Hình dạng chỏm cầu

Trong hình học không gian, chỏm cầu, vòm cầu, hay đới cầu với một đáy là phần của hình cầu được cắt bởi một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng này đi qua tâm của hình cầu, chiều cao của chỏm cầu sẽ bằng bán kính của hình cầu, và chỏm cầu trở thành một bán cầu.

Thể tích và diện tích bề mặt

Nếu bán kính đáy của chỏm cầu là $a$, và chiều cao là $h$, thì thể tích của chỏm cầu là

$V=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h}{6}(3a^2+h^2)$

và diện tích mặt cong (hay vòm) của chỏm cầu là

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rh$

hoặc

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$

$h$ và $r$ có thể được liên hệ với nhau sao cho $0\le <!--\; \le \; -->h\le <!--\; \le \; -->2r$. Phần màu đỏ cũng được gọi là chỏm cầu.

Các tham số $a$, $h$ và $r$ không hoàn toàn độc lập với nhau:

$r^2=(r-<!--\; -\; -->h{)}^2+a^2=r^2+h^2-<!--\; -\; -->2rh+a^2$

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$

Thay thế vào công thức diện tích ở trên để có được:

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(a^2+h^2)$.

Đối với chỏm cầu nhỏ phía trên, $h=r-<!--\; -\; -->\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->a^2}$, và chỏm cầu lớn bên dưới $h=r+\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->a^2}$; và từ đó $a=\sqrt{h(2r-<!--\; -\; -->h)}$ được thay vào công thức thể tích:

$V=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}^2}{3}(3r-<!--\; -\; -->h)$.

Chứng minh công thức

Theo định lý Pythagoras: $(r-<!--\; -\; -->h{)}^2+a^2=r^2$. Giải phương trình bằng cách mở ngoặc và sắp xếp lại.

$2rh=a^2+h^2$.

Thể tích của hình chỏm cầu có thể được tính bằng tích phân của thể tích hình giới hạn bởi đường cung xoay tròn quanh một trục $y=f\left(x\right)=\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->(x-<!--\; -\; -->r{)}^2}=\sqrt{2rx-<!--\; -\; -->x^2}$:

$V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{h}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x{)}^{2}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{h}{\int <!--\; \int \; -->}}(2rx-<!--\; -\; -->x^2)dx=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}^2}{3}(3r-<!--\; -\; -->h)$.

Tương tự, diện tích bề mặt của vòm cầu (không bao gồm đáy) được tính bằng cách tích phân diện tích của mặt tròn xoay quanh trục.

$M=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{0}{\overset{h}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r\underset{0}{\overset{h}{\int <!--\; \int \; -->}}dx=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rh$.

Và nếu tính cả đáy: $O=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(2rh+a^2)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(2a^{\mathrm{2\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}}+h^2)$.

Thể tích và diện tích của hình chỏm cầu cũng có thể được tính theo góc $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$:

$V={\int <!--\; \int \; -->}_{r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(r^2-<!--\; -\; -->x^2\right)dx=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}^3(2-<!--\; -\; -->3\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+{\cos }^3<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}^3(2+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^2$.

Áp dụng

Thể tích của hợp và giao hai hình cầu

Thể tích của hợp hai hình cầu có bán kính lần lượt là $r_1$ và $r_2$ là

$V=V^{\left(1\right)}-<!--\; -\; -->V^{\left(2\right)}$,

với

$V^{\left(1\right)}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}_1^3+\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}_2^3$

tổng thể tích của hai hình cầu rời nhau, và

$V^{\left(2\right)}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}_1^2}{3}(3r_1-<!--\; -\; -->h_1)+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}_2^2}{3}(3r_2-<!--\; -\; -->h_2)$

là tổng thể tích của hai chỏm cầu được tạo ra bởi đoạn giao của hai hình cầu. Nếu là khoảng cách giữa hai tâm hình cầu, thì bằng cách loại bỏ các biến $h_1$ và $h_2$ thu được

$V^{\left(2\right)}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12d}(r_1+r_2-<!--\; -\; -->d{)}^2\left(d^2+2d(r_1+r_2)-<!--\; -\; -->3(r_1-<!--\; -\; -->r_2{)}^2\right)$ .

Diện tích của hình tròn bị cắt bởi các đường tròn vĩ độ

Diện tích bề mặt bị cắt bởi hai đường tròn vĩ độ (hay mặt đới cầu) chính là hiệu diện tích của hai chỏm cầu tương ứng với các đường tròn này. Đối với hình cầu có bán kính $r$, và các vĩ độ ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1$ và ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2$, diện tích mặt đới cầu sẽ được tính bằng

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2|\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2|$

Ví dụ, nếu coi Trái Đất như một hình cầu có bán kính 6371 km, thì diện tích bề mặt của vùng phía bắc vòng Bắc Cực (tại vĩ độ 66,56° vào tháng 8 năm 2016) là 2π·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 21,04 triệu km², tương đương với 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4,125% tổng diện tích bề mặt của Trái Đất.

Khái quát hóa

Cấu thành từ những hình khối khác nhau

Vòm hình cầu (spheroidal dome) được tạo ra bằng cách cắt một hình cầu sao cho hình vòm thu được có tính chất đối xứng tròn (circular symmetry) (hay có một trục quay tròn), chẳng hạn như hình vòm elipsoid nhận được từ ellipsoid.

Siêu chóp cầu

Đối với một siêu chóp cầu trong không gian n chiều với chiều cao $h$ và bán kính $r$, thể tích của nó được tính bằng công thức

$V=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\frac{n-<!--\; -\; -->1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{r-<!--\; -\; -->h}{r}\right)}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^n<!--\; \; -->\left(t\right)dt$

với hàm gamma $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$ được xác định bởi $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(z\right)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{z-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->t}dt$.

Công thức biểu diễn cho $V$ có thể được viết dưới dạng thể tích của khối cầu n chiều đơn vị $C_n={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{n/2}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}[1+\frac{n}{2}]$ và hàm siêu hình học ${}_2{F}_1$ hoặc hàm beta chính quy hóa không đầy đủ $I_x(a,b)$ như sau

,

Công thức tính diện tích $A$ có thể được biểu diễn thông qua số hạng của diện tích của một khối cầu n chiều đơn vị như

,

với $0\le <!--\; \le \; -->h\le <!--\; \le \; -->r$.

Trước đây, trong (1986, USSR Academ. Press), công thức sau đã được đưa ra: $A=A_n{p}_{n-<!--\; -\; -->2}\left(q\right),V=C_n{p}_n\left(q\right)$, với $q=1-<!--\; -\; -->h/r(0\le <!--\; \le \; -->q\le <!--\; \le \; -->1),p_n\left(q\right)=(1-<!--\; -\; -->G_n(q\left)/G_n\right(1\left)\right)/2$,

$G_n\left(q\right)=\underset{0}{\overset{q}{\int <!--\; \int \; -->}}(1-<!--\; -\; -->t^2{)}^{(n-<!--\; -\; -->1)/2}dt$.

Trường hợp n là số lẻ $n=2k+1:$

.

Như đã chứng minh trong bài báo, nếu $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ và $q\sqrt{n}=\text{const.}$, thì $p_n\left(q\right)\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->F\left(q\sqrt{n}\right)$ với $F\left(\right)$ là hàm phân phối chuẩn.

Một cách tính lượng hóa biểu diễn trên, như trình bày trong với giá trị ước lượng $A/A_n=n^{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(1\right)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\right(2-<!--\; -\; -->h/r)h/r{]}^{n/2}$ được suy ra. Đối với một chỏm cầu rất lớn (tức là khi $(1-<!--\; -\; -->h/r{)}^4\cdot <!--\; \cdot \; -->n=O(1)$ khi $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$), giá trị ước lượng sẽ được rút gọn thành $n^{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(1\right)}\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->h/r{)}^{2}n/2}$.

• Đoạn hình tròn (hình dạng tương tự trong mặt phẳng 2 chiều)
• Góc khối cầu
• Đoạn hình cầu (spherical segment)
• Quạt hình cầu (spherical sector)
• Chêm hình cầu (spherical wedge)
• Vành đai hình cầu trụ (hình giới hạn bởi hình cầu và hình trụ), (spherical ring)

Tài liệu tham khảo

• Richmond, Timothy J. (1984). “Diện tích bề mặt có thể tiếp cận và thể tích bị loại trừ trong các protein: Phương trình phân tích cho các hình cầu chồng lên nhau và các hệ quả đối với hiệu ứng kỵ nước”. J. Mol. Biol. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6.
• Lustig, Rolf (1986). “Hình học của bốn hình cầu cứng trong cấu hình không gian tùy ý”. Mol. Phys. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). “Thể tích giao nhau của ba hình cầu có kích thước không bằng nhau: một công thức đơn giản hóa”. J. Phys. Chem. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). “Tính toán chính xác thể tích và diện tích bề mặt của các phân tử hình cầu cứng với bán kính nguyên tử không bằng nhau”. Mol. Phys. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
• Petitjean, Michel (1994). “Về việc tính toán phân tích bề mặt và thể tích van der Waals: Một số khía cạnh số học”. Int. J. Quant. Chem. 15 (5): 507–523. doi:10.1002/jcc.540150504.
• Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). “Mô tả hình dạng phân tử bằng phương pháp Gaussian”. J. Phys. Chem. 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021/j100011a016.
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). “ARVO: Một gói Fortran để tính toán diện tích bề mặt có thể tiếp cận và thể tích bị loại trừ của các hình cầu chồng lên nhau thông qua các phương trình phân tích”. Comp. Phys. Commun. 165: 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002.

Liên kết bên ngoài

• Weisstein, Eric W., 'Hình chóp cầu' từ MathWorld. Giải thích và một số công thức bổ sung.
• Công cụ trực tuyến để tính thể tích và diện tích hình chóp cầu Lưu trữ 2020-07-09 tại Wayback Machine.
• Tóm tắt các công thức hình cầu.