Hệ tọa độ cực

Trong toán học, hệ tọa độ cực là hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách từ điểm đó đến một điểm gốc và góc từ hướng gốc cho trước. Điểm gốc (tương tự như gốc tọa độ trong hệ tọa độ Descartes) được gọi là gốc cực, và tia vẽ từ gốc theo hướng gốc được gọi là trục cực. Khoảng cách từ gốc gọi là bán kính, và góc gọi là góc phương vị. Bán kính ký hiệu là r hoặc ρ, góc phương vị ký hiệu là φ, θ, hoặc t. Góc trong hệ tọa độ cực có thể được biểu diễn bằng độ hoặc radian (2π rad tương đương với 360°).

Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri đã giới thiệu các khái niệm này độc lập vào giữa thế kỷ 17, mặc dù thuật ngữ hệ tọa độ cực được cho là do Gregorio Fontana phát minh vào thế kỷ 18. Sự ra đời của hệ tọa độ cực chủ yếu xuất phát từ nghiên cứu về chuyển động tròn và quỹ đạo.

Hệ tọa độ cực rất hữu ích trong các tình huống mà mối quan hệ giữa hai điểm dễ dàng được biểu diễn bằng góc và khoảng cách, như trong các đường xoắn ốc. Nó cũng giúp dễ dàng xây dựng mô hình hệ vật lý phẳng với các chất điểm chuyển động quanh một điểm cố định thông qua hệ tọa độ cực.

Hệ tọa độ cực được mở rộng trong không gian ba chiều thông qua các hệ tọa độ trụ và cầu.

Lịch sử

Khái niệm về góc và bán kính đã được sử dụng từ thế kỷ I trước Công nguyên. Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã tạo ra bảng hàm các dây cung cho các góc khác nhau. Có tài liệu cho rằng ông đã áp dụng tọa độ cực để xác định vị trí các thiên thể. Archimedes trong cuốn On Spirals (Bàn về tuyến xoắn) đã mô tả hàm xoắn ốc Archimedean, trong đó bán kính phụ thuộc vào góc, mặc dù công trình của ông không mở rộng thành một hệ tọa độ hoàn chỉnh.

Từ thế kỷ 8 trở đi, các nhà thiên văn học đã phát triển các phương pháp để xấp xỉ và tính toán hướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến Thánh địa Mecca (qibla). Sau thế kỷ 9, họ đã sử dụng lượng giác hình cầu và các phép chiếu bản đồ để tính toán chính xác. Việc này bao gồm chuyển tọa độ cực xích đạo của Mecca thành tọa độ cực của Thánh địa theo một hệ thống có kinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và các cực của Trái Đất, với trục cực là đường thẳng qua các điểm này và điểm đối cực của nó.

Có nhiều cách giải thích khác nhau về tọa độ cực như là một phần của hệ tọa độ chuẩn. Toàn bộ lịch sử của chủ đề này được trình bày chi tiết trong cuốn Origin of Polar Coordinates của giáo sư Harvard Julian Lowell Coolidge. Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri đã giới thiệu các khái niệm này vào giữa thế kỷ 17. Saint-Vincent viết về chúng vào năm 1625 và xuất bản vào năm 1647, trong khi Cavalieri công bố công trình của mình vào năm 1635 và một phiên bản chỉnh sửa vào năm 1653. Ban đầu, Cavalieri dùng tọa độ cực để giải quyết bài toán liên quan đến diện tích của xoắn ốc Archimedean. Sau đó, Blaise Pascal áp dụng hệ tọa độ cực để tính toán độ dài của vòng cung parabol.

Trong cuốn Method of Fluxions (viết năm 1671, xuất bản năm 1736), Isaac Newton đã nghiên cứu sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực, mà ông gọi là 'Phương pháp Thứ bảy; Dành cho xoắn ốc', và chín hệ tọa độ khác. Trong tạp chí Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli đã áp dụng một hệ gồm một điểm nằm trên một đường thẳng, gọi là cực, và trục cực tương ứng. Các tọa độ được xác định dựa trên khoảng cách từ cực và góc từ trục cực. Công trình của Bernoulli đã mở rộng cách tính bán kính cong của các đường cong thể hiện qua những tọa độ này.

Thuật ngữ tọa độ cực được công nhận nhờ Gregorio Fontana và đã được các nhà văn Ý thế kỷ 18 sử dụng. Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh qua bản dịch Differential and Integral Calculus của Lacroix, do George Peacock dịch năm 1816. Alexis Clairaut là người đầu tiên nghiên cứu tọa độ cực trong không gian ba chiều, và Leonhard Euler là người thực sự phát triển các ý tưởng này.

