Hình hộp chữ nhật là gì? Cách tính diện tích xung quanh và thể tích của nó?

1. Định nghĩa hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình khối có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.

Hình minh họa dưới đây cho chúng ta thấy hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 với các thông số cần thiết.

- Hình hộp chữ nhật có các đặc điểm sau:

• 8 đỉnh: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1
• 12 cạnh: AB, BC, CD, DA, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1, AA1, BB1, CC1, DD1
• 6 mặt đều là hình chữ nhật: ABCD, A1B1C1D1, ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, ADD1A1

- Hai mặt không có cạnh chung được gọi là hai mặt đối diện. Hai mặt đối diện thường được coi là các mặt đáy, trong khi các mặt còn lại là các mặt bên. Cụ thể:

• Các mặt AABCD và A1B1C1D1 là hai mặt đáy
• Các mặt ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, ADD1A1 là các mặt bên

* Chú ý: Khi xét hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c, ta cần lưu ý rằng: AB = a, BC = b, và AA1 = c.

2. Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật

Đối với hình hộp chữ nhật có các kích thước a, b, và c, công thức tính được xác định như sau:

- Diện tích xung quanh:

Sxq = 2(a + b)c

- Diện tích toàn phần:

Stp = Sxq + 2Sđ = 2(a + b)c + 2ab = 2(ac + bc + ab)

- Thể tích:

V = abc

Ví dụ: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật với ba kích thước lần lượt là 3 cm, 4 cm, và 5 m

Hướng dẫn cách giải

Kết quả là: V = 3 × 4 × 5 = 60 cm³

3. Bài tập thực hành

Bài 1. Xem xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

a. Các cạnh nào song song với DD'?

b. Các cạnh nào song song với BC?

c. Các cạnh nào song song với CD?

f. Các mặt nào song song với mặt BCC'B'?

Hướng dẫn cách giải

a. Các cạnh song song với DD' là AA', BB', CC'.

b. Các cạnh song song với BC là B'C', AD và A'D'.

c. Các cạnh song song với CD là AB, A'B', và C'D'.

d. BCC'B' và ADD'A' là hai mặt đối diện của hình hộp.

Bởi vì BCC'B' chứa các đường thẳng BC và BB', trong đó BC song song với AD và BB' song song với AA'.

Bài 2. Một căn phòng có kích thước dài 5m, rộng 3.2m và cao 3m. Để quét vôi trần và bốn bức tường, biết tổng diện tích các cửa là 6.3m2. Tính diện tích cần quét vôi?

Hướng dẫn giải

- Diện tích trần nhà được tính bằng:

S1 = 5 x 3,2 = 16 m2

- Diện tích của các mặt tường trong phòng là:

S2 = (3 x 5) + (3 x 3,2) x 2 = 49,2 m2

- Tổng diện tích cần quét (sau khi trừ diện tích cửa) là:

S = S1 + S2 - 6,3 = 16 + 49,2 - 6,3 = 68,8 m2

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = 3cm, AD = 4cm, AA' = 5cm. Xác định độ dài AC'?

Hướng dẫn giải

Đã cho: AB = A'B' = 3cm, AD = B'C' = 4cm, AA' = BB' = 5cm

Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông A'B'C', ta có:

A'C' = căn bậc hai của (A'B'^2 + B'C'^2) = 5cm

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông AA'C, ta có:

AC' = 5√2 cm

Vậy AC' = 5√2 cm

Bài 4. Một hình hộp chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng bằng một nửa chiều dài và chiều cao gấp ba lần chiều rộng. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật này.

Hướng dẫn giải

Để tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật, cần xác định ba kích thước: chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Theo đề bài, ta có:

a = 6cm, b = 1/2 a = 3cm, c = 3b = 9m

Do đó:

- Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq = 2(a+b)c = 162 cm²

- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

Stp = Sxq + 2Sđ = 162 + 2 . 6 . 3 = 198 cm²

- Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

V = abc = 162 cm³

Bài 5. Một bể nước hình chữ nhật dài 2,5m. Khi bắt đầu, bể trống. Sau khi đổ vào 140 thùng nước, mỗi thùng 20 lít, mực nước trong bể đạt 0,8m.

a. Tính chiều rộng của bể nước

b. Nếu đổ thêm 60 thùng nước nữa thì bể sẽ đầy. Hãy tính chiều cao của bể.

