}^2}$

Góc giữa hai vectơ

Cho $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2)$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(b_1;b_2)$. Đặt $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ là góc tạo bởi hai vectơ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$. Khi đó, giá trị của $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)}}$ là $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

Những biểu thức về tọa độ

Cho $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2)$, ta có $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2)$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(b_1;b_2)$. Khi đó, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}·\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$ = $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}·\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=\left(a_1\right)·\left(b_1\right)+\left(a_2\right)·\left(b_2\right)$

Hệ tọa độ trực giao

• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2)$
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(a_1-<!--\; -\; -->b_1;a_2-<!--\; -\; -->b_2)$
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}.\stackrel{\to \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \to \; -->}{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$ đồng phương $\iff <!--\; \iff \; -->$ $a_1{b}_2=a_2{b}_1$

Xét đoạn thẳng AB với $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$ và đoạn thẳng CD với $C(x_C;y_C),D(x_D;y_D)$ đồng phương $\iff <!--\; \iff \; -->$ $\frac{x_A-<!--\; -\; -->x_B}{y_A-<!--\; -\; -->y_B}=\frac{x_C-<!--\; -\; -->x_D}{y_C-<!--\; -\; -->y_D}$

Xét tam giác $△<!--\; △\; -->ABC$ với các điểm $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ và $C(x_C;y_C)$, thì tọa độ của trọng tâm $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ của tam giác $△<!--\; △\; -->ABC$ là trung điểm của ba điểm đó.

Hệ tọa độ ba chiều

Gồm ba trục vuông góc nhau x'Ox, y'Oy, z'Oz với ba vectơ đơn vị $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}$ sao cho cả ba vectơ này đều có độ dài bằng nhau.

Trục x'Ox (hoặc trục Ox) được gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hoặc trục Oy) được gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hoặc trục Oz) được gọi là trục cao.

Điểm O được xác định là gốc của hệ tọa độ

Ba trục tọa độ này vuông góc với nhau, tạo thành ba mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx, và chúng vuông góc với nhau từng cặp một.

Tọa độ của điểm

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ ba số M(x, y, z). Ngược lại, bộ ba số này gọi là tọa độ của điểm M, trong đó x là hoành độ, y là tung độ, và z là cao độ của điểm M.

Đặc điểm

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}xy\ne <!--\; \ne \; -->0,A(x,y,0)\in <!--\; \in \; -->Oxy$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}xz\ne <!--\; \ne \; -->0,A(x,0,z)\in <!--\; \in \; -->Oxz$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}yz\ne <!--\; \ne \; -->0,A(0,y,z)\in <!--\; \in \; -->Oyz$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\ne <!--\; \ne \; -->0,M(x;0;0)\in <!--\; \in \; -->Ox$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\ne <!--\; \ne \; -->0,M(0;y;0)\in <!--\; \in \; -->Oy$
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z\ne <!--\; \ne \; -->0,M(0;0;z)\in <!--\; \in \; -->Oz$

Toạ độ của vectơ

Trong không gian, với vectơ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=x\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}+y\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}+z\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}$, ta có bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$ trong hệ tọa độ Descartes.

Tọa độ của một điểm trong không gian được xác định bởi ba số (x;y;z) với $x,y,z$ trong hệ tọa độ Descartes.

Mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm

Xét hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$, thì vectơ từ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}=\left(x_B-<!--\; -\; -->x_A;y_B-<!--\; -\; -->y_A;z_B-<!--\; -\; -->z_A\right)$ được tính bằng $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OM}=(x_M;y_M;z_M)$ và ngược lại

Xét điểm $M(x_M;y_M;z_M)$, thì vectơ $\stackrel{M}{O}\to <!--\; \to \; -->$ và ngược lại

Độ dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm

Khi xét vectơ $\stackrel{b}{a}\to <!--\; \to \; -->$ có độ dài là $\backslash sqrt\; \{{\left(x_a-<!--\; -\; -->x_b\right)}^2+{\left(y_a-<!--\; -\; -->y_b\right)}^2+{\left(z_a-<!--\; -\; -->z_b\right)}^2\}$

Cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$, thì khoảng cách giữa A và B, hay độ dài đoạn thẳng AB, được tính bằng $AB=\sqrt{(x_B-<!--\; -\; -->x_A{)}^2+(y_B-<!--\; -\; -->y_A{)}^2+(z_B-<!--\; -\; -->z_A{)}^2}$

Góc giữa hai vectơ

Cho $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Gọi $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ là góc giữa hai vectơ $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$, ta có công thức tính $\cos \left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{\{\backslash vec\; \{a\}\}\backslash cdot\; \{\backslash vec\; \{b\}\}}{|\{\backslash vec\; \{a\}\}||\{\backslash vec\; \{b\}\}|}$

$\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}}{\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\right|\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)}}$

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\left|[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a};\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}]\right|}{\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\right|\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\right|}$

Một số công thức biểu diễn tọa độ

Giả sử $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2;a_3)$, thì $k\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3)$.

Nếu $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(b_1;b_2;b_3)$, ta có

• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)$
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=(a_1-<!--\; -\; -->b_1;a_2-<!--\; -\; -->b_2;a_3-<!--\; -\; -->b_3)$
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Xét đoạn thẳng AB với $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$, thì tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Xét tam giác với các đỉnh có tọa độ như sau: $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$ và $C(x_C;y_C;z_C)$, thì tọa độ của trọng tâm tam giác sẽ là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$