Quy ước

Toạ độ bán kính thường được ký hiệu là r hoặc ρ, trong khi toạ độ góc thường là φ, θ hoặc t. Theo tiêu chuẩn ISO 31-11, toạ độ góc được ký hiệu là φ. Tuy nhiên, trong một số tài liệu toán học, góc có thể được ký hiệu là θ thay vì φ.

Trong ký hiệu cực, góc thường được đo bằng độ hoặc radian (2π rad tương đương với 360°). Độ thường được sử dụng trong các lĩnh vực như định hướng, khảo sát xây dựng và nhiều lĩnh vực khác, trong khi radian phổ biến hơn trong toán học và vật lý học.

Góc φ bắt đầu từ 0° tại hướng gốc và tăng lên khi quay theo chiều ngược kim đồng hồ hoặc cùng chiều kim đồng hồ. Trong toán học, hướng gốc là tia vẽ từ điểm gốc sang bên phải, và góc cực tăng dần theo chiều ngược kim đồng hồ. Trong định hướng, trục 0° được vẽ hướng lên, và góc cực tăng khi quay cùng chiều kim đồng hồ. Khi quay ngược chiều, góc cực giảm xuống giá trị âm.

Tính duy nhất của tọa độ cực

Thêm một vòng quay (360°) vào tọa độ góc không làm thay đổi phương hướng của góc đó. Tương tự, tọa độ bán kính âm nên được hiểu là khoảng cách dương đo theo chiều ngược lại (thêm góc cực 180°). Do đó, một điểm có thể có nhiều tọa độ cực khác nhau dưới dạng (r, φ + n × 360°) và (−r, φ + 180° + n × 360°) = (−r, φ + (2n + 1) × 180°), trong đó n là số nguyên bất kỳ. Thậm chí, điểm cực có thể được biểu diễn dưới dạng (0, φ) với bất kỳ góc φ nào.

Để đảm bảo một biểu diễn duy nhất cho mọi điểm ngoài góc cực, cần phải giới hạn r chỉ là các số không âm (r > 0) và φ nằm trong khoảng [0, 360°) hoặc (−180°, 180°] (trong đơn vị radian là [0, 2π) hoặc (−π, π]). Một cách tiếp cận khác là dựa trên hàm arctan, cho phép bán kính là bất kỳ số thực nào khác và giới hạn góc cực trong khoảng (−90°, 90°]. Trong tất cả các trường hợp, cần phải chọn một góc phương vị cụ thể cho cực, chẳng hạn như φ = 0.

Chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Các tọa độ cực r và φ có thể được chuyển đổi sang tọa độ Descartes x và y bằng cách sử dụng các hàm lượng giác như sin và cos.

Ngược lại, tọa độ Descartes x và y có thể được chuyển đổi sang tọa độ cực r và φ với r ≥ 0 và φ nằm trong khoảng (−π, π] theo công thức:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ (theo định lý Pythagoras hoặc tiên đề Euclid), và

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{atan2}<!--\; \; -->(y,x),$

Trong đó, hàm atan2 là một biến thể phổ biến của hàm số arctan, được định nghĩa như sau:

$\mathrm{atan2}<!--\; \; -->(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan <!--\; \; -->\left(\frac{y}{x}\right)& \text{nếu }x>0\\ \arctan <!--\; \; -->\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}& \text{nếu }x<0\text{ và }y\end{array}$

≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) − π nếu  x < 0  và  y < 0 π 2 nếu  x = 0  và  y > 0 − π 2 nếu  x = 0  và  y < 0 KXĐ nếu  x = 0  và  y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{khi }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{khi }}x<0{\mbox{ và }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{khi }}x<0{\mbox{ và }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y<0\\{\text{KXĐ}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y=0.\end{cases}}}

Nếu r được tính theo cách trên thì giá trị của φ có thể được xác định như sau, sử dụng hàm arccos:

Góc φ được trình bày ở trên là giá trị chính của hàm số phức arg áp dụng cho x + iy. Để nhận được một góc trong khoảng [0, 2π), ta có thể cộng thêm 2π vào giá trị này nếu nó âm.

Phương trình cực của một đường cong

Phương trình biểu diễn một đường cong đại số trong hệ tọa độ cực được gọi là phương trình cực. Trong nhiều trường hợp, phương trình này có thể được xác định bằng cách biểu diễn r như một hàm của φ. Đường cong nhận được là tập hợp các điểm có dạng (r(φ), φ) và được gọi là đồ thị của hàm cực r.

Các dạng đối xứng hình học của hàm cực r có thể được suy ra từ phương trình của nó. Nếu r(−φ) = r(φ), đường cong đối xứng qua tia ngang (0°/180°); nếu r(π − φ) = r(φ), đường cong đối xứng qua tia dọc (90°/270°); và nếu r(φ − α) = r(φ), đường cong có sự đối xứng xoay quanh gốc cực bởi α theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ.

