Hình chữ nhật

Trong hình học Euclid, hình vuông là một loại hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông (4 góc vuông).

Tọa độ Descartes của các đỉnh của một hình vuông có tâm ở gốc hệ tọa độ và mỗi cạnh dài 2 đơn vị, song song với các trục tọa độ là (±1, ±1). Phần bên trong hình vuông đó bao gồm tất cả các điểm (x₀, x₁) với -1 < x_i < 1.

Một hình vuông có bốn đỉnh là A, B, C, D được ký hiệu là $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}ABCD$.

Tính chất

• 2 đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Có 2 cặp cạnh song song.
• Có 4 cạnh bằng nhau.
• Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.
• 1 đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
• Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.
• Có tất cả tính chất của hình chữ nhật, hình thoi và cả hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết

Một hình tứ giác được gọi là hình vuông nếu và chỉ nếu nó thuộc vào một trong những loại sau đây:

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
• Hình thoi có một góc vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
• Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau.
• Hình tứ giác có độ dài các cạnh là a, b, c, d và có diện tích là $S=\frac{1}{2}(a^2+c^2)=\frac{1}{2}(b^2+d^2)$.

Diện tích của hình vuông

Diện tích của hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh:

$S=a^2$

Hình vuông có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật có cùng chu vi.

Chu vi của hình vuông

Chu vi của hình vuông bằng tổng độ dài 4 cạnh của nó, tương đương với 4 lần độ dài một cạnh:

$P=4a$

Hình vuông có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích.

Hình học Euclid

Trong hình học Euclid, hình vuông là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau.

Trong hình học Hyperbolic, không tồn tại hình vuông có góc vuông. Thay vào đó, hình vuông trong hình học này có các góc nhọn (nhỏ hơn 90°) và diện tích càng lớn thì các góc của nó càng nhỏ.

Etymology

Từ vuông trong tiếng Việt bắt nguồn từ từ tiếng Hán thượng cổ 方 (có nghĩa là vuông, hình vuông). William H. Baxter và Laurent Sagart phục nguyên âm tiếng Hán thượng cổ của từ 方 là /*C-paŋ/. Chữ Hán 方 có âm Hán Việt là phương.