Hình khối tròn xoay

Trong toán học, kỹ thuật và sản xuất, khối tròn xoay là một khối hình được tạo thành bằng cách quay một đường cong phẳng quanh một trục thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng.

Nếu đường cong không cắt trục quay, thể tích của khối tròn xoay được tính bằng độ dài của đường tròn vẽ bởi trọng tâm của khối nhân với diện tích mặt tròn xoay, theo định lý trọng tâm của Pappus.

Phương pháp biểu diễn bằng đĩa dùng nguyên tố thể tích 3 chiều của khối tròn xoay. Nguyên tố này được tạo ra bằng cách quay một đoạn thẳng (có độ dài w) quanh một trục (cách xa r đơn vị), do đó thể tích hình trụ là πrw đơn vị nó chứa.

Định lượng thể tích

Hai phương pháp phổ biến để tính thể tích khối tròn xoay là phương pháp đĩa và phương pháp tích phân vỏ. Đầu tiên, vẽ đồ thị của đường cong và xác định diện tích mà đường cong tạo thành khi quay quanh trục. Sau đó, tính thể tích bằng cách sử dụng nhát cắt dạng đĩa với độ dày δx, hoặc vỏ trụ với bề rộng δx. Cuối cùng, tìm giới hạn của tổng thể tích của các nguyên tố khi δx tiến về 0, thường được tính bằng tích phân.

Phương pháp đĩa

Phương pháp đĩa áp dụng khi các nhát cắt được vẽ vuông góc với trục quay, tức là thực hiện tích phân song song với trục quay.

Thể tích của khối tròn xoay được xác định khi quay khu vực bị giới hạn bởi các đường cong f(x) và g(x) cùng với các đường thẳng x = a và x = b quanh trục x được tính bằng

$V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\left|f(x{)}^2-<!--\; -\; -->g(x{)}^2\right|dx.$

Khi g(x) = 0 (chẳng hạn khi quay một đường cong quanh trục x), công thức trở nên đơn giản hơn là

$V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x{)}^{2}dx.$

Có thể hiểu phương pháp này bằng cách coi một hình chữ nhật nhỏ nằm ngang tại tọa độ y giữa f(y) ở trên và g(y) ở dưới, sau đó quay nó quanh trục y. Kết quả là một vòng xuyến (hoặc đĩa khi g(y) = 0), với bán kính ngoài là f(y) và bán kính trong là g(y). Diện tích vòng xuyến là π(R − r), với R là bán kính ngoài (trong trường hợp f(y)) và r là bán kính trong (trong trường hợp g(y)). Thể tích của mỗi đĩa rất nhỏ là πf(y) dy. Khi tổng các đĩa từ a đến b được giới hạn, sẽ thu được tích phân (1).

Phương pháp vỏ trụ

Phương pháp vỏ trụ áp dụng khi các lát cắt được vẽ song song với trục quay, tức là thực hiện tích phân vuông góc với trục quay.

Thể tích của khối tròn xoay nằm giữa các đường cong f(x) và g(x) và các đường thẳng x = a và x = b quanh trục y được tính bằng

$V=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}x|f\left(x\right)-<!--\; -\; -->g\left(x\right)|dx.$

Khi g(x) = 0 (ví dụ, khi quay vùng diện tích giới hạn bởi đường cong và trục y), công thức sẽ trở thành:

$V=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}x|f\left(x\right)|dx.$

Có thể tưởng tượng phương pháp này bằng cách quay một hình chữ nhật đứng tại tọa độ x với chiều cao là f(x) − g(x) quanh trục y, tạo thành một vỏ hình trụ. Diện tích bề mặt của hình trụ là 2πrh, với r là bán kính (tại x) và h là chiều cao (tại f(x) − g(x)). Tổng diện tích của mặt được tính qua tích phân, cho ra thể tích của khối tròn xoay.

Hình dạng tham số

Khi một đường cong được xác định bằng phương trình tham số (x(t),y(t)) trong đoạn [a,b], thể tích của khối tròn xoay quanh trục x hoặc trục y được tính bằng:

$V_x={\int <!--\; \int \; -->}_a^b\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{y}^2\frac{dx}{dt}dt,$

$V_y={\int <!--\; \int \; -->}_a^b\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{x}^2\frac{dy}{dt}dt.$

Trong một số trường hợp, diện tích bề mặt của khối tròn xoay do đường sinh tạo thành quanh trục x hoặc trục y được tính bằng:

$A_x={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

$A_y={\int }_a^{b}2\pi x\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

• Hình Gabriel
• Định lý Guldinus
• Giả cầu (Pseudosphere)
• Bề mặt quay tròn
• Múi cầu (Ungula)

Ghi chú

• “Thể tích của khối tròn xoay”. CliffsNotes.com. Ngày 12 tháng 4 năm 2011. Bản gốc lưu trữ vào ngày 19 tháng 3 năm 2012. Truy cập ngày 26 tháng 1 năm 2018. Kiểm tra lại ngày truy cập và ngày lưu trữ (trợ giúp)
• Ayres, Frank; Mendelson, Elliott (2008). Toán học. Schaum's Outlines. McGraw-Hill Professional. tr. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2. Bản trực tuyến, tr. 244, tại Google Books
• Weisstein, Eric W., 'Khối tròn xoay' từ MathWorld.