Nhờ vào đặc tính của hệ tọa độ cực, nhiều đường cong có thể được diễn tả bằng những phương trình cực đơn giản, mặc dù trong hệ tọa độ Descartes, chúng có thể rất phức tạp. Một số đường cong phổ biến bao gồm hoa cực, xoắn ốc Archimedean, đường lemniscat, đường ốc sên và đường hình tim (cardioid).

Đối với các đường tròn, đường thẳng và hoa cực, không có điều kiện nào cho tập xác định và tập giá trị của các đường này.

Đường tròn

Phương trình tổng quát của một đường tròn với tâm tại (r₀, $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$) và bán kính a là

$r^2-<!--\; -\; -->2r{r}_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})+r_0^2=a^2.$

Phương trình trên có thể được đơn giản hóa theo nhiều cách khác nhau tùy vào từng trường hợp đặc biệt, ví dụ như phương trình

$r\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=a$

đối với một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính a.

Khi r₀ = a, tức là gốc tọa độ nằm trên đường tròn, phương trình sẽ trở thành

$r=2a\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}).$

Trong trường hợp tổng quát, bạn có thể giải phương trình trên để tìm giá trị của r:

$r=r_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})+\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->r_0^2{\sin }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}.$

Giải pháp của phương trình với dấu âm trước căn cũng tạo ra đường tròn tương tự.

Đường thẳng

Đường thẳng hướng tâm (đi qua gốc tọa độ) có phương trình

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},$

Ở đây, γ đại diện cho góc của đường thẳng, tức là γ = arctan m, với m là hệ số góc của đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes. Đường thẳng không hướng tâm, vuông góc với đường thẳng hướng tâm φ = γ, tại điểm (r₀, γ) có phương trình

$r\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=r_0\sec <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}).$

Tức là, điểm (r₀, γ) là nơi tiếp tuyến cắt với đường tròn ảo có bán kính r₀.

Đường cong bông hoa cực

Bông hoa cực là một đường cong toán học hình bông hoa với nhiều cánh, có phương trình cực là

$r\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=a\cos <!--\; \; -->\left(k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_0\right)$

Với bất kỳ giá trị γ₀ nào (bao gồm cả 0). Nếu k là số nguyên, đồ thị sẽ có dạng bông hoa với k cánh nếu k lẻ, và 2k cánh nếu k chẵn. Nếu k là số hữu tỉ không nguyên, hình sẽ gần giống bông hoa nhưng các cánh có thể chồng lên nhau. Phương trình trên không cho phép tạo bông hoa với số cánh là 2, 6, 10, 14, v.v. Biến số a điều chỉnh kích thước của các cánh hoa, trong khi k xác định số lượng cánh hoa. Hằng số γ₀ được gọi là góc pha.

Xoắn ốc Archimedes

Xoắn ốc Archimedes là một loại xoắn ốc được Archimedes phát hiện, với phương trình cực là

$r\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=a+b\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$

Thay đổi tham số a làm xoắn ốc quay, trong khi b điều chỉnh khoảng cách giữa các vòng xoắn (không thay đổi trong một xoắn ốc cụ thể). Xoắn ốc Archimedes có hai hướng xoắn liên kết tại gốc cực: một hướng khi φ > 0 và hướng còn lại khi φ < 0. Khi chiếu một hướng xoắn qua trục 90°/270°, ảnh phản xạ thu được là hướng xoắn đối diện. Đây là một trong những đường cong đầu tiên được ghi nhận và mô tả trong toán học chính thống, và là ví dụ tiêu biểu về đường cong được xác định qua phương trình cực.

Đường cong conic

Một đường conic với một tiêu điểm nằm trên gốc cực và tiêu điểm còn lại nằm trên tia 0° (với trục lớn của đường conic nằm trên trục cực) được biểu diễn bởi

$r=\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{1-<!--\; -\; -->e\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$

Trong đó, e là độ lệch tâm và $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$ là bán trục bên (khoảng cách vuông góc từ một tiêu điểm trên trục lớn đến đường conic). Phương trình này xác định một hyperbol khi e > 1, một parabol khi e = 1, một elip khi e < 1, và một đường tròn bán kính $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$ khi e = 0.

Điểm giao của hai đường cong cực

Con số phức

Phân tích số học

Mối quan hệ với tọa độ cầu và tọa độ trụ

Tìm hiểu thêm

Các liên kết bên ngoài

• Hazewinkel, Michiel (biên tập) (2001), “Tọa độ cực”, Từ điển Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Phần mềm vẽ đồ thị trên DMOZ
• Công cụ chuyển đổi giữa tọa độ cực, tọa độ Descartes và tọa độ cầu
• Trình diễn động hệ thống tọa độ cực