Hình đa giác lồi

Đa giác lồi là loại đa giác đơn (các cạnh không giao nhau) mà không có đoạn thẳng nào nối giữa hai điểm trên đường biên nằm ngoài đa giác. Một cách diễn đạt khác: đa giác lồi là đa giác đơn với phần bên trong là một tập hợp lồi. Trong đa giác lồi, tất cả các góc bên trong đều nhỏ hơn hoặc bằng 180 độ; ngược lại, trong đa giác lồi nghiêm ngặt, các góc bên trong luôn nhỏ hơn 180 độ.

Đặc điểm

Các thuộc tính của đa giác đơn đều áp dụng cho đa giác lồi:

• Tất cả các góc bên trong đều nhỏ hơn 180 độ.
• Mọi điểm trên các đoạn thẳng nối giữa hai điểm bên trong hoặc trên biên của đa giác đều nằm trong hoặc trên biên của đa giác.
• Đa giác hoàn toàn nằm trong một nửa mặt phẳng kín xác định bởi từng cạnh của nó.
• Đối với mỗi cạnh, tất cả các điểm bên trong đều nằm trên cùng một bên của đường xác định bởi cạnh đó.
• Góc tại mỗi đỉnh bao trùm tất cả các đỉnh còn lại trong các cạnh và phần bên trong của đa giác.
• Đa giác là bao lồi của các cạnh của nó.

Các tính chất bổ sung của đa giác lồi bao gồm:

• Phần giao của hai đa giác lồi vẫn là một đa giác lồi.
• Một đa giác lồi có thể được phân chia thành các tam giác trong thời gian tuyến tính thông qua việc sử dụng tam giác quạt, bao gồm thêm các đường chéo từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh khác.
• Định lý Helly: Đối với bất kỳ tập hợp nào của ít nhất ba đa giác lồi: nếu giao điểm của bất kỳ ba đa giác trong số đó không rỗng, thì toàn bộ tập hợp có giao điểm không rỗng.
• Định lý Kerin-Milman: Một đa giác lồi là bao lồi của các đỉnh của nó. Do đó, nó được xác định hoàn toàn bởi tập hợp các đỉnh của nó, và chỉ cần các góc của đa giác để phục hồi toàn bộ hình dạng của nó.
• Định lý phân tách siêu phẳng: Hai đa giác lồi không giao nhau luôn có một đường phân cách. Nếu các đa giác đều đóng và ít nhất một trong số chúng là hữu hạn, thì có thể có hai đường phân cách song song (với khoảng cách giữa chúng).
• Thuộc tính tam giác bao lớn nhất: Trong tất cả các tam giác nằm trong một đa giác lồi, tồn tại một tam giác có diện tích lớn nhất với các đỉnh là các đỉnh của đa giác.
• Thuộc tính tam giác bao: Mọi đa giác lồi với diện tích A có thể được bao bởi một tam giác có diện tích không vượt quá 2A. Định lý này cũng áp dụng cho hình bình hành.
• Thuộc tính hình chữ nhật lớn nhất: Đối với mọi hình lồi C trong mặt phẳng, có thể ghi một hình chữ nhật r trong C sao cho một bản sao đồng dạng R của r bao quanh C với tỷ lệ đồng dạng dương tối đa là 2 và
  $0.5\text{ × Area}\left(R\right)\le <!--\; \le \; -->\text{Area}\left(C\right)\le <!--\; \le \; -->2\text{ × Area}\left(r\right)$.
• Chiều rộng trung bình của một đa giác lồi bằng chu vi của nó chia cho pi. Vì vậy, chiều rộng của nó tương đương với đường kính của một vòng tròn có cùng chu vi với đa giác.

Mỗi đa giác có thể được nội tiếp trong một vòng tròn (tất cả các đỉnh của đa giác đều chạm vào vòng tròn) nếu nó không giao nhau. Tuy nhiên, không phải tất cả các đa giác lồi đều có thể là đa giác nội tiếp trong một vòng tròn.

Đối với mỗi đa giác lồi có n cạnh, ta có

• Tổng của các góc trong một đa giác là ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}(n-<!--\; -\; -->2)$
• Số lượng đường chéo của đa giác là $\frac{n(n-<!--\; -\; -->3)}{2}$