Hình học hai chiều

Hình học hai chiều là cấu trúc được tạo bởi hai mặt phẳng có một đường thẳng chung. Mỗi mặt phẳng được gọi là mặt của hình học hai chiều, còn đường thẳng chung gọi là cạnh của nó.

Ký hiệu

Hình học hai chiều bao gồm hai mặt phẳng (α), (β) có cạnh chung là a, được ký hiệu là [α, a, β] hoặc [α, β] hoặc [a] nếu không gây nhầm lẫn với hình học hai chiều khác. Nếu a chứa tia Ox, ta cũng có thể coi Ox là cạnh của hình học hai chiều.

Góc của hình học hai chiều

Khi cắt nhị diện [α, a, β] bằng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại điểm O, giao tuyến của (P) với (α) và (β) lần lượt là hai tia Ox và Oy. Khi đó, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{xOy}$ được gọi là góc của nhị diện [α, a, β], hay nói ngắn gọn là góc nhị diện [α, β].

Số đo góc của nhị diện [α, a, β] có thể được ký hiệu là [α, β] hoặc đơn giản là [a] nếu không cần phân biệt rõ ràng.

Với điểm I $\in <!--\; \in \; -->$ (α) và điểm J $\in <!--\; \in \; -->$ (β) với I và J $\notin$ a, hạ IK $\perp <!--\; \perp \; -->$ a, và JH $\perp <!--\; \perp \; -->$ a. Khi đó, góc nhị diện [α, β] được tính bằng $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{HI},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{KJ}$

Công thức để tính góc của nhị diện tạo bởi ba tia là:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz với $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{yOz}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$, , và $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{xOy}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$. Khi đó, số đo góc của nhị diện cạnh Ox là ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }$ được tính theo công thức:

$cos{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }=\frac{cos\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->cos\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.cos\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{sin\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.sin\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$

Chứng minh rằng trên các trục Ox, Oy, Oz, ta chọn ba điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = 1. Khi đó, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OA}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OB}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$ và $\stackrel{C}{O}\to <!--\; \to \; -->$  là ba vectơ đơn vị trên các trục đã cho.

Vẽ các đường cao BH và CK của hai tam giác OAB và OAC. Ta có:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}=cos\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}=cos\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=cos\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$

$cos\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{OK}$, $cos\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{OH}$, $sin\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=CK$, $sin\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=BH$

Từ đây, ta có thể suy ra:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{HB}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OB}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OH}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{OH}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}-<!--\; -\; -->cos\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{KC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OC}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OK}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{OK}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}-<!--\; -\; -->cos\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$

Do đó, ta có:

$cos{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{HB}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{KC}}{BH.CK}=\frac{(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}-<!--\; -\; -->cos\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i})(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}}{-<!--\; -\; -->}sin\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.sin\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$