Hình bình hành là gì? Những dấu hiệu giúp nhận diện hình bình hành?

1. Khái niệm về hình bình hành

Hình bình hành là một tứ giác mà các cặp cạnh đối diện song song với nhau.

Tứ giác ABCD được gọi là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai cặp cạnh đối diện của nó song song với nhau: AB // CD và AD // BC.

Dựa trên định nghĩa về hình bình hành và hình thang, ta có thể thấy hình bình hành là một loại hình thang đặc biệt, trong đó các cạnh bên đều song song với nhau.

2. Các đặc điểm của hình bình hành

Đối với hình bình hành, ta có những tính chất sau:

• Các cạnh đối diện đều bằng nhau
• Các góc đối diện đều bằng nhau
• Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của từng đường

Ví dụ:

Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì:

a. AB = DC và AD = BC

b. Góc BAD bằng góc BCD; góc ABC bằng góc ADC

c. AI = IC và IB = ID

3. Cách nhận diện hình bình hành

Để xác định một tứ giác có phải là hình bình hành hay không, bạn có thể dựa vào những dấu hiệu nhận diện sau đây:

• Tứ giác với các cạnh đối song song là hình bình hành
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
• Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
• Tứ giác với các góc đối bằng nhau là hình bình hành
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

4. Công thức tính chu vi của hình bình hành

Chu vi của hình bình hành được tính bằng hai lần tổng độ dài của một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.

Nói cách khác, chu vi của hình bình hành chính là tổng độ dài của tất cả bốn cạnh của nó.

Muốn tính chu vi hình bình hành, ta áp dụng công thức sau:

C = (a + b) x 2

Trong đó:

• C: là chu vi của hình bình hành
• a, b: là độ dài của hai cạnh bất kỳ của hình bình hành

Ví dụ: Xét hình bình hành ABCD với hai cạnh a và b lần lượt là 5 cm và 7 cm. Tính chu vi của hình bình hành ABCD.

Giải

Chu vi của hình bình hành ABCD được tính như sau:

C = (a + b) x 2 = (5 + 7) x 2 = 24 cm

5. Công thức tính diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành là phần mặt phẳng tổng thể mà chúng ta nhìn thấy trên hình bình hành.

Diện tích hình bình hành đo lường độ lớn của bề mặt mà ta có thể quan sát được trên hình bình hành.

Diện tích hình bình hành bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.

Công thức: S = a. h

Trong đó:

• S: Diện tích của hình bình hành
• a: độ dài của cạnh đáy hình bình hành
• h: chiều cao từ đỉnh đến cạnh đáy của hình bình hành

Ví dụ: Xét hình bình hành ABCD với chiều dài cạnh đáy CD là 8 cm và chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh đáy CD là 5 cm. Hãy tính diện tích của hình bình hành ABCD.

Kết quả

Diện tích của hình bình hành được tính như sau:

S = a.h = 8 x 5 = 40 cm²

6. Bài tập và các dạng toán

6.1. Dạng 1: Áp dụng các tính chất của hình bình hành để chứng minh các thuộc tính hình học

Bài 1. Xét hình bình hành ABCD. E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD

a. Chứng minh rằng: AF // CE

b. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của BD với AF và CE. Chứng minh rằng: DM = MN = NB

Kết quả

a. Xét hình bình hành ABCD:

⇒ AB = CD (theo định nghĩa)

vì E nằm trên AB và F nằm trên CD, do đó AE // FC

Vì E và F là trung điểm của AB và CD

⇒ AE = EB = DF = FC

Xem xét tứ giác AECF với các đặc điểm:

AE = FC và AE // FC

⇒ AECF là hình bình hành (theo định lý) ⇒ AF // EC (theo tính chất)

b. Xét giao điểm của AC và BD tại O

Xem xét tam giác ADC với các yếu tố:

DO và AF là các đường trung tuyến (AO = OC, DF = FC)

AF cắt DO tại M

⇒ M là trọng tâm của tam giác ADC

⇒ DM = 2/3 DO = 2/3 BO (1)

và OM = 1/3 DO = 1/3 BO (2) (vì DO = BO)

Xem xét tam giác ABC với các yếu tố:

BO và CE là các đường trung tuyến

BO cắt CE tại N

⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ BN = 2/3 BO (3)

và ON = 1/3 BO (4)

Từ (2) và (4) suy ra: MN = OM + ON = 1/3 BO + 1/3 BO = 2/3 BO (5)

Dựa vào (1), (3) và (5) ta có: DM = BN = MN

Bài 2. Trong hình bình hành ABCD, O là điểm giao của hai đường chéo, E và F lần lượt là trung điểm của OD và OB.

a. Chứng minh: AE // CF

b. Đặt AE cắt CD tại điểm K. Chứng minh rằng: DK = 1/2 KC

Đáp án

a. AC cắt BD tại O nên OD = BO

Vì E và F là trung điểm của DO và BO nên DE = EO = OF = FB

Xem xét tứ giác AFCE có:

AC cắt EF tại điểm O

OA = OC

OE = OF

⇒ AFCE là hình bình hành (theo định lý hình bình hành)

⇒ AE // CF (theo tính chất)

b. Từ O vẽ đường OM song song với EK

Xem xét tam giác DOM có:

OM // EK

và E là điểm giữa của DO

⇒ K là điểm giữa của DM ⇒ DK = KM (1)

Xem xét tam giác CDK có:

OM // AK

và O là điểm giữa của AC

⇒ M là điểm giữa của KC ⇒ CM = KM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KM = CM

vì KM + CM = KC

⇒ DK = 1/2 KC

6.2. Dạng 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận diện để chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành

Bài 3. Xét tứ giác ABCD. Đặt E, F, G, H lần lượt là trung điểm của BD, AB, AC, CD.

a. Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành

b. Nếu AD = a và BC = b, hãy tính chu vi của hình bình hành EFGH

Đáp án

a. Xem xét tam giác ABD với:

F và E lần lượt là trung điểm của AB và BD, do đó EF là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ EF // AD (1)

và EF = 1/2 AD (2)

Tương tự, GH cũng là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ GH // AD (3)

và GH = 1/2 AD (4)

Từ (1) và (3) suy ra rằng EF // GH

(2) và (4) suy ra rằng EF = GH

⇒ Tứ giác GHEF là hình bình hành

b. Có GH = EF = 1/2 AD = 1/2 a

FG = HE = 1/2 BC = 1/2 b

Chu vi của hình bình hành GFEH là:

C = (1/2 a + 1/2 b) x 2 = a + b

Bài 4. Xét tam giác ABH với trực tâm là H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại điểm B và vuông góc với AC tại điểm C giao nhau tại điểm D. Chứng minh:

a. Tứ giác BDCH là hình bình hành

b. Tổng của góc BAC và góc BDC bằng 180°

c. Điểm H, M, và D nằm trên cùng một đường thẳng (trong đó M là trung điểm của BC)

Đáp án

a. Xét CH vuông góc với AB

và BD cũng vuông góc với AB

⇒ CH // BD (1)

Ngoài ra, BH cũng vuông góc với AC

và CD cũng vuông góc với AC

⇒ BH // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra rằng BHCD là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành)

b. Trong tứ giác ABCD có:

tổng các góc BAC, ABD, BDC và ACD bằng 360°

⇒ góc BAC cộng với 90° và góc BDC cộng với 90° bằng tổng 360°

⇒ góc BAC cộng với góc BDC bằng 180°

c. Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại điểm giữa của mỗi đường

Vậy M là trung điểm của BC

⇒ M cũng là trung điểm của HD

⇒ H, M, D nằm trên cùng một đường thẳng

6.3. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường đồng quy

Phương pháp giải: Áp dụng các đặc điểm về đường chéo trong hình bình hành

Bài 5. Trong hình bình hành ABCD, chọn N trên AB và M trên CD sao cho AN = CM. Chứng minh:

a. AM // CN

b. DN = BM

c. Các đường chéo AC, BD và MN cắt nhau tại một điểm

Đáp án

a. Xem xét tứ giác ABCD có:

AN = CM

AN // CM (vì AB // CD)

⇒ ANCM là hình bình hành

⇒ AM // CN

b. Có: BN = AB - AN

DM = DC - CM

vì AB = DC, AN = CM

⇒ BN = DM

vì BN // DM (do AB // CD)

⇒ BNDM là hình bình hành (DHNB)

⇒ DN = BM (theo tính chất hình bình hành)

c. Đặt AC cắt BD tại O (1)

⇒ O là trung điểm của cả AC và BD

Ta có: ANCM là hình bình hành và O là trung điểm của đường chéo AC

⇒ O là trung điểm của MN

⇒ O nằm trên MN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AC, BD, MN đồng quy

Bài 6. Một mảnh đất hình bình hành có đáy dài 47m. Khi mở rộng bằng cách tăng chiều dài đáy thêm 7m, diện tích của mảnh đất hình bình hành mới tăng thêm 189 m² so với mảnh đất ban đầu. Tính diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu?

Đáp án

Diện tích tăng thêm chính là diện tích của hình bình hành có đáy 7m và chiều cao bằng chiều cao của mảnh đất hình bình hành ban đầu.

Chiều cao của mảnh đất là: 189 / 7 = 27m

Diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là: S = 27 x 47 = 1269 m²

Bài 7. Điền cụm từ phù hợp vào chỗ trống: 'tứ giác có hai đường chéo...thì tứ giác đó là hình bình hành'

A. bằng nhau

B. cắt nhau

C. cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

D. song song

Bài 8. Chọn câu đúng: Trong hình bình hành ABCD, E là trung điểm của AB, và F là trung điểm của CD. Khi đó:

A. DE = BF

B. DE // BF

C. DE // BF

D. DE = EB

Bài 9. Trong hình bình hành ABCD, góc A gấp ba lần góc B. Tìm số đo các góc của hình bình hành:

A. góc A = góc C = 100°; góc B = góc D = 50°

B. góc A = góc D = 120°; góc B = góc C = 60°

C. góc A = góc C = 60°; góc B = góc D = 120°

D. góc A = góc C = 135°; góc B = góc D = 45°