Hình dạng bán nguyệt

Trong toán học, đặc biệt là hình học, một hình bán nguyệt là tập hợp các điểm tạo thành một nửa đường tròn. Cung tròn của một hình bán nguyệt luôn bằng 180° (tương đương π radian). Hình bán nguyệt chỉ có một trục đối xứng duy nhất (trục gương). Không theo nghĩa kĩ thuật, thuật ngữ 'hình bán nguyệt' cũng có thể ám chỉ nửa hình tròn, một hình hai chiều bao gồm đường kính nối hai đầu mút của cung và tất cả các điểm bên trong.

Theo định lý Thales, bất kỳ tam giác nào nội tiếp hình bán nguyệt, với hai đỉnh nằm ở hai đầu mút của cung và đỉnh còn lại nằm trên cung, đều là tam giác vuông, với góc vuông nằm ở đỉnh thứ ba.

Tất cả các đường thẳng vuông góc với hình bán nguyệt đều giao nhau tại tâm của đường tròn chứa hình bán nguyệt.

Ứng dụng

Một hình bán nguyệt có thể được dùng để xác định trung bình cộng và trung bình nhân của hai độ dài bằng cách sử dụng thước thẳng và com-pa. Nếu vẽ một hình bán nguyệt với đường kính a+b, thì bán kính của nó chính là trung bình cộng của a và b (vì bán kính bằng nửa đường kính). Trung bình nhân có thể được tìm bằng cách chia đường kính thành hai phần với độ dài a và b, sau đó vẽ một đoạn vuông góc với đường kính từ các điểm đó lên cung tròn. Độ dài của đoạn vuông góc này chính là trung bình nhân của a và b, và có thể được chứng minh qua định lý Pythagoras. Từ kết quả này, ta có thể dựng một hình chữ nhật (vì một hình vuông có cạnh bằng trung bình nhân của hai cạnh hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật đó), và từ đó có thể dựng bất kỳ hình nào có thể tạo một hình chữ nhật với diện tích không phải là số đôi, chẳng hạn như đa giác (nhưng không phải hình tròn).

Phương trình

Phương trình của hình bán nguyệt có trung điểm $(x_0,y_0$

) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} và đường kính nối hai đầu mút, với phần lõm hướng xuống dưới, là:

$y=y_0+\sqrt{r^2-(x-x_0{)}^2}.$

Nếu hình lõm hướng xuống dưới, phương trình sẽ là

$y=y_0-\sqrt{r^2-(x-x_0{)}^2}.$

Arbelos

Một arbelos là khu vực mặt phẳng được giới hạn bởi ba hình bán nguyệt chạm nhau ở các đầu mút, tất cả nằm trên cùng một nửa mặt phẳng với một đường thẳng (đường cơ sở) chứa ba đường kính.

Nếu hai hình bán nguyệt nhỏ có đường kính lần lượt là a và b, diện tích của arbelos sẽ tương đương với diện tích của đường tròn có đường kính bằng trung bình nhân của a và b, tức là abπ.

Ghi chú

Tài nguyên bên ngoài

• Semicircle - Mathworld