Hướng dẫn giải

a. Thể tích nước được thêm vào bể trong đợt đầu tiên:

V1 = 20 . 140 = 2800 lít = 2,8 m³

Chiều rộng của bể nước là:

2,8 ÷ (2,5 × 0,8) = 1,4 m

b. Tỷ lệ mực nước tăng thêm so với lượng nước đổ vào đợt 1:

V1/V2 = 60/120 = 1/2

Mực nước tăng thêm là: 0,8 × 0,4 = 0,32 m

Chiều cao của bể là: 0,8 + 0,32 = 1,12 m

Bài 6. Một hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước là 61 cm và đường chéo là 37 cm. Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Giả sử ba kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Ta có:

a + b + c = 61 (1)

và a² + b² + c² = 37² (2)

Từ (1), ta có:

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là 2352 cm²

Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 với AB = 3cm, AA1 = 6cm và diện tích hình bình hành SA1C1C = 30cm². Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật này.

Hướng dẫn giải

Ta có: AA1 song song và bằng BB1; BB1 song song và bằng CC1, do đó AA1 song song với CC1 và AA1C1C là hình bình hành

Ta cũng có:

AA1 vuông góc với mặt phẳng A1B1C1D1, nên góc AA1C1 = 90°

Vì hình bình hành AA1C1C có một góc vuông nên nó chính là hình chữ nhật.

Gọi S là diện tích hình chữ nhật AA1C1C, ta có:

S = AA1 . AC, suy ra 30 = 6 . AC, từ đó AC = 5 cm

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC, ta tính được:

BC = căn bậc hai của (25 - 9) = 4 cm

Do đó:

- Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq = 2 (AB + BC) . AA1 = 84 cm²

- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

Stp = Sxq + 2Sđ = 84 + 2 . 3 . 4 = 108 cm²

- Thể tích hình hộp chữ nhật là:

V = AB . BC . AA1 = 72 cm³

Bài 8. Bình nước hình hộp chữ nhật có chiều rộng 4 cm, chiều dài 8 cm, và chiều cao 5 cm. Hiện tại, mực nước cao 8 cm, tương đương 3/4 chiều cao của bình. Nếu thêm nước từ bình lập phương có cạnh 5 cm, chiều cao mực nước mới sẽ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thể tích nước trong hình hộp chữ nhật là:

V = 3/4 . 5 . 8 . 4 = 120 cm³

Gọi h là chiều cao mực nước mới trong hình lập phương có cạnh 5 cm, ta tính được:

h = V / 25 = 120 / 25 = 4,8 cm

Bài 9. Một hình hộp chữ nhật có thể tích 60 cm³ và diện tích toàn phần 91 cm². Tính chiều rộng và chiều dài của hình hộp chữ nhật, biết rằng chiều cao là 4 cm.

Hướng dẫn giải

Đặt hai kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a và b

Ta có: V = 4ab = 60 cm³

=> ab = 15 (1)

Cũng có: Stp = Sxq + 2Sđ = 2ph + 2ab

Stp = 2(a+b).4 + 2ab = 94

Do đó a + b = 8 (2)

Kết hợp (1) và (2) => a = 5, b = 3 hoặc a = 3, b = 5

Như vậy, hai kích thước của hình hộp chữ nhật là 3cm và 5cm

Bài 10. Xác định kích thước của hình hộp chữ nhật với tỷ lệ 3, 4, 5 và thể tích là 480 cm³

Hướng dẫn giải

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c

Theo đề bài, ta có: a/3 = b/4 = c/5 và thể tích V = abc = 480 cm³

Dựa trên tính chất dãy tỷ lệ, ta có:

k³ = abc/(3.4.5) = 480/60 = 8

=> k = 2

Vậy các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a = 6 cm, b = 8 cm, và c = 10